[過去ログ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658レス)
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42(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/28(木)23:46 ID:IsA0R4yK(7/8) AAS
>>41 つづき
ああ、いま改めて読むと
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957) Senguptaより
”・・・ f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
なんてありますね。”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、貴方の定理に近いかな?
”Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”か・・
これか、これに近い文献を読まないことには、訳わからんな
えーと、Meagre setか・・
”E is co-meager in R”が、イメージできんな・・(^^
前提a)(連続不連続が稠密)を、b)(連続とディニ微分発散が稠密な組み合わせ)に、緩和しても・・
a) f is continuous and discontinuous are each dense in R.
↓
b) f is continuous and the E *) are each dense in R. ( *)the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.)
a)Eは、co-meager
↓
b)Eは、meager
には出来ない? それとも出来るの?
定理1.7成立なら、「 meager には出来ない」?
これ、やっぱり元論文読まないと、イメージ湧かないな〜(^^
まあ、ゆっくりやろうや
43: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/28(木)23:46 ID:IsA0R4yK(8/8) AAS
>>42 つづき
(参考)
外部リンク:en.wikipedia.org
Meagre set
Examples
Subsets of the reals
The rational numbers are meagre as a subset of the reals and as a space ? that is, they do not form a Baire space.
The Cantor set is meagre as a subset of the reals, but not as a space, since it is a complete metric space and is thus a Baire space, by the Baire category theorem.
外部リンク:ja.wikipedia.org
疎集合
数学の分野における、位相空間内の疎集合(そしゅうごう、英語: nowhere dense set)[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
注釈
1^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。
外部リンク[pdf]:math.cs.kitami-it.ac.jp
例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
以上
44(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/29(金)00:05 ID:wAjWw3D/(1) AAS
>>30
ところで、証明をつっついて悪いが
補題1.5の証明中で
1)
"∀y ∈ R[|y − x| <1/M → |f(y) − f(x)| <= N (y − x)] (1) が成り立つ"
を、条件 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ から導いている
|y − x| <1/M は、そこに書かれているように、ある区間(x-1/M, x+1/M)のことだな
ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間(c, d)と書けるだろ?
定理1.7の証明は、それで終りでは?
2)
それから、前スレ>>615で
”「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない”
というが、それ(”全体で”)を導くことは、定理1.7(「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」)をいうだけなら、不必要では?
( 上記のある区間(c,d)で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい? )
3)
それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[|y − x| <1/M → |f(y) − f(x)| <= N(y − x)] (1) が成り立つ"というけれど
R−Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
それでも、"∀y ∈ R[|y − x| <1/M → |f(y) − f(x)| <= N(y − x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね? (言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが)
まあ、年末年始は忙しい
十分レスできないと思うが
貴方も、気張らずにやってください (^^
以上
45(3): 2017/12/29(金)00:12 ID:gcYWyS10(1/7) AAS
>>40-42
>まだ、疑問に思っているのは
>下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
悪あがきは やめたまえ。前スレ540 で既に述べたとおり、
スレ主の大好きな f^r と f_w は、例の定理の反例になり得ない。
2chスレ:math
このレスにより、R−B_{f^r} は第一類集合にならず、R−B_{f_w} も第一類集合にならないので、
f^r と f_w は例の定理の「適用範囲外」ということになり、よって例の定理の反例になり得ない。
また、f^r と f_w が例の定理の「適用範囲外」であるという事実により、Differentiability of the Ruler Function が
どのように記述されていようとも、そのことと例の定理との間の整合性なんか 全 く 考 え る 必 要 が な い 。
46: 2017/12/29(金)00:15 ID:bDrChn34(1/2) AAS
忙しい、ゆっくりやろう
で4年間進歩が無いスレ主
未だにεδ論法さえ理解できず
47: 2017/12/29(金)00:27 ID:gcYWyS10(2/7) AAS
>>38
>1)稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間(a,b)がとれる
>2)稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない(空集合)
いつまでそのゴミみたいな場合分けに拘るつもりだ?場合分けせずとも、例の pdf の証明を辿ることで
直接的に結論が出せるのだから、その場合分けは必要ない。仮に場合分けしたところで、
>>26-30で書いたことと全く同じ理屈になるだけから意味が無い。一応やってみようか?
[続く]
48: 2017/12/29(金)00:29 ID:gcYWyS10(3/7) AAS
[続き]
R−B_f は第一類集合とする。f がある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。(1),(2)で場合分けする。
「その1(>>28)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて
矛盾するので、このケースは起きない。よって、(1)のみ考えればよい。そして(1)の場合は、
例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その2(>>29)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて矛盾するので、
矛盾した状態からは何でも帰結できることにより、「リプシッツ連続な区間が取れる」ことになる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その3(>>30)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、どの証明の どの場合分けにおいても、「例の pdf の証明そのもの」を
その都度 持ち出せば証明が終わるので、お前の場合分けは実質的には全く機能していない。
49: 2017/12/29(金)00:47 ID:gcYWyS10(4/7) AAS
>>44
>ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間(c, d)と書けるだろ?
>定理1.7の証明は、それで終りでは?
息をするように間違えるゴミクズ。ぜんぜん終わらないよ。
なぜなら、その pdf の(1)の部分では「x」が固定されていて、動かせるのは y だけだからだ。
もし、お前が言うように c, d を定義したとしても、(1)で言えているのは
∀y∈(c, d) [ |f(y) − f(x)| <= N|y − x| ]
ということに過ぎず、y しか動かせていない。一方で、f が(c,d)上でリプシッツ連続であるためには、
∀y,z∈(c, d) [ |f(y) − f(z)| <= N |y − z| ]
が言えなければならない。しかし、補題1.5の条件だけでは、ここまで強いことは言えない。
あるいは、別の言い方をすると、次のように言ってもよい。まず、
f(x)= 0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の関数を考える。すると、|Af(0)|=|f '(0)|=0<+∞ だから、この f と x=0 に対して補題1.5 の議論が使える。
すると、そのまま(1)のところまで来たとき、もしスレ主の言い分が正しいなら、「それで終わり」となり、
この f は原点の近傍でリプシッツ連続ということになるが、実際にはそんなことは無いだろ?
つまり、スレ主の言い分は自動的に間違ってるということ。
50: 2017/12/29(金)01:04 ID:gcYWyS10(5/7) AAS
>>44
>というが、それ(”全体で”)を導くことは、定理1.7(「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」)をいうだけなら、不必要では?
>( 上記のある区間(c,d)で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい? )
その言い分そのものは正しいが、そのような (c,d) を見つける方法が全く自明ではなく、
ベールのカテゴリ定理を使わなければ そういう (c,d) が出て来ない、という話をしているんだよ。
つまり、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明になってないってこと。
少し詳しく見てみようか?まず前提として、
状況A:
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」という条件からは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
という「状況A」があるわけだ。すると、次のようになる。
(a,b)⊂B_f が成り立つとする。このとき、状況Aにより、f は(a,b)全体でリプシッツ連続であるとは断言できない。
しょうがないので、(a,b)内の十分小さな区間(c,d)を取る。当然ながら、(c,d)⊂B_f である。
では、f は(c,d)上でリプシッツ連続なのか?残念ながら、状況Aを区間(c,d)に対して適用すれば、
f は(c,d)上でリプシッツ連続だとは断言できない。では、(c,d)内の更なる小さな区間(s,t)を考えたらどうか?
当然ながら、(s,t)⊂B_f である。では、f は(s,t)上でリプシッツ連続なのか?
残念ながら、「状況A」を区間(s,t)に対して適用すれば、f は(s,t)上でリプシッツ連続だとは断言できない。
……このように、いくら小さな開区間に限定しても、状況Aがその開区間に適用できるので、
f がその区間の上でリプシッツ連続であるとは断言できなくなってしまう。
では、どうやって望みの部分区間(c,d)を見つければいいのか?
そのために本当に必要になるのが、ベールのカテゴリ定理である。
結局、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明にならないのである。
51(2): ◆QZaw55cn4c 2017/12/29(金)01:06 ID:A/roP4cE(1) AAS
>>37
教科書(宮島微積分)では、逆像と逆写像を区別しており、
逆像:写像f: X->Y について、「B⊂Y に対してB に写されるような X の要素の全体 { x ∈X | f(x)∈B} をBのfによる逆像といい、f^(-1)(B) で表す」
逆写像:「写像f:X->Y が単写のときf の値域に属する要素 y に対して f(x) = y となる x ∈ Xが唯一つ存在するので、y∈f(X) にこの x を対応させる f(X) から X への写像が定義され
る。この写像をf^(-1) で表し、f の逆写像という。」
また、
「逆像 f^(-1)(B) に用いた f^(-1) と、逆写像の意味は微妙にずれている」
とも書かれています。教科書では
? f(A∩B)⊂f(A)∩ f(B)
?f^(-1)(A∩B)=f^(-1)(A)∩ f^(-1)(B)
の f^(-1) は逆像の意味で与えられているのですが、これは、 y = f(x) を満たす x が複数あっても??が成立するように見えます。
52: 2017/12/29(金)01:22 ID:gcYWyS10(6/7) AAS
>>44
>それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[|y − x| <1/M → |f(y) − f(x)| <= N(y − x)] (1) が成り立つ"というけれど
>R−Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
>それでも、"∀y ∈ R[|y − x| <1/M → |f(y) − f(x)| <= N(y − x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね? (言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが)
息をするように間違えるゴミクズ。その(1)では「x」が固定されていて、y の方しか動かせないので、
別の点におけるディニ微分が発散していようがいまいが、(1)にとっては何の関係も無いのである。
具体例を1つ挙げておく。
f(x) = x^2 (|x|は有理数), −x^2 (|x|は無理数)
として f を定義すると、この f は原点以外の各点で不連続なので、特に Af(x)=+∞ (x≠0) が成り立つ。
しかし、この f は原点で微分可能であり、f '(0)=0 である。特に、正整数 N を何でもいいから1つ取れば、
Af(0)=|f '(0)|= 0 < N
となるので、M>0 を十分大きく取れば、
∀y ∈ R [|y − 0| <1/M → |f(y) − f(0)| <= N|y − 0|] (1)
が成り立つことが実際に示せる。この(1)の様子を、グラフを書いて視覚的に確かめてみよ。
(f(y)−f(0)/(y−0))
という、x の方を x=0 に固定して y の方だけ動かしたときの「傾き」は、y が原点に十分近ければ実際に有界の範囲に
収まっていることが視覚的に容易に確かめられるだろう(x≠0 なる任意の点では Af(x)=+∞が成り立っているにも関わらず)。
53(1): 2017/12/29(金)01:42 ID:gcYWyS10(7/7) AAS
>>44
>(言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが)
他の点でのディニ微分の値がどうなっているかなんて、全く考える必要がない。
なぜなら、そのような情報とは無関係に(1)が導けていることが、機械的に容易に確認できるからだ。
実際、(1)を導くのに使ったのは、ほとんど limsup の定義のみである。
お前は証明の読み方が おかしい。
証明の中に盛り込まれてない別の情報Pとの整合性が お前にとって気になったのだとしても、
それはお前が自分の頭の中で解決すればいいだけの話であって、
「この証明は情報Pについての議論を盛り込むべきである」
なんていうことにはならない。その証明が情報Pとは無関係に進むことが機械的に確認できたなら、
その情報Pはお前にとっての単なる「杞憂」に過ぎなかったのであり、その証明は情報Pを盛り込む必要がどこにも無い。
54(1): 2017/12/29(金)03:06 ID:fCvz7u7e(1/2) AAS
>>51
その通りです
yに対しy=f(x)を満たすxが複数有り得るからこそ?になり
xに対しy=f(x)を満たすyが複数あり得ないからこそ?になります
55: 2017/12/29(金)07:35 ID:fCvz7u7e(2/2) AAS
>>54
逆にfが写像(1価)でも単射なら
すなわち
yに対しy=f(x)を満たすxが複数あり得ないのであればf^-1の場合の?同様?は等号になります
56: 2017/12/29(金)15:32 ID:UhtZ751q(1) AAS
ガロアのスレ主がゴミクズ野郎なのがよく分かるな
57: 2017/12/29(金)17:19 ID:bDrChn34(2/2) AAS
スレ主は勉強するか黙るかどちらかにすべき
58(1): 2017/12/29(金)17:49 ID:41hqZa6e(1) AAS
お兄さん「先生来られました」
おばあさん「先生?」
おじいさん「数学の先生」
俺「まあ…うん…数学やってる」
おばあさん「計算が得意なの?」
俺「計算は…あまり得意じゃない。計算するのが数学じゃなくて計算するための理論を組み立てるのが数学だから」
59: 2017/12/30(土)12:02 ID:T5iI1wtu(1) AAS
スレ主は今年も進歩ゼロでしたとさ
60: 2017/12/30(土)13:17 ID:dSbKeTYf(1) AAS
ここまで酷いとホントにゴミだよ
なんで数学板にいるの?ってレベル
61: 2017/12/31(日)11:42 ID:yDllqZzl(1/2) AAS
>>58
これってスレ主?
62: 2017/12/31(日)12:15 ID:65THZoXS(1) AAS
ズレ主を表す今年の漢字2017は?
「誤」「乱」「偽」「劣」「愚」
63: 2017/12/31(日)15:12 ID:yDllqZzl(2/2) AAS
スレ主の反応が無い。
冬休み、うつ、飽きた
どれだ?
64: 2018/01/01(月)01:44 ID:9ORABeV3(1/2) AAS
スレ主がこのまま消えますように
65: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:04 ID:dCRrvhl7(1/27) AAS
皆さま、どうも。スレ主です。(^^
明けまして、おめでとうございます。
新年も、よろしくお願いします。m(_ _)m
66: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:06 ID:dCRrvhl7(2/27) AAS
>>53
ID:gcYWyS10 さん、沢山レスありがとう
貴方のレスは、レベル高いね
あとで、じっくり読むよ(^^
67(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:07 ID:dCRrvhl7(3/27) AAS
で、勝手ながら、年末年始に読んだ関連を貼るよ(^^
まず、関連参考:検索でヒットしたので貼る。
BaireCategory.pdfの”3. Pointwise limits of continuous functions.”に、「422に書いた定理」の関連記述
「Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)」とあり(当たり前か? (^^ )
外部リンク[html]:www.math.utk.edu
MATH 447- Advanced Calculus I- Fall 2016- A. FREIRE
(or: ANALYSIS IN R^n)
(抜粋)
外部リンク[pdf]:www.math.utk.edu
Sets of discontinuity and Baire's theorem Baire Category Notes (5 problems) (the problems are HW8, due Friday 11/4)A. FREIRE 2016
(抜粋)
1. Sets of discontinuity. For f : R → R, we define
Df = {x ∈ R; f is not continuous at xg:
3. Pointwise limits of continuous functions.
Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)
Proof. We know Df = ∪ n>=1 D1/n (see Section 1), so it suffices to show
that the closed sets Dε have empty interior, for any ε > 0.
By contradiction, suppose Dε contains an open interval I.
We'll find an open interval J ⊂ I disjoint from Dε!
Let fn → f pointwise on R, with each fn : R → R continuous.
For each N >= 1, consider the set:
CN = {x ∈ I; (∀m, n >= N)|fm(x) - fn(x)| <= ε/3}.
Clearly ∪ N>=1 CN = I (by pointwise convergence). QED
(引用終り)
つづく
68(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:08 ID:dCRrvhl7(4/27) AAS
>>67 つづき
(上記の関連参考:出典URL)
外部リンク[html]:www.math.utk.edu
Math 447 Fall 2016- A. FREIRE
TOPICS
PART I: Topology
Supplementary handouts (for advanced students):
(adapted from more advanced classes and not yet in final form)
外部リンク[pdf]:www.math.utk.edu
Definitions and Theorems from General Topology
外部リンク[pdf]:www.math.utk.edu
Locally compact Banach spaces are finite dimensional (includes 4 problems)
外部リンク[pdf]:www.math.utk.edu
Spaces of Continuous Functions (outdated)
外部リンク[pdf]:www.math.utk.edu
Stone-Weierstrass theorem-notes (includes 6 problems)
外部リンク[pdf]:www.math.utk.edu
Ascoli-Arzela-Notes (final-included 7 exercises with solutions, and 11 extra problems.)
外部リンク:www.math.utk.edu
Alex Freire
Department of Mathematics
University of Tennessee
(終り)
つづく
69(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:10 ID:dCRrvhl7(5/27) AAS
>>68 つづき
あと、いま、「422に書いた定理」に、似た文献を見つけて読んでいる。(^^
”I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994”
これ、出版されていて、アマゾンでもヒットした
疑問が二つ
1)Proposition 1.1.1. の「Given ε > 0 there is a δ > 0 such that {x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : |f(x) − f(x0)| ≧ ε} ∈ J.」で、普通のεδ論法だと、 |f(x) − f(x0)| < ε と不等号の向きが逆になると思うが、誤植か? σ-ideal を考えているから、これで良いのか? どうも良いみたいだが
2)Corollary 1.1.6. の「(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2」で、f|Kは、Theorem 1.1.4.の”(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.”の記載ぶりとの比較から、f|Kcの誤記かなと思ったり? 意味が全く違ってくる
これにも、「422に書いた定理」の関連記述あり(後述)
つづく
70(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:10 ID:dCRrvhl7(6/27) AAS
>>69 つづき
外部リンク[pdf]:www.math.wvu.edu
I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994- 被引用数: 84
(抜粋)
CHAPTER 1
The Ordinary Density Topology
1.1. A Simple Category Topology
To gain some insight into what is happening with limits like this, it is useful
to generalize this idea to a topological setting.
A nonempty family J ⊂P(X) of subsets of X is an ideal on X if A ⊂ B and
B ∈ J imply that A ∈ J and if A∪B ∈ J provided A,B ∈ J. An ideal J on X
is said to be a σ-ideal on X if ∪n∈N An ∈ J for every family {An : n ∈ N} ⊂ J.
Let J be an ideal on R and To be the ordinary topology on R. The set
T (J) = {G \ J : G ∈ To, J ∈ J}
is a topology on R which is finer than To. The following proposition is evident
from the definitions.
Proposition 1.1.1. Let J be a σ-ideal on R and T (J ) be as above. For
f : (R, T (J )) → (R, To) and x0 ∈ R the following statements are equivalent to
each other.
(i): f is continuous at x0.
(ii): Given ε > 0 there is a δ > 0 such that
{x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : |f(x) − f(x0)| ≧ ε} ∈ J.
つづく
71(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:11 ID:dCRrvhl7(7/27) AAS
>>70 つづき
Theorem 1.1.4. Let J be a σ-ideal and f : R → R. The following statements
are equivalent.
(i): The function f is J -continuous J -a.e.
(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.
Furthermore, if the ideal J contains no interval, then the following statement is
equivalent to (i) and (ii)
(iii): There exists a function g : R → R such that f = g J -a.e. and g is continuous in the ordinary sense J -a.e.
Proof. The fact that (ii) implies (i) is obvious. Suppose (i) is true and let
f be J -continuous on a set M = Jc for J ∈ J. For each n ∈ N and x ∈ M,
by Proposition 1.1.1(ii) there is an open interval I(n, x) and a J(n, x) ∈ J such
that
x ∈ I(n, x) \ J(n, x) ⊂ f−1((f(x) − 1/n, f(x) + 1/n)).
For each fixed n, there must be a countable sequence xn,m ∈ M such that
M ⊂∪m∈N I(n, xn,m).
Let
K = J ∪ ∪ n,m∈N J(n, xn,m) ∈ J.
If x ∈ Kc and ε > 0, then there must exist natural numbers n and m such that
2/n < ε and x ∈ I(n, xn,m). Then |f(x) − f(xn,m)| < 1/n so that
f(x) ∈ (f(xn,m) − 1/n, f(xn,m) + 1/n) ⊂ (f(x) − ε, f(x) + ε)
つづく
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