ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
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111: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/02(月) 15:24:23.93 ID:ge6+WwpB

>>110
>[a,b]は閉区間、したがって閉区間、しかも有界
>そして、大学１年で微分積分を習得し、理解した者なら、
>でも知っていて当然の定理がある！
>定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）
>I を有界閉区間，f:I→Rを連続関数とする。このとき，f は一様連続である。
>したがって、出題の条件から必然的に一様連続である！

ふっふ、ほっほ
血迷ったか？

１）最初はぐー だよｗ
　　>>83より 前スレ399
"では、わかってるかどうか質問
「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
これ本当？　本当としてその証明示せる？" が、最初だったろう？
　だったろ？ ここで有限区間の指定なし

その証明も 前スレ442より 下記のstackexchange answered May 3, 2013 Gyu Eun Lee の通りだ
(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang

answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee
Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.

２）さて おれが常に心掛けているのは、数学の証明というのは、しばしば複数あって
　その各証明 というものは、背景には数学の構造があって、それを反映したものなのだよ
　証明から 背後の数学の構造を感じ取れるか？ 看破できるかどうか？ だ

３）でな、高木先生は おそらく 教育的配慮から 問題をグレードダウンしているのだろうね
　だが、君の本来の設問は 上記の通りで、 閉区間と 有界の設定なしだろう？
　つまり、上記”「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
　これ本当？”（これは 君自身の書いたこと）を、百回反芻してくださいね （＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/111

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