純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (277ﾚｽ)
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256: １３２人目の素数さん [] 2025/08/31(日) 20:25:18.91 ID:lylF2dxQ

>>254-255
(引用開始)
フェルマー予想の解決については知らないが
一般にZFCで解決不能な不定方程式は存在する
このことはヒルベルトの第１０問題の
否定的解決の証明の系として導ける
フェルマー予想がそうではないかという予想があったのは
1970年ごろ
(引用終り)

下記に類似記述がありますね
"Hilbertの第10問題とは、1900年にHilbertが、20世紀の数学の指針として挙げた23問題のひとつです。整数係数の多項式方程式が任意に与えられるとき（たとえばFermatが考察した x^n+y^n=z^n）、これに整数解があるか否かを判定できるようなアルゴリズムを構築するよう求めています。1970年に、すべての多項式方程式に対応可能な単一のアルゴリズムは存在しないことが証明されました（否定的解決、図2）"

https://www.sci.tohoku.ac.jp/news/20250123-13546.html
お知らせ
東北大学大学院理学研究科数学専攻
助教　甲斐　亘（かい　わたる）
2025年1月23日

素数の組み合わせ論の高次元化
数体の素元に隠れた「星座」

今回の取り組み
2019-2024年にわたる取り組みで、Green-Taoの定理と、それを深化したGreen-Tao-Zieglerの定理（文献 [GTZ], 2012年）という素数に関する定理を、数体の素元に対しても証明することができました。後者の結果は、私自身によって代数幾何の研究において、別の研究者によって整数論・数学基礎論（後述のHilbertの第10問題）の研究においても、すでに活用されています。

Green-Taoの定理の数体の素元への拡張は、東北大学の（元）同僚、関真一朗、見村万佐人、宗政昭弘、吉野聖人の各氏との共同研究で得られたものです（論文 [KMMSY]）。メンバーのひとりである関さんは、高校時代に韓国ドラマ（主人公が数学者を志します）を観て、劇中で印象的に使われたGreen-Taoの定理を、明確に意識するようになったとのことです。それがなければ今回の私たちの共同研究も始まらなかったかもしれません。

論文公開後、この経緯が当ドラマの数学顧問や脚本家の方々にも伝わりました。関さんとドラマ関係者は、互いに感謝の気持ちを伝え合うことができたそうです。不思議な巡り合わせに立ち会うことができ、私も感無量です。関さんの著書『グリーン・タオの定理』あとがきに詳しいことが書かれています。韓国の一般向け科学雑誌『数学東亜』でもこのエピソードが取り上げられました（文献 [東亜]）。

数体の中の代数的整数は、高次元の空間に等間隔に一様に散らばった点であり、素元はその中に一見ランダムに配置されています（図1）。

に、私の予想だにしなかったことですが、数体版Green-Tao-Zieglerの定理を用いて、Hilbertの第10問題の否定的解決を、大幅に拡張することができたとの報が入りました（文献 [KP]）。
Hilbertの第10問題とは、1900年にHilbertが、20世紀の数学の指針として挙げた23問題のひとつです。整数係数の多項式方程式が任意に与えられるとき（たとえばFermatが考察した x^n+y^n=z^n）、これに整数解があるか否かを判定できるようなアルゴリズムを構築するよう求めています。1970年に、すべての多項式方程式に対応可能な単一のアルゴリズムは存在しないことが証明されました（否定的解決、図2）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/256

262: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 22:30:54.82 ID:lylF2dxQ

>>260
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん
いつもありがとうございます

＞色々の層をいろいろに埋めるのが現代的。

そうそう
数理科学2025年9月号に 層の特集が・・（下記）

https://www.saiensu.co.jp/search/?magazine_id=1&latest=1
数理科学 2025年9月号 Ｎｏ.747
多彩な拡がりをもつ《層》の魅力
様々な数学概念の統一的理解に迫る
内容詳細
現代数学の随所に現れる層（sheaf）の理論は，数学における局所的見方と大域的見方をつなぐ言葉として，様々な分野を統一的に捉えることができる極めて重要な概念となっています．しかしながら，層の定義やその周辺理論は非常に抽象的であり，層の正体を捉えることは容易ではありません．本特集では，層のディテールを数理諸分野それぞれの視点から捉え，層の理論がどのような場面でどのように活躍するのか，そのメカニズムから多彩なトピックを取り上げ，層の魅力に迫ります．
目次
特集
巻頭言 戸田幸伸 https://www.saiensu.co.jp/preview/2025-4910054690958/202509.pdf
層理論入門
〜 定義や例，基本的な性質など 〜
平野雄貴
代数幾何学と層
大内元気
複素幾何学と層
松村慎一
代数解析学と層
〜 佐藤超函数やD加群との関連 〜
池　祐一
超局所層理論入門
桑垣　樹
非可換代数幾何学
大川新之介
代数トポロジーと層
増田成希
数え上げ幾何学と層理論
〜 DT理論からコホモロジー的DT理論へ 〜
金城　翼
書評
測度距離空間の幾何学への招待
〜 高次元および無限次元空間へのアプローチ 〜
永野幸一
重点解説 モンテカルロ法と準モンテカルロ法
田中健一郎
研究室の窓
私の研究遍歴
山下公子

https://researchmap.jp/yukinobutoda
戸田 幸伸
トダ ユキノブ  (Yukinobu Toda)
所属東京大学 国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構 教授

エドワード・ウィッテンさんとの京都賞記念座談会 超弦理論の過去20年を振り返る(下)
ウィッテン エドワード, 戸田 幸伸, 山崎 雅人
数学セミナー 54(5) 40-47 2015年5月
エドワード・ウィッテンさんとの京都賞記念座談会 超弦理論の過去20年を振り返る(上)
ウィッテン エドワード, 戸田 幸伸, 山崎 雅人
数学セミナー 54(4) 50-58 2015年4月

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/262

272: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/03(水) 09:58:56.73 ID:hNzKNOFY

これいいね
https://japan.cnet.com/article/35237393/
AIが嘘をつく理由は「あなたがそれを求めているから」
Macy Meyer （CNET News） 編集部20250901
　プリンストン大学の新しい研究によれば、AIが持つご機嫌取りの性質には大きな代償が伴うという。これらのシステムは普及につれて、真実を無視する傾向が強まっている

ここ数カ月、われわれはAIが偏見を持つ可能性や、精神病を引き起こす可能性さえあることを目の当たりにしてきた。「OpenAI」の「GPT-4o」モデルをきっかけに、AIチャットボットがすぐにユーザーに追従したり、同意したりするAIの「へつらい（sycophancy）」が話題になった。しかし今回、研究者らが「機械のデタラメ（machine bullshit）」と呼ぶこの特定の現象は、それとは異なるものだ

「幻覚やへつらいは、LLMに共通して見られる、広範囲にわたる体系的な不誠実な行動を十分に捉えてはいない」と、プリンストン大学の研究者らは述べている。「例えば、部分的な真実や曖昧な言葉遣い（ごまかしや逃げ口上など）を使った回答は、幻覚でもへつらいでもなく、デタラメの概念と密接に一致する」

AIは嘘をつくことをどのように学ぶのか？
　AI言語モデルがどのようにしてユーザーに迎合するようになるかを理解するには、LLMがどのように訓練されているかを理解する必要がある

LLMの訓練には、3つのフェーズがある
・事前学習：インターネットや書籍など、膨大な量のデータからモデルが学習する
・インストラクションチューニング：命令やプロンプトに反応するようにモデルが教えられる
・人間のフィードバックによる強化学習：ユーザーが望む、または好む応答を生成するようにモデルが改善される

プリンストン大学の研究者は、AIが誤った情報を生成する傾向の根源は、人間のフィードバックによる強化学習（RLHF）のフェーズにあることを発見した。初期段階では、AIモデルは単に膨大なデータセットから統計的に可能性の高いテキストの連鎖を予測することを学習しているにすぎない。しかし、その後、ユーザーの満足度を最大化するようにファインチューニングされる。つまり、これらのモデルは、人間の評価者から「いいね」評価を得られる応答を生成することを本質的に学習しているのだ

LLMはユーザーのご機嫌を取ろうとし、信ぴょう性が高く事実に基づいた回答を生成するのではなく、人々が高い評価を付ける回答を生成するという矛盾が生じている

研究には参加していないカーネギーメロン大学のコンピュータサイエンス教授であるVincent Conitzer氏によると、企業はユーザーにAIやその回答を引き続き「楽しんで」もらいたいと考えているが、それが必ずしもわれわれにとって良いことであるとは限らないという

「以前から、これらのシステムは『答えが分からない』と伝えるのが得意ではなかった。答えが分からないと、でたらめなことを作り出してしまう」と、Conitzer氏は語った。「それは、試験を受けている学生が、答えが分からないと言ったらその問題で点が取れないから、とにかく何かを試してみよう、と言うのに少し似ている。これらのシステムが報酬を与えられたり、訓練されたりする方法も、いくぶん似ている」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/272

273: １３２人目の素数さん [] 2025/09/03(水) 11:11:14.84 ID:hNzKNOFY

>>271
１）初等幾何：下記のギリシアの3大作図問題ですね
２）”拡大された体系の中でも解法が”は、下記の「射影幾何の考えかた逆井卓也」ご参照
　射影幾何、射影座標で考えることで ユークリッド幾何学内で考えるよりスッキリ
３）同様に、常微分方程式あるいは偏微分方程式の弱解の話
　解の範囲を広げて ”はじめに弱解の存在を示し、その後にその解が実際に十分滑らかであることを示す、という方法がしばしば有用となる”

他に、代数方程式の解で たとえ実係数であっても その根の範囲を複素数まで広げる方が
スッキリ扱えるがごとし

(参考)
https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=55978?site=nli
ニッセイ基礎研
2017年06月19日
ギリシアの3大作図問題−数学を通じて、ギリシアという国の歴史的位置付けの重みを再認識してみませんか−
中村 亮一
リシアの3大作図問題とは
「ギリシアの3大作図問題」とは、以下の３つの問題のことであり、2000年以上も解決されてこなかった問題である。
問題1（円積問題）：円と同じ面積を持つ正方形を作図する。
問題2（立方体倍積問題）：与えられた立方体の体積の2倍の体積を持つ立方体を作図する。
問題3（角の３等分問題）：任意の角を3等分する。

いずれの問題も極めてシンプルである。殆どの人がその内容を理解できる問題だと思われる。ところが、これが「作図」できるかどうかを証明することは大変難しい問題であった。
作図とは
ここで、「作図」とは、「定規とコンパスを使って作図」という意味である。現代であれば、コンピュータ等を使用して、簡単に作図できるが、「定規とコンパスを使って作図」ということになるとそうはいかなくなる。

「定規とコンパスを使って作図」とは、(1)定規は2点を直線で結ぶ（目盛りは使わない）、(2)コンパスは円を描く、(3)あくまでも手順は有限回である、ということを意味している。

その答えは
実は、答えは全て「作図不可能」ということになる。

これらの「作図不可能」性については、問題2（立方体倍積問題）と問題3（角の３等分問題）が1837年に、フランス人数学者ピエール・ローラン・ヴァンツェル（Pierre Laurent Wantzel）によって解決され、問題1（円積問題）については、1882年にドイツ人数学者フェルディナント・フォン・リンデマン（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）によって解決された。
作図可能であるための条件
この初等幾何学の問題を解くためには、抽象代数学が使用されている。「抽象代数学」って何やそれ、と思う人が殆どだと思うが、「群」、「環」、「体」といった概念を取り扱う学問だ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/273

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