不等式への招待第４章

[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待第４章 (706ﾚｽ)
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585: 2009/12/24(木)22:49 AAS
>>584
　tan(x) < x + x^3,
(略証)
　2/3 < cos(x) ≦ 1 のとき
　cos(x){1 + sin(x)^2} - 1 = cos(x){2 - cos(x)^2} - 1 = {1-cos(x)}{cos(x)^2 +cos(x) -1} > 0,
∴　tan(x) < sin(x) + sin(x)^3 < x + x^3,

586(1): 2009/12/25(金)05:18 AAS
円周上に 3 点 A , B , C と
孤 AB , BC , CA の中点 D , E , F がある

AB + BC + CA ≦ DE + EF + FD

587: 2009/12/25(金)14:12 AAS
>>586
外接円の中心を点O、半径をRとすれば、
OD⊥BC,OE⊥CA.OF⊥ABより(AB+BC+CA)×R＝2×六角形AFBDCE
これに対しOA,OB,OCはそれぞれEF,FD,DEと垂直とは限らないので
(DE+EF+FD)×R≧2×六角形AFBDCE

以上からAB+BC+CA≦DE+EF+FD

588(1): 2009/12/25(金)21:22 AAS
a,b,c>>0に対して,
2(ab/c^2+bc/a^2+ca/b^2)≧(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b
が成り立つことを示せ.

589: 2009/12/26(土)02:38 AAS
>>588
相加相乗から
ab/c^2+ab/c^2+bc/a^2≧3b/c
ab/c^2+bc/a^2+bc/a^2≧3b/a
よりab/c^2+bc/a^2≧b/a+b/c
同様にbc/a^2+ca/b^2≧c/b+c/a,ab/c^2+ca/b^2≧a/c+a/b
辺々足して2(ab/c^2+bc/a^2+ca/b^2)≧(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b

591(1): 2009/12/27(日)05:28 AAS
四角形 ABCD の面積を S とする

4S ≦ ( AB + CD ) ( BC + DA )

592: 2009/12/27(日)21:35 AAS
>>590
　∠AOB = 2α,　∠BOC = 2β,　∠COD = 2γ,　∠DOA = 2δ, (>>0)
とおく。ただし
　α+β+γ+δ = π,　　　･･････ (*)
を満たすとする。

　AB = 2R･sinα,　BC = 2R･sinβ,　CD = 2R･sinγ,　DA = 2R･sinδ,
　AC = 2R･sin(α+β),　BD = 2R･sin(β+γ),
省18

593: 2009/12/27(日)21:50 AAS
>>591
　2S = 2△ABC + 2△CDA ≦ AB･BC + CD･DA,
　2S = 2△BCD + 2△DAB ≦ BC･CD + DA･AB,
辺々たす。

594: 2009/12/27(日)23:47 AAS
質問されてるぞ

276　　　だるまにおん　[2009/12/20(日) 12:01:28 ID:darumaotoshi]
出題
実数a,bが
3^a+13^b=17^a
5^a+7^b=11^b
をみたすとき、a＜b が成り立つことを証明せよ。
省17

595: 2009/12/28(月)02:23 AAS
>>590
AB≦CDとしてもよく、ACとBDの交点を点Eとして
線分CE上に点FをEB=EFとなるように取り、線分CD上に点GをGF//DEとなるように取る。
三角形CFGで三角不等式を適用

596(1): 2010/01/01(金)02:58 AAS
数列 a [ k ] は

a [ k ] = ( 1 / 7 ) * ( 7 / 6 ) ^ k ( 1 ≦ k ≦ 6 )

a [ k + 6 ]
= ( 1 / 6 ) * ( a [ k + 5 ] + a [ k + 4 ] + ･･･ + a [ k ] ) ( 1 ≦ k )

を満たすとき

0.285 < a [ 2010 ] < 0.286

597: 2010/01/01(金)22:34 AAS
>>596
　b[k] = (1/21){6*a[k+5] + 5*a[k+4] + 4*a[k+3] + 3*a[k+2] + 2*a[k+1] + a[k]},　　(k≧1)
とおくと、
　b[k+1] - b[k] = (1/21){6*a[k+6] -a[k+5] -a[k+4] -a[k+3] -a[k+2] -a[k+1] -a[k]} = 0,

∴　b[k+1] = b[k] = ･････ = b[1]
　　　= (1/21){6*a[6] + 5*a[5] + 4*a[4] + 3*a[3] + 2*a[2] + a[1]}, (一定)

∴　a[n] → b[1]　(n→∞)
省1

598: 2010/01/02(土)04:05 AAS
凸四角形 ABCD の外側に正三角形 ADE , BCF を作れば

EF ≦ AC + BD

599: 2010/01/08(金)17:43 AAS
>>2 [10]　
>The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年

買ってみた。ＨＬＰはイマイチ自分に合わなかったけど、この本のテンポや話の進め方は好みだなぁ。

600: 2010/01/09(土)14:15 AAS
Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach
2009/10/23 発売
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp

みんなもうこれ買った？

601(1): 2010/01/09(土)15:20 AAS
そんなん買わなくても、ネットでタダで色々見れるじゃん

602: 猫は淫獣 ◆ghclfYsc82 [age] 2010/01/10(日)22:02 AAS
以下の様な書き込みがありました。皆さんのご意見を賜りたいと
存じます。

敬具

猫拝

>頭が悪いのがコンヌみたいな数学史に残るであろう大天才に推薦状を書く雑用をさせていいと思ったのかい？
>お前が飢えてどこで野垂れ死のうと数学の歴史には全く影響がないが
>コンヌの時間を奪えば数学の歴史に影響しかねんとは考えられなかったのかい？
省15

603(1): 2010/01/11(月)03:33 AAS
>>601
例えば？

604(1): 2010/01/11(月)19:19 AAS
x^(2y)+y^(2x)≦1　(x+y=1)を示せ。

簡単だと思って挑戦したけど無理でした。
どなたか、教えてください。

605: 2010/01/11(月)19:45 AAS
↑　0≦x,y≦1 も変数の条件です

606: 2010/01/12(火)00:26 AAS
>>603
数学オリンピックの過去問のことじゃないかなぁ。
まあ、でも本そのものとは違うよね。

607: 2010/01/16(土)01:02 AAS
>>604
x≦1/2 として一般性を失わない
0≦x≦1/4 と 1/4≦x≦1/2 に分けて考える

・0≦x≦1/4 のとき
x^(2y) + y^(2x) = x^(2-2x) + (1-x)^(2x)
≦ x^(2-2x) + 1 - 2x^2
= 1 - x^2(2 - 1/(x^x)^2)
省21

608: 2010/01/16(土)01:02 AAS
以上の評価から
(1/2) ((1+t)^(1-t) + (1-t)^(1+t)) ≦ 1 - t^2 + (3/4)t^4 - t^6/4
(1/2) ((1+t)^(1-t) - (1-t)^(1+t)) ≦ t - t^3/2

cosh(t ln(2)) = 1 + (t ln(2))^2/2! + (t ln(2))^4/4! + …
≦ 1 + (t ln(2))^2/2 + (t ln(2))^4/12
sinh(t ln(2)) = t ln(2) + (t ln(2))^3/3! + …
≦ t ln(2) + (t ln(2))^3/3
省9

609(3): 2010/01/17(日)18:45 AAS
△ OAB の辺 AB の三等分点を P , Q とすれば

OA + OB > OP + OQ

610: 猫は淫獣 ◆ghclfYsc82 [age] 2010/01/17(日)20:41 AAS
ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
省20

611: [sage ] 2010/01/17(日)23:18 AAS
>>609
　平行四辺形OABCを考える。
　AC // OB,　BC // OA,
　◇OACB ⊃ ◇OPCQ
∴　OA + AC + CB + BO > OP + PC + CQ + QO,
∴　OA + OB > OP + OQ,

612: 2010/01/18(月)04:27 AAS
>>609
　OP↑ = (1-t)OA↑ + t･OB↑ = OA↑ + t･AB↑,　(t∈R)
とおく。
　OP(t) = √(OP↑,OP↑)
　　= √{|OA|^2 + 2(OA↑,AB↑)t + |AB|^2･t^2}
　　= √(c+bt+at^2),
　(d/dt)OP = (b+2at)/(2･OP),
省3

613: 612 2010/01/18(月)04:30 AAS
>>609
∴　OP(t) は下に凸。スマソ。

614(4): 2010/01/31(日)07:18 AAS
Π [ k = 2 → n ] cos ( 1 / k ) > 2 / 3

615: 2010/01/31(日)19:13 AAS
AA省

616(1): 2010/02/01(月)19:14 AAS
a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27

617(1): 2010/02/05(金)04:21 AAS
4 ^ 79 < 2 ^ 100 + 3 ^ 100 < 4 ^ 80

618(1): 2010/02/06(土)02:01 AAS
>>617
　3^12 = 531441 > 524288 = 2^19 = 4^(19/2),
　3^17 = 129140163 < 1342177228 = 2^27 = 4^(27/2),
∴　4^(19/24)　< 3 < 4^(27/34),
これを使えば････

619: 2010/02/07(日)14:49 AAS
>>618
>>3^12 = 531441 > 524288 = 2^19 = 4^(19/2),
>>3^17 = 129140163 < 1342177228 = 2^27 = 4^(27/2),

よくそこまで探したなぁ

620(1): 2010/02/07(日)17:59 AAS
(1+x)^n>>1+nx

621: 2010/02/09(火)15:08 AAS
>>620

nは自然数？
xは実数？

622(3): 2010/02/09(火)15:36 AAS
正の実数a,b,cに対し、
3/2 < (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) < 9
がなりたつことを示せ。

（日本ジュニア数学オリンピック本選）

623: 2010/02/10(水)22:23 AAS
>>622

　0<y≦x　⇒　1 ≦ (4x+y)/(x+4y) < 4,
　0<x≦y　⇒　1/4 < (4x+y)/(x+4y) ≦ 1,
から出る。

　>>473-475

624(1): 2010/02/11(木)22:33 AAS
>>622
　3 ≦ (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) < 9 - 3/4,

(略証)
左側
　a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと、
　(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
　= (105st -195u +39⊿)/(20st + 70u +12⊿)
省15

625: 2010/02/13(土)06:58 AAS
>>622

(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
は斉次式だから、

(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
=(4p+1)/(p+4)+(4q+1)/(q+4)+(4r+1)/(r+4)

(p=b/a, q=c/b,q=a/c。なお、pqr=1）

((4p+1)/(p+4)={4(p+4)-15}/(p+4)=4 - 15/(p+4) なので)
省2

626: 2010/02/14(日)03:02 AAS
>>624

〔補題〕
a,b,c > 0 のとき |⊿| ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc,
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),　　　(差積) 　

(略証)
相加･相乗平均より
　2g = (a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc +⊿ = 2(ab^2 +bc^2 +ca^2 -3abc) ≧ 0,
省9

627(1): 2010/02/16(火)08:58 AAS
cos(sinｘ)＞sin(cosｘ) をしめせ。

（xは任意の実数）

628(1): 2010/02/16(火)13:49 AAS
-1≦cosx≦0のときは明らかだから、0<cosx≦1のときを示せばいいんだな。

629: 2010/02/16(火)23:01 AAS
>>627-628
・ある整数n に対して |x'| = |x-2nπ| < π/2,
∴　|x| < π/2 としてもよい。
　|sin(x)| ≦ |x| より
　|sin(cos(x))| < |cos(x)| = cos(x) ≦ cos(sin(x)),

[前スレ.343]
[東大入試作問者スレ１５.148, 156]

630(1): 2010/02/21(日)23:06 AAS
>>616
　基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u, とおく。

　(左辺) = (a/s + s/b)(b/s + s/c)(c/s + s/a)
　　　　 = {F_1 + 5(st-9u)}/u - (s^3 -27u)/(27s^3) + (10/3)^3,

　(右辺) = (41/10)(st-9u+⊿)/u + (10/3)^3,

　{(左辺) - (右辺)}･u = F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)u/(27s^3) -(41/10)⊿
　　　≧ F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)⊿,　(← s^3 ≧ 27u)
省8

631(2): 2010/02/21(日)23:09 AAS
>>630
〔補題〕
a,b,c >>0 のとき
　F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)|⊿| ≧ 0

(略証)
　m = min(a,b,c), {a,b,c} = {m, m+x, m+x+y}, x,y≧0
とおいて m,x,y で表わすと、
省12

632: 2010/02/23(火)00:25 AAS
>>631

詳細は････
　(9/5 -8/729)x^3 + (-7/5 -12/729)x^2･y + (-6/5 -6/729)xy^2 + {1-(1/27)^2}y^3
　= {1-(1/27)^2}(1.7914835164835x^3 -1.4184065934066x^2･y -1.2098901098901xy^2 + y^3)
　= {1-(1/27)^2}(1.1914345026367x + y){√(3/2)･x - y}^2 + 0.0018743091451x^3 + 0.0480990601188xy^2
　≧ 0,

633: 632 2010/02/23(火)23:27 AAS
>>631 (訂正)

　(9/5 -8/729)x^3 + (-7/5 -12/729)x^2･y + (-6/5 -6/729)xy^2 + {1-(1/27)^2}y^3
　= {1-(1/27)^2}(1.79148351648352x^3 -1.41840659340659x^2･y -1.20989010989011xy^2 + y^3)
　= {1-(1/27)^2}(1.19143450263671x + y){√(3/2)･x - y}^2 + 0.00432582046736996x^3 + 0.0480990601188323xy^2
　≧ 0,

634(1): 2010/03/11(木)23:23 AAS
〔出題44〕
P(x) はn次の整式で、任意の実数xに対して P(x) ≧ 0 が成り立つ。
このとき、任意の実数a,xに対して
　P(x) + a･P '(x) + (a^2)P "(x) + …… + (a^n)P^(n) ≧ 0,
が成り立つことを示せ。

外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com

635(1): 2010/03/11(木)23:27 AAS
>>634

(略証)
a=0 のときは明らか。
a≠0 のとき
　Q(x) = P(x) + a･P '(x) + (a^2)P "(x) + …… + (a^n)P^(n),
とおく。題意より
　0 ≦ P(x) = Q(x) - a･Q'(x) = -exp(x/a){a･exp(-x/a)･Q(x)} '
省7

636: 2010/03/12(金)00:03 AAS
>>635

(略証)
ｶﾞｯ

637(3): 2010/03/17(水)13:04 AAS
今年の滋賀医大の難問。

実数全体を定義域とする，2回微分可能な関数 f(x) が，任意の実数 x に対して
・f′(x) > f′′(x)
・f(x)>>0
を満たすとき，
　f(x) > f′(x) > 0
が成り立つことを示せ。

638: 2010/03/19(金)00:43 AAS
>>637
{f'(x)exp(-x)}'={f''(x)-f'(x)}exp(-x)<0

だから f'(x)exp(-x) は減少。よって f'(a)≦0 なる a が在るとすると、
x>a で常に f'(x)<0, f''(x)<0 となるがこれは f(x) > 0 に反する。
よって f'(a)≦0 なる a は無い。

次に、仮定により f'(x)-f(x) が単調減少だから、
f'(a)-f(a)≧0 なる a が在るとすると、c<a なる c に対して
省2

639(1): 2010/03/19(金)09:05 AAS
x<c のとき常に f'(x)>f'(x)-f(x)>f'(c)-f(c) > 0 が成り立つ事になるが、
これは f(x) > 0 に反する。

がわかんない
おしえてちょ

640: 2010/03/19(金)16:31 AAS
>>639
丁寧にまとめてみました。
外部ﾘﾝｸ:wiki.livedoor.jp

641: 2010/03/19(金)18:09 AAS
すんばらしいどす

642(1): 2010/03/20(土)10:22 AAS
TeXって、符号から始まるとき、間隔が0になってしまうのは仕様？

例えば、a-bと、-b

643: 2010/03/20(土)14:35 AAS
>>642
\phantom 使え

644: 2010/03/20(土)18:44 AAS
オペラ座の怪人？

645: 2010/03/26(金)17:34 AAS
>>637
実際は誘導付きだったんだね。
高校の範囲でできる。

646: 2010/03/27(土)04:06 AAS
〔出題〕
　a[k] ≧0 (1≦k≦n, 2≦n∈N),　∑[k=1,n] a[k]^2 =1 のとき
　Π[k=1,n] (1-a[k]) ≦ (1/2)(√2 - 1)^2,
を証明せよ。（だるまにおん）

外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com

647(1): 2010/04/11(日)21:52 AAS
〔問4〕
正の実数x,y,zに対し,
　(1+xy+xz)/(1+y+z)^2 + (1+yz+yx)/(1+z+x)^2 + (1+zx+zy)/(1+x+y)^2 ≧ 1,
が成り立つことを示せ。（2010年度日本数学オリンピック本選問4)

外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
　casphy - 高校数学 - 不等式

648: 2010/04/11(日)22:05 AAS
>>647
コーシーで一発でつね。
　(1+xy+xz){(x+y+z)/x} ≧ (1+y+z)^2, など。

649: 2010/04/11(日)22:06 AAS
〔出題330〕
a,b,c>>0 a+b+c=1 のとき
　a/√(c+a) + b/√(a+b) + c/√(b+c) < (5/4)√(a+b+c),
を証明せよ。（だるまにおん)

外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
　casphy - 高校数学 - 不等式

650: 2010/04/23(金)21:37 AAS
こんなのどうでしょう。

a, bをn次元の単位ベクトルとする。
cをc_i = (a_i b_i) / √(Σ(a_i b_i)^2)、uをu_i = 1 / √n で定める。
(a, b, c, uは全てn次元の単位ベクトル)
この時、|c-u|<=|a-u|+|b-u|を証明せよ。距離はユークリッド距離。

651: 2010/05/02(日)00:14 AAS
>>2に追加

[12]　大学への数学 2009年4月号-2010年3月号，東京出版
　　　　連載「不等式の骨組み」、栗田哲也、全12回、各4ページ

652: 2010/05/08(土)08:17 AAS
正の数 a,b,c,d が、a＋b＝ab，c＋d＝2 を満たすとき、a6c7＋b6d7 の最小値は？

653(1): 2010/05/08(土)08:18 AAS
正の数 a,b,c,d が、a＋b=ab，c＋d=2 を満たすとき、a^6*c^7＋b^6*d^7 の最小値は？

654(2): 2010/05/08(土)23:54 AAS
関数f(x)は、{f(x)}''>>0である。
このとき自然数nに対して、次の不等式を示せ。

{1/(n+1)}*{f(0)+f(2+)+…f(2n)} > (1/n)*{f(1)+f(3)+…+f(2n-1)}

655: 2010/05/09(日)06:21 AAS
G=a^6*c^7＋b^6*d^7-t(a＋b-ab)-s(c＋d-2)
Ga=6a^5c^7-t-bt=0,6sc/a=bt
Gb=6b^5d^7-t-at=0,6sd/b=at,c=d
Gc=7c^6a^6-s=0
Gd=7d^6b^6-s=0,a=b
2a=a^2,2c=2
c=d=1,a=2

656: 2010/05/09(日)06:25 AAS
G=2a^6c^7=2^7

657: 2010/05/09(日)13:48 AAS
数学ガールはコンボリューションってかいてあったのでラプラスかと思ったら
nCrじゃないか。。。あれで１８００円は高すぎる。２，０００円でクイックマスター
微分積分を買ってきた。定義もチャンとかいてあるからお得だ。高２に読ませてみる。

658: 2010/05/09(日)20:15 AAS
>>654

f " > 0 より f は下に凸で、
　g(j) = f(j-1) -2f(j) + f(j+1) >>0

∴　n･∑(k=0,n) f(2k) - (n+1)∑(k=1,n) f(2k-1)
　　= ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j) > 0,
　[ ] はガウスの括弧。
　>>130-136

659: 2010/05/10(月)00:13 AAS
>>>654って有名問題だったのか。

660: 2010/05/10(月)19:52 AAS
>>653

　f(x) = x^7 は x>>0 で下に凸だから、
　{b･f(x) + a･f(y)}/(a+b) > f((bx+ay)/(a+b)),
　(b･x^7 + a･y^7)/(a+b) > {(bx+ay)/(a+b)}^7,
両辺に (a+b)(ab)^6 を掛けて
　a^6･(bx)^7 + b^6･(ay)^7 > {ab/(a+b)}^6・(bx+ay)^7,
ここで bx=c, ay=d とおく。
省3

661: 2010/05/19(水)15:47 AAS
最大値と最小値の数学　上・下
外部ﾘﾝｸ:www.springer.jp
外部ﾘﾝｸ:www.springer.jp

不等式ヲタ向けですな…
下巻は「AM-QM」と誤植しているが…

662(1): 2010/05/24(月)22:25 AAS
〔問題〕
a,b,c,k は正の数とする。

１. 　(a^k) / k > 0,

２.
　(1)　-a･log(a) -b･log(b) +(a+b)log(a+b) > 0,
　(2)　k>>0 k≠1 のとき
　　{ -a^k -b^k + (a+b)^k} / {k(k-1)} > 0,
省5

663: 2010/05/27(木)00:20 AAS
>>19 >>26 >>637
大学入試の問題なんてどこで手に入れてる？

664(2): 2010/06/01(火)02:19 AAS
>>614

1985 お茶の水女子大/数

Π [ k = 2 → n ] cos ( 1 / k ) > 2 / 3

665: 2010/06/01(火)23:32 AAS
pi

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