ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (442ﾚｽ)
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365: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)15:33 ID:JxJPBISF(1/6) AAS
これ、面白い
ICM 2026での扱いは、どうかな？ ；ｐ）
2chｽﾚ:math
楕円積分・楕円関数・楕円曲線←こいつら
26 ：１３２人目の素数さん ：2025/07/20(日) ID:N157az0Y
当分は幾何学的ラングランズ予想の解決を中心に
推移していくのだろう
(引用終り)
ふーむ、なるほど
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
ラングランズ・プログラム（英: Langlands program）は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは Langlands (1967, 1970) により提唱された
問題の背景
非常に広い脈絡において、既存の概念を用いて、ラングランズプログラムは構築される。これには例えば、それより少し前にハリッシュ＝チャンドラ（英語版）と Gelfand (1963) が定式化していたカスプ形式の哲学や、半単純リー群に関するハリシュ＝チャンドラの手法及び結果、セルバーグの跡公式などが含まれる。
初めこそ非常に新しかったラングランズの研究も、技術的に深められる中で、豊かに体系立った仮説的な構造（いわゆる函手性）を伴って数論との直接的な繋がりを提示するものとなった
例えば、ハリッシュ＝チャンドラの仕事において、半単純（あるいは簡約）リー群に対してできることは、任意の代数群に対してできるはずであるという原理を見ることができる。従って、その手法というのは、既に知られていたモジュラ形式論における GL(2) や、後から認識されるようになった類体論における GL(1) などの、ある種の低次元リー群が果たす役割を、少なくとも一般に n > 2 に対する GL(n) についての考察を明らかにすることであるということができる
ラングランズ予想
ラングランズ予想の述べた方は様々に異なった方法があり、それらは密接に関連しているが、それらの同値性については明らかなことではない
幾何学的ラングランズ予想
ドリンフェルトのアイデアに従ってローモンの提唱した、いわゆる幾何学的ラングランズプログラムは、通常のラングランズプログラムを幾何学的に定式化しなおして、単に既約表現だけを考える以上のものを関連付けようとして生じたものである。単純な場合だと、代数曲線のエタール基本群の l-進表現を、その曲線上のベクトル束のモジュライスタック(moduli stack)上で定義された l-進層の導来圏の対象に関連付ける
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Langlands program
(抜粋)google訳
幾何学的予想
主要記事:幾何学的ラングランズ対応
デニス・ゲイツゴリーが率いる9人の共同プロジェクトは、ヘッケの固有層を証明の一部として活用した（カテゴリカル、非分岐）幾何学的ラングランズ予想の証明を発表しました。 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
つづく
366(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)15:34 ID:JxJPBISF(2/6) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Geometric Langlands correspondence
Status
(google訳)
2024年5月6日、デニス・ゲイツゴリーを含む数学者チームによって、圏論的非分岐幾何学的ラングランズ予想の証明が発表された。[ 8 ] [ 9 ]この証明は5本の論文に渡る1,000ページ以上に及び、「非常に複雑で、ほとんど誰も説明できない」と評されている。ドリンフェルドは、この結果の重要性を他の数学者に伝えることさえ「非常に困難で、ほぼ不可能」と評した。[ 10 ]
Connection to physics
In 2018, when accepting the Abel Prize, Langlands delivered a paper reformulating the geometric program using tools similar to his original Langlands correspondence.[12][13] Langlands' ideas were further developed by Etingof, Frenkel, and Kazhdan.[14]
(引用終り)
以上
367(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)15:52 ID:JxJPBISF(3/6) AAS
>>366
>2024年5月6日、デニス・ゲイツゴリーを含む数学者チームによって、略 この証明は5本の論文に渡る1,000ページ以上に及び、「非常に複雑で、ほとんど誰も説明できない」と評されている。ドリンフェルドは、この結果の重要性を他の数学者に伝えることさえ「非常に困難で、ほぼ不可能」と評した
望月IUTそっくりｗ ；ｐ）
下記 google AIは、ご愛敬
”2024年現在、幾何学的ラングランズ予想は完全には解決されていません”（＾＾
(参考)
google検索：幾何学的ラングランズ予想の解決
AI による概要<AI の回答には間違いが含まれている場合があります>
幾何学的ラングランズ予想は、数論と表現論、幾何学を統一的に理解しようとするラングランズ・プログラムの重要な部分予想です。この予想は、代数多様体上の偏微分方程式の解と、それに対応する表現論的な対象（例えば、保型形式）との間の深い関係を記述します。2024年現在、完全な解決には至っていませんが、部分的な進展や関連する予想の解決によって、ラングランズ・プログラム全体の発展に大きく貢献しています
幾何学的ラングランズ予想とは？
ラングランズ・プログラムは、数論の対象（例えば、数体上の楕円曲線）を、幾何学的な対象（例えば、代数多様体上のベクトル束）や表現論的な対象（例えば、保型形式）で読み替えることで、数学の様々な分野を統一的に理解しようとする壮大な計画です。その中で、幾何学的ラングランズ予想は、特に代数多様体上の偏微分方程式の解と、対応する表現論的な対象（保型形式）との間の関係を記述する予想です
予想の概要:
代数多様体上の偏微分方程式:
幾何学的ラングランズ予想は、まず、代数多様体上の偏微分方程式の解の空間を考えます
対応する表現論的な対象:
次に、この偏微分方程式に対応する表現論的な対象、例えば保型形式の空間を考えます
対応関係:
幾何学的ラングランズ予想は、これらの2つの空間が、ある意味で「同型」であることを主張します。つまり、偏微分方程式の解の空間の構造が、保型形式の空間の構造と深く関係しているという予想です
解決状況:
2024年現在、幾何学的ラングランズ予想は完全には解決されていません
しかし、部分的な進展があり、例えば、特定の種類の代数多様体や特定の種類の偏微分方程式に対して、予想が成り立つことが証明されています
また、幾何学的ラングランズ予想に関連する予想や、ラングランズ・プログラム全体の発展によって、数学の様々な分野に大きな影響を与えています
関連する概念:
ラングランズ・プログラム:数学における統一的な枠組みで、数論、表現論、幾何学などの分野を関連付け、未解決問題の解決を目指します
保型形式:特定の対称性を持つ解析関数で、数論や表現論において重要な役割を果たします
代数多様体:代数方程式で定義される幾何学的な対象です
幾何学的ラングランズ予想は、数学における深い未解決問題であり、その解決は、数学の様々な分野に大きな影響を与えると考えられています
外部ﾘﾝｸ:www.tanaakk.com
Langlandsプログラム｜ロバート・ラングランズ - TANAAKK
2025/03/24 — ロバート・ラングランズ（Robert Langlands）が提唱するLanglandsプログラムは、...
368: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)16:03 ID:JxJPBISF(4/6) AAS
>>367 追加参考
外部ﾘﾝｸ[html]:www.itmedia.co.jp
ITmedia NEWS > 科学・テクノロジー > 数学の超難問「幾何学的ラングランズ予想」を証明か...
数学の超難問「幾何学的ラングランズ予想」を証明か？ 計1000ページ以上の証明論文を米研究者らが公開
Innovative Tech
2024年05月24日
[山下裕毅，ITmedia]
米イェール大学などに所属する研究者らは、数学の超難解「幾何学的ラングランズ予想」を証明したと主張する5つの論文（計1000ページ以上）を「Proof of the geometric Langlands conjecture」と題したWebページで公開した。
外部ﾘﾝｸ:note.com
数学の「大統一理論」に挑む壮大な物語―幾何学的ラングランズ予想の証明が示す未来
福岡 浩二 20250718
(抜粋)
数学の世界で、2024年に驚くべきニュースが届きました。約60年前に提唱された「ラングランズプログラム」の重要な一部である「幾何学的ラングランズ予想」が、ついに証明されたのです。（厳密には査読前）
これは、数学における異なる分野を結びつける「大統一理論」への大きな一歩として、世界中の数学者たちを沸き立たせています。
数学にも「大統一理論」がある？
物理学では、宇宙の四つの基本的な力（重力、電磁気力、強い力、弱い力）を一つの理論で説明しようとする「大統一理論」の探求が続いています。実は、数学の世界にも同じような壮大な試みがあるのです。それが「ラングランズプログラム」です。
1967年、カナダの若き数学者ロバート・ラングランズは、数学の異なる分野の間に深い関係があることを予想しました。彼は、数論（整数の性質を研究する分野）と調和解析（波の性質を研究する分野）という、一見まったく関係なさそうな二つの分野が、実は深いところでつながっているのではないかと考えたのです。
なぜ幾何学的ラングランズ予想の証明が重要なのか
今回証明された「幾何学的ラングランズ予想」は、1980年代にウクライナの数学者ウラジミール・ドリンフェルドによって提唱されました。これは、元のラングランズプログラムを幾何学の世界に翻訳したものです
つづく
369: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)16:03 ID:JxJPBISF(5/6) AAS
つづき
幾何学的版では、リーマン面（ドーナツのような穴の開いた図形）の性質を研究します。具体的には、「基本群」（図形の周りにループを描く方法）と「層」（図形の各点に情報を割り当てる方法）という二つの概念の間に対応関係があることを主張していました。
9人の数学者チームが5本の論文、合計約1000ページにわたる証明を完成させました。リーダーのデニス・ゲイトスゴリーとサム・ラスキンは、この功績により、2025年のブレイクスルー賞（賞金300万ドル）を受賞しています。
物理学との意外な関係
驚くべきことに、この純粋に数学的な理論が、物理学の最先端分野と深く関わっていることが分かってきました。2007年、プリンストン高等研究所のエドワード・ウィッテンとカリフォルニア工科大学のアントン・カプスティンは、幾何学的ラングランズ対応が、量子場理論における「S双対性」という対称性と本質的に同じものであることを示しました。
S双対性とは、電場と磁場を入れ替えても物理法則が変わらないという、マクスウェル方程式の美しい性質を量子の世界に拡張したものです。純粋数学の理論が、素粒子物理学の深い対称性と結びついているという発見は、多くの研究者を驚かせました。
今後の展望：新たな扉が開かれた
テキサス大学のデビッド・ベン＝ツヴィ教授は、「これは巨大な勝利です。しかし、扉を閉じるのではなく、新たに十数個の扉を開け放つものです」と語っています。実際、今回の証明は、新たな研究の出発点となることが期待されています。
特に注目されているのは、「局所」版のラングランズプログラムへの応用です。これは、数学的対象の特定の点の周りを「ズームイン」して調べる手法で、マックス・プランク数学研究所のピーター・ショルツェらが精力的に研究を進めています。
また、数理物理学者のミンヒョン・キムは、物理学の概念を使って数論の問題にアプローチする新しい方法を開発しています。「フェルマーの最終定理のような単純に見える問題でさえ難しい。物理学のアイデアを使うことで、新たな突破口が開けるかもしれません」と彼は語ります。
学の美しさと統一性
ラングランズプログラムが示すのは、数学の異なる分野が実は深いところでつながっているという、驚くべき事実です。それは、地球上の異なる大陸が、実は海底でつながっているという発見に似ています
(引用終り)
以上
373: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)22:18 ID:JxJPBISF(6/6) AAS
>>371-372
これは御大か
巡回ありがとうございます
いま、検索したら math_jin 情報がヒットした
1年前だね。この人 情報早いね。尊敬する
(参考)
外部ﾘﾝｸ:x.com
math_jin
幾何学的ラングランズ予想の証明論文群、IとIIIが9/11に更新されています。
l 外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
lll 外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
2024年5月7日
幾何学的ラングランズ予想を解決したとされる論文群（5部作）が発表されました。
Proof of the geometric Langlands conjecture
This page will contain several papers, the combined content of which will constitute the proof of the (categorical, unramified) …
.
外部ﾘﾝｸ:people.mpim-bonn.mpg.de
午前10:33 · 2024年9月12日
外部ﾘﾝｸ:x.com
math_jin
幾何学的ラングランズ予想を解決したとされる論文群（5部作）が発表されました。
Proof of the geometric Langlands conjecture
This page will contain several papers, the combined content of which will constitute the proof of the (categorical, unramified) …
.
外部ﾘﾝｸ:people.mpim-bonn.mpg.de
午後5:00 · 2024年5月7日
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