[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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624(1): 2010/02/11(木)22:33 AAS
>>622
　3 ≦ (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) < 9 - 3/4,

(略証)
左側
　a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと、
　(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
　= (105st -195u +39��)/(20st + 70u +12��)
　= 3 + {45(st -9u) +3�凩/(20st + 70u +12��)
　≧ 3,　　　　　　　　　　　　(← 補題)
右側 >>475 あるいは
　　(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
　= (105st -195u +39��)/(20st + 70u +12��)
　= 9 -3/4 - {60st +(1545/2)u +60�凩/(20st + 70u +12��)
　< 9 - 3/4,　　　　　　　　　　　(← 補題)

〔補題〕
a,b,c > 0 のとき |�處 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) - 9abc,
ここに、�� = (a-b)(b-c)(c-a),　　　(差積) 　

(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、|�處 = xy(x+y), a+b+c = 3m + 2x+y, ab+bc+ca = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), abc = m^3 + m^2･(2x+y) + mx(x+y),　
∴　(a+b+c)(ab+bc+ca) - 9abc - |�處 = 2m(x^2 +xy +y^2) + 2x^2(x+y) ≧0,
(類題) [前スレ.737,739] 　　

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