[過去ﾛｸﾞ] 面白い数学の問題おしえて～な 43問目 (1002ﾚｽ)
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1(4): 2023/10/07(土)09:50 ID:nSO5chgO(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 42問目
2chｽﾚ:math
まとめwiki
外部ﾘﾝｸ:w.atwiki.jp
2(7): 2023/10/07(土)11:24 ID:o6mengNM(1) AAS
有限個の自然数からなる集合{a_1,a_2,…,a_N}があり、この集合の空でない部分集合の和は全て異なる.
(例: {1,2,4}
空でない部分集合は{1},{2},{4},{1,2},{1,4},{2,4},{1,2,4}で、それぞれ和が1,2,4,3,5,6,7で全て異なる.)
このとき、逆数和Σ_{k=1}^N (1/a_k)は2未満となることを示せ.
3: 2023/10/27(金)01:07 ID:m4xAS9Ev(1) AAS
すっかり過疎だ
4(1): 2023/11/10(金)21:22 ID:CeGMp3Md(1) AAS
次の表現は正しいか、○か×で答えよ
[一] 2∈{1,2,3}
[二] {2}∈{1,2,3}
[三] 2⊂{1,2,3}
[四] {2}⊂{1,2,3}
簡単だけど勘違いしやすい問題
5: 2023/11/15(水)20:15 ID:W3aaVKeD(1) AAS
>>4の解答です
[一] ◯
[二] ×
[三] ×
[四] ◯
理由も添える問題にした方が面白かったかも
6: 2023/11/17(金)17:38 ID:41Jaa8gk(1) AAS
次の表現は正しいか、○か×で答えよ
[一] 2∈{1,2,3}
[二] {2}∈{1,2,3}U｛｛１，２，３｝、｛２｝｝
[三] 2⊂{1,2,3}U３
[四] {2}⊂{1,2,3}
7(2): 2023/11/24(金)21:18 ID:fv5tUeJX(1) AAS
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。
8(4): 2023/11/25(土)02:16 ID:YOBFH8SG(1/2) AAS
3式足すと
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0
よってa=b=c=0のみが実解
9(1): 2023/11/25(土)07:21 ID:PvIPuyPf(1/2) AAS
・解説その1
加減法を使う
3式足すと
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作るために
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[1]
2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[1]の等式も0以上となる
つまり、[1]を満たすa,b,cは0となる
省16
10: 2023/11/25(土)07:58 ID:YOBFH8SG(2/2) AAS
勝手に変な解説するなよw
11: 2023/11/25(土)12:30 ID:PvIPuyPf(2/2) AAS
勝手に解説して申し訳ないです
自分で証明していたものと比べ物にならないほど洗練されていたので使わせてもらいました。質問板で解説するつもりだったので、そのまま解説その1,2となってます
ちなみに自分の証明では、
2乗の形を作るため、平方完成を用いる(半分の2乗)
(a-b)^2が((1/2)a-(1/2)b)^2
↑こんな感じでした
解説その2は出題に合わせて、無理矢理証明の形にしています
12: 2023/11/25(土)21:10 ID:V/tD2Dg4(1) AAS
解説その1は>>8と同じもの。これだけで十分。
解説その2は意味不明で、(a,b,c)が
(a,b,c)＝(x,x,x) (3つとも同一の値) …(★)
という形のときに x＝0 のみが解になっていることを示しているだけ。
それ以外の形の (a,b,c) が解になっているかどうかは何も言ってないので、
解説として全く足りてない。
最初の連立方程式から(★)の形に絞られることが言えるのであれば、
解説2でも構わんが、そんなこと解説2には書いてない。
13(1): 2023/11/25(土)22:09 ID:/o1ejyaD(1/2) AAS
>>9の訂正版
連立方程式
a^2-ab+c^2=0…[1]
b^2-bc+a^2=0…[2]
c^2-ca+b^2=0…[3]
加減法を使い連立方程式の解a,b,cを求める
[1],[2],[3]を足す
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作る
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
省16
14: 2023/11/25(土)22:38 ID:sowqrXg2(1/4) AAS
>>13
後半が蛇足。前半だけで終わっている。等式 [4] が示せた時点で、
・ (a,b,c)＝(0,0,0) 以外の (a,b,c) は解にならない
ことが既に判明している。それなのに、後半では
・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0
というケースを改めて考え直して、そのケースでは解にならないことを
証明し直している。だが、そのような蛇足は全く要らない。
[4] が導出できた時点で、既にそこまで示せているから。
15: 2023/11/25(土)22:44 ID:sowqrXg2(2/4) AAS
一般に、非負の実数 x_1,…,x_n の和がゼロならば、
x_1,…,x_n は自動的に全てゼロになる。つまり、
・ x_1≧0, x_2≧0, … , x_n≧0 かつ x_1＋x_2＋…＋x_n＝0 ならば、x_1＝x_2＝…＝x_n＝0
が成り立つ。[4]はまさにこれ。
16: 2023/11/25(土)22:46 ID:/o1ejyaD(2/2) AAS
>>8だけで2つの出題の解答になっているのは分かってますが、出題者が2つに分けているので無理やり2つの解答を用意
手直ししても結果は芳しくないようですね
やっぱり蛇足と割り切るのが良さそう
以上のことから、>>7の出題
「実数解(a,b,c)を1組求めよ。またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。」は、
「実数解(a,b,c)を求めよ。」だけでもいいかもしれません
他にも質問スレへ色々と追加している出題もこちらへ投稿して欲しいですね
17: 2023/11/25(土)22:46 ID:sowqrXg2(3/4) AAS
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 … [4]
この等式の左辺には
・ a^2, b^2, c^2, (1/2)(a-b)^2, (1/2)(b-c)^2, (1/2)(c-a)^2
という6個の非負の実数が出現していて、その6個の和を取っており、
しかも和の結果がゼロになっている・・・と言っているのが[4]である。
よって、上記の6個は自動的に全てゼロになる。つまり
a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0
省1
18: 2023/11/25(土)22:50 ID:sowqrXg2(4/4) AAS
つまり、[4] が導出できた時点で、強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると
確定してしまうので、それ以外の (a,b,c) は解の候補から自動的に除外される。
君が大好きな
・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0
というケースも、[4]が導出できた時点で、既に解の候補から除外されているのである。
それなのに、君は後半で改めて (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0 というケースを解の候補として考え直しており、
そのケースでは解にならないことを証明し直している。何度も言うように、それは蛇足である。
19(1): 2023/11/26(日)20:39 ID:tRHONwcN(1/2) AAS
（1）
「f(x,y)=0かつg(x,y)=0」
⇔
「f(x,y)=0かつf(x,y)+g(x,y)=0」
を示せ。
（2）
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
省2
20(2): 2023/11/26(日)20:39 ID:tRHONwcN(2/2) AAS
実数a,b,cが、
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
…（ア）
を満たしている。
（1）aをbとcで表せ。
（2）恒等的に定数でない整数係数の1変数多項式f(x)で、f(c)=0を満たすものを1つ求めよ。
（3）（2）のf(x)に対し、関数y=f(x)を考える。xがすべての実数値をとりながら変化するとき、yの増減を調べよ。
（4）連立方程式（ア）を満たす実数の組(a,b,c)をすべて求めよ。
21: 2023/11/27(月)00:59 ID:u2RukpoK(1/9) AAS
>>19-20
無意味な誘導。[4]が導出できた時点で全て終わり。
22(2): 2023/11/27(月)01:18 ID:u2RukpoK(2/9) AAS
たとえば>>20は、次のようにすればよい。
解答
(a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、(ア)が実際に成り立つことが分かる。
よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。
次に、(ア)の解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4]
となるので、
a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0
となる。特に(a,b,c)＝(0,0,0)である。つまり、(ア)の解(a,b,c)が存在するなら、
それは強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると確定する。
省13
23: 2023/11/27(月)01:23 ID:u2RukpoK(3/9) AAS
このように、(a,b,c)＝(0,0,0)のみが解であることを先に証明してしまうと、
(1)〜(4)の誘導の仕方は企画倒れになってしまう。
24: 2023/11/27(月)01:24 ID:u2RukpoK(4/9) AAS
ちなみに、
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。
という問題形式にやたらと拘っているようだが、
それもまた、解答のつけ方は>>22で終わっている。
25(1): 2023/11/27(月)01:29 ID:u2RukpoK(5/9) AAS
この問題形式では、
(i) 実数解(a,b,c)を1組求めよ。
(ii) その1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。
という2つの問題が挙げられているので、(i),(ii)それぞれに
解答をつければよい。そして、その書き方は>>22に書いたとおりである。
改めて解答をつけると、次のようになる。
解答
(i)：(a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、問題文の連立方程式が
実際に成り立つことが分かる。よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。
(ii)：解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると
省5
26: 2023/11/27(月)01:39 ID:u2RukpoK(6/9) AAS
このように、(i)に解答するには、
決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい。
「どうやって (a,b,c)＝(0,0,0) に至ったのか？」
という計算過程を記述する必要はどこにもない。
ただ単に、いきなり
「(a,b,c)＝(0,0,0)としてみる」
と宣言してしまえばよい。これが実際に解になっているかどうかは、
問題文の連立方程式に代入して確かめてみればよいだけである。
(a,b,c)＝(0,0,0)のとき、
a^2-ab+c^2 ＝ 0^2−0*0＋0^2 ＝ 0
省3
27: 2023/11/27(月)01:42 ID:u2RukpoK(7/9) AAS
(ii)に解答するには、(0,0,0)以外の(a,b,c)が
解の候補から外れることを厳密に示さなければならないので、
ここで初めて、連立方程式の中身を駆使した
具体的な計算過程を記述することになる。
何をするかと言えば、3つとも足し算して
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0
を導出するだけである。これが導出できた時点で、
強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) に確定してしまう。
つまり、(0,0,0) 以外の(a,b,c)は解の候補から外れる。
これで(ii)に解答できたことになる。
28(1): 2023/11/27(月)01:43 ID:u2RukpoK(8/9) AAS
結局、
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。
という問題形式に拘ったところで、
解答の仕方は本質的に>>8で終わっているのであり、
丁寧に書き下しても>>25の書き方になるだけである。
29(1): 2023/11/27(月)01:54 ID:u2RukpoK(9/9) AAS
一方で、君の解答のつけ方には、
・ 決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい
という視点が欠落している。君は、(i)に解答するときにも
「どうやって(a,b,c)＝(0,0,0)に到達したのか、
その計算過程を記述しなければならない」
と勘違いしているのである。
本来なら(ii)で書くべき計算内容を、
君は(i)の時点で書き下してしまうのである。
その後で改めて(ii)に解答しようとするから、
どうしても計算内容の重複(つまり蛇足)が発生するのである。
30: 2023/11/27(月)19:03 ID:WtKZl7yZ(1/2) AAS
>>29「計算過程を記述しなければならない」
受験やテスト対策として、塾の講師に「途中計算も必ず書くこと」、「証明は必ず書くこと」、「証明は答えの前に必ず書くこと(先に書く)」、「計算や証明は重複しても構わない」的なことを教わったのを思い出しました
ありがとうございます。違和感の正体と理由がわかりました
受験数学で身に付けた考え方、癖、固定観念的なものが未だに残っているようです
31(5): 2023/11/27(月)19:16 ID:WtKZl7yZ(2/2) AAS
問題:
半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。
32: 2023/11/28(火)06:46 ID:ABxOPJme(1) AAS
ふーん
33(2): 2023/11/28(火)07:30 ID:9Dcgh5JH(1/2) AAS
>>31問題:
半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。
※内接…球に円錐の頂点と底面の円周が接している
比率を最大にするためには、表面積の分母を最小化する必要がある
表面積(分母)の (√((r^2) + (h^2))*r*π) を最小にする条件は、正円錐であることなので (h = r)
半径1の球に内接している正円錐の高さ(h)と底面積の半径(r)は(h = r = 1)
円錐の体積(V)=(1/3)*底面積*高さ(h)
=(1/3)*(1^2)*π*1
=(1/3)π
円錐の表面積(S)=底面積+側面積
省6
34(1): 2023/11/28(火)09:27 ID:vjjLv2YE(1) AAS
>>33
底面積が計算に入ってなくない？
35(1): 2023/11/28(火)12:49 ID:9Dcgh5JH(2/2) AAS
>>33円錐の表面積以降を訂正
円錐の表面積(S)=底面積+側面積
=(半径*半径*π)+(母線*半径*π)
=(1*1*π)+(√(2)*1*π)
=(1+√(2))π
上記より、
比率(V/S)=((1/3)π)/(1+√(2)π)
=1/(3*(1+√(2)))=1/(3+3√(2))
よって、比率(V/S)の最大値は1/(3+3√(2))
>>34確認したら底面積が抜けてました
省9
36: 2023/11/29(水)17:27 ID:lbp6lb1l(1) AAS
問題:
文字列abcdefの6文字を横1列に並べて順列を作るとき、
[1]. (aとb)または(cとd)の少なくとも1組は隣接する
[2]. aは(cとe)とは隣接しない
[1]と[2]の両方を満たす順列は何通りか？
37(1): 2023/12/09(土)04:33 ID:ThKcZMzA(1) AAS
パズルを1題
1〜nまでの数字を1回ずつ使って?×?=?という形の式を作る
1〜4の場合は3×4=12,1〜5の場合は13×4=52が当てはまる
それでは1〜6の場合を答えよ(想定解2つ)
38(1): 2023/12/09(土)05:02 ID:pVyBlX+z(1) AAS
問題自体はちっとも面白くないけど、しらみつぶし以外の面白い解き方があるのかな？
39: 2023/12/10(日)23:45 ID:M0c/XDgP(1/2) AAS
解説
?×?=?の形の式で数字を6つ使うのは1桁×2桁=3桁のパターンしかない
それをA×BC=DEFとおく
1の位(A,C,F)に1や5が入ることはあり得ないので2,3,4,6のいずれか3つが入ることになり、2×3=6と3×4=2の2通り
Dは4以上になり得ず、1の位で両者とも2と3を使うためD=1が確定
2×3=6を使う場合は繰り上がりが起こらないため5をBやEに入れられない(1の位に入れられないのと同様の理由)ので不成立
3×4=2を使う場合は3×B4=1E2,4×B3=1E2の2通り
5と6を入れてみると成り立つのは3×54=162のみ
よって3×54=162が唯一解
想定解が2つと言うのは
省1
40: 2023/12/10(日)23:48 ID:M0c/XDgP(2/2) AAS
1〜4,1〜5,1〜6共に解が1つに定まるのが綺麗なので出題してみた次第
ちなみに1〜7は解なしで1〜8と1〜9は何通りかある
41: 2023/12/11(月)16:02 ID:YspZXONi(1/2) AAS
なるほど、いわゆる完全虫食い算になってたわけね
42: 2023/12/11(月)16:06 ID:YspZXONi(2/2) AAS
漫画「数学ゴールデン」の3巻から
a1〜a6,b1〜b6,c1〜c6がそれぞれ1〜6の並べ替えであるとき
Σ[i=1〜6](aibi+bici+ciai)の最小値を求めよ
43: 2023/12/11(月)16:59 ID:eiYaHYEN(1/2) AAS
答えは
1*4*6 + 2*3*4 + 3*5*2 + 4*2*3 + 5*6*1 + 6*1*5 = 162
みたいだけどなんか鮮やかな示し方あんの？
44(1): 2023/12/11(月)20:18 ID:7cAlcsOx(1/3) AAS
たぶん組み分け的には
164 641 416
235 352 523
で、4と5は入れ替え可能ってことなんだろうけど
証明はわからん
45: 2023/12/11(月)20:28 ID:7cAlcsOx(2/3) AAS
あれ、これΣaibiciじゃん・・・
46: 2023/12/11(月)20:57 ID:7cAlcsOx(3/3) AAS
Xi=ai+bi+ciと置けば
問題の式を最小にするにはΣ(Xi)^2を最小にすれば良くて
ΣXi=63(一定)だから、これは幾何学的にはベクトルXiをなるべく対角方向にすればノルムが小さく出来て
Xi=10.5(i=1〜6)が最小だけども、Xiは整数値だから
(10,10,10,11,11,11)でノルム最小かな
だから結局>>44で合ってそう(ただし4と5入替不可)
47: 2023/12/11(月)22:57 ID:eiYaHYEN(2/2) AAS
(i)25の倍数が含まれるとき
25x ( x∈(1,2,..,6})が含まれるとして残り５数の和の最小値は
5*(144^3*5/x)^(1/5)だから６数全体の和は
⌈25 + 5*(144^3*5/x)^(1/5)⌉
以上であり、これはx=1のとき最小値162をとる
(ii)25の倍数が含まれないとき
６数を5a,5b,5c,d,e,fとしabc=x^3とおけば
5a+5b+5c+d+e+f≧⌈15x+3*144/x⌉
である
左辺が161以下になるには15x+3*144/x≦161が必要で16/3≦x≦27/5が必要である。
省5
48(1): 2023/12/12(火)03:22 ID:LLbO8mIF(1/5) AAS
712!+1は素数か？
49(1): 2023/12/12(火)10:34 ID:gS9cs21n(1/3) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
50: 2023/12/12(火)10:41 ID:gS9cs21n(2/3) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
51: 2023/12/12(火)10:52 ID:y5CcJSmf(1) AAS
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
52(1): 2023/12/12(火)11:34 ID:LLbO8mIF(2/5) AAS
>>49
wolfram計算できてなくないか？
素数でないなら合成数であることを示してください
計算機使わず示せます
53(1): 2023/12/12(火)12:00 ID:HChoSoK7(1) AAS
(a^2-ab+c^2)(2a+b-c)+(b^2-bc+a^2)(2a+b)+(c^2-ac+b^2)(-a-b+c)=4a^3.
54: 2023/12/12(火)12:14 ID:LLbO8mIF(3/5) AAS
>>53
おお、>>28の一発解法だね
55(2): 2023/12/12(火)13:43 ID:Rx991kwn(1) AAS
>>48
719で割れる。
F_719 で 712! = 718!/720 = -1
56: 2023/12/12(火)14:44 ID:LLbO8mIF(4/5) AAS
>>55
正解！
719が素数なのと720=6!が上手くいきすぎてて面白い問題だと思った(昨夜某アドベンダーで知った)
57(1): 2023/12/12(火)14:51 ID:gS9cs21n(3/3) AAS
>>52
素数ではないと判定されてる
素因数分解は大量の計算量が必要だけど素数であるかどうかの判定は桁数nに対してnlog(n)程度のオーダーで計算できるからwolframなら一発答えがでる
58: 2023/12/12(火)15:06 ID:LLbO8mIF(5/5) AAS
あと、713が絶妙に合成数なのも良ポイント
59: 2023/12/12(火)15:26 ID:dTc7fHtS(1) AAS
>>57
どうやるの？
60: 2023/12/20(水)04:17 ID:RWD52qPN(1) AAS
例えば
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
61: 2023/12/21(木)00:09 ID:Kb4dE8jB(1/2) AAS
誰か実用的な数学の計算式考えてくれない？
検索しても見つからないしAIに聞いても答えが出せない。
珊瑚とK18金素材のジュエリーがあるとしてそれらは取り外すと破損するから外せないが、
総重量と体積、二つの素材の正確な比重値がわかっているとする。
総重量が100gで、体積が30立方センチである
つまり全体の比重値は3.33である
珊瑚の比重は2.65とし、K18金の比重は15.50とする
なお、実際には体積測定時に気泡が入ったり、
天然の珊瑚や金の合金種類の配合などの個体差による誤差が出るがここでは考えないものとする。
62: 2023/12/21(木)01:26 ID:DAQ1Ttj6(1) AAS
中学の連立方程式の問題
重量を x, y とおいて
x+y=100, (x/2.65)+(y/15.50)=30
これを解いて
x=(2.65(15.50*30-100))/(15.50-2.65)
≒75.3
y=(15.50(100-2.65*30))/(15.50-2.65)
≒24.7
63: 2023/12/21(木)05:52 ID:Kb4dE8jB(2/2) AAS
thx
計算で出せることはわかってたけど式がわからなかったんだよね
買い取り屋はどこも壊して査定とかもったいなくて荒々しいのばかりだし
数学を使って非破壊で求めたらいいのに
64(2): 2023/12/31(日)15:01 ID:syKLy21c(1/2) AAS
保守のついで
Cを
x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = sin(t) + sin(-2t)
で表される曲線とする。
(1)3t≡π (mod 2π)である点を除いて t = α においてCは接線 l(α) を持つことを示せ
(2)l(α)とCは接点以外の共有点をちょうど二つもち、その二点間の距離は一定であることを示せ
65(1): 2023/12/31(日)15:10 ID:syKLy21c(2/2) AAS
>>64
訂正
x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = 2sin(t) + sin(-2t)
でつ
66(1): 2024/01/07(日)01:06 ID:g+TJCW48(1) AAS
保守上げついでにつべネタ
cbrt(x)で立方根を返す関数とする
f(x) = cbrt(x) + cbrt(37-x)
とするときf(x)が整数値をとる整数xはx=-27, 64に限ることを示せ
67: イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/01/08(月)03:44 ID:v3Vv1z5P(1) AAS
>>31
単位球に内接しかつV/Sが最大値をとる円錐の底面の半径をRとすると、
V=(1/3)πR^2｛1+√(1-R^2)｝
S=πR^2+πR√｛2+2√(1-R^2)｝
=πR^2+πR｛√(1+R)-√(1-R)｝
V/S=｛1+√(1-R^2)｝/[｛√(1+R)+√(1-R)｝/R]
=｛R+R√(1+R)√(1-R)｝/｛R+√(1+R)+√(1-R)｝
(V/S)'=0
微分して=0とし適宜移行し辺々二乗すると、
4+4√(1-R^2)=R^2｛5-2R^2-2R√(1+R)+(2R-4)√(1-R)+√(1-R^2)｝
省3
68(1): 2024/01/08(月)15:17 ID:Mk28pz3s(1) AAS
>>66
n=cbrt(x),m=cbrt(37-x) とおくと問題は、n^3+m^3=37 という条件下で、n+mが整数になる時の考察になる。
n^3+m^3=37 の時、n+m は負にはならないし、6以上にもならない(※)
従って、n+m が整数になる時、その値として可能性があるのは 1,2,3,4,5 だけ。
実際これを解き、整数解が得られるのは、k=1の時の、x=-27, 64 だけ。
これで、題意が示される。
(※)
負にならないのは、0 < 37 = n^3+m^3 = (n+m)(n^2-nm+n^2) = (1/4)(n+m){(2n-m)^2+3m^2} から明らか。
6以上にならないのは、(n+m)^3=37+3mn(n+m)≦37+(3/4)(n+m)^3=37+(3/4){37+3mn(n+m)} ； ∵ 4xy≦(x+y)^2
≦37{1+3/4+(3/4)^2+...}=37*4=148＜216=6^3 から示される。
69(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/01/09(火)03:55 ID:dWfvhJIo(1/2) AAS
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、嶺線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
省29
70(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/01/09(火)04:01 ID:dWfvhJIo(2/2) AAS
前>>69訂正(6行目)。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
省30
71(3): イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/01/09(火)19:50 ID:0NEsoApG(1) AAS
前>>70最大値を更新した。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
省28
72(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/01/09(火)20:57 ID:e6fhWajH(1) AAS
前>>71
母線が円錐の中心線に対して30°
円錐を真横から見て正三角形に見えるときが最大ってことだよね？
つまり微分しなくても勘で答えは出せるってこと。
73: 【末吉】 2024/01/10(水)00:58 ID:QR+JBGhQ(1) AAS
前>>72
球のV/Sが1/3だから、
円錐のV/Sの最大値がその半分に当たる1/6になるのは妥当な気がする。
74: prime_132 2024/01/13(土)18:08 ID:mCRD/SJz(1) AAS
a^2 - ab + c^2 ≦ δ_1^2,
b^2 - bc + a^2 ≦ δ_2^2,
c^2 - ca + b^2 ≦ δ_3^2,
とする。この３式を足して
ε^2 = δ_1^2 + δ_2^2 + δ_3^2
≧ 2(aa+bb+cc) - (ab+bc+ca)
= [(a+b+c)/√3]^2 + (5/2)[(a-b)/√2]^2 + (5/2)[(a+b-2c)/√6]^2
解はこの回転楕円体の中にある。
長半径はεで、(1,1,1)方向。
短半径はε√(2/5) で、↑と垂直な方向。
省2
75: イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/01/14(日)07:33 ID:B6rOC6Xx(1) AAS
単位球の体積は4π/3
単位球の表面積は4π
V/S=1/3=0.333……
単位球に内接する立方体の体積は
V/S=(2/√3)^3/｛6(2/√3)^2｝
=(2/√3)/6
=1/3√3
=√3/9
=1.7320508……/9
=0.19245009……
省2
76: 2024/01/14(日)20:42 ID:akLa+tda(1/2) AAS
保守
>>64 元ネタ、内サイクロイド、2021年大阪公立大学など
ベクトル値関数 e(t)=(cos(t),sin(t))において容易に
e(s) + e(t) // e((s+t)/2) ( if s+t ≠ 0 ( mod π )
d/dt e(t) = e(t+π/2)
などはわかる。曲線は p(t) = 2e(t) + e(-2t) であるから
d/dt p(t) = 2( e(t+π/2) - e(-2t+π/2) )
であり、これは t+π/2 ≡ -2t+π/2 ( mod 2π ), すなわち 3t ≡ 0 ( mod 2π ) の場合を除いて
e(t+π/2) - e(-2t+π/2) // e(t+π/2) + e(-2t-π/2) // e(-t/2)
となり、x=a での法線は e(-t/2-π/2) と平行であり、接線の方程式は
省12
77: 2024/01/14(日)21:21 ID:akLa+tda(2/2) AAS
>>68
正解
元ネタはこの人のあげた動画のどれかだけどわかんなくなった
外部ﾘﾝｸ:www.youtube.com
大学数学つかっていい解法
u = cbrt(x), v = cbrt(37-x) とおいて
u + v = 37/(u^2 - uv + v^2) は正値をとり分母の最小値はu=vのとき
そのときの u+vは 2(37/2)^(1/3) = 5.28957247269....であるから取りうる整数値は1〜5に限られる
さらに右辺の分母は代数的整数で、これが有理数となるとき、それは整数でなければならない。
このときさらに全体が整数となるなら分母は37の約数でなければならない。
省4
78: 2024/01/15(月)15:36 ID:BPhI6irk(1) AAS
>>55
Wilson を使うのでござるか。
(p-1)! ≡ -1 (mod p)
712 を超える最小の素数 p=719 が素因数だった。
713 = 23*31, 717 = 3*239
79(1): 2024/01/15(月)16:15 ID:MljwMamg(1) AAS
>>2の答えを教えてほしい
80: 2024/01/17(水)06:51 ID:1LBM7xkH(1) AAS
がんばれ
81(1): 2024/01/17(水)17:49 ID:A9fgHU4D(1) AAS
>>79
>>2の出題者です
とりあえずヒントとして
多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表すので、
x∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となることを利用します
82: 2024/01/18(木)08:05 ID:AiEzVdKM(1/2) AAS
logとって0~1で積分したら3以下は証明できたけどなぁ
83(1): 2024/01/18(木)09:07 ID:AiEzVdKM(2/2) AAS
x=exp(-t)で0~∞で積分だ、なるほど
84: 2024/01/19(金)01:13 ID:OgxcpeYC(1) AAS
>>83
素晴らしい
天才です
解答書きます
多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表す
よってx∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となる.
両辺対数を取って,
Σ_{k=1}^N log(1+x^(a_k))＜-log(1-x).
省7
85: 2024/01/19(金)01:42 ID:fl256YzT(1) AAS
面白いし不思議だなぁ
もっと普通に(例えば2進法とか使って)示せないんだろうか
86(1): 2024/01/19(金)02:58 ID:PunadIeW(1/2) AAS
これネタ元とかあります？
自作？
87(1): 2024/01/19(金)08:18 ID:hBjkRNpR(1) AAS
>>86
元ネタはこの論文です
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.renyi.hu
88: 2024/01/19(金)08:25 ID:NRTYh2U/(1) AAS
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
89: 2024/01/19(金)09:18 ID:PunadIeW(2/2) AAS
>>87
thx
よくこんなの思いつくなぁ
90(1): 2024/01/19(金)13:04 ID:nFs2YqNH(1/2) AAS
>>2
メンバーを小さい順にa_1,a_2,a_3,...,a_Nと表すと、k番目のメンバーは
a_k≧2^(k-1)
という評価ができる。
何故なら、1番目からk番目のメンバーだけで作り得る部分集合の数は、2^k個で、
空集合を除くと2^{k}-1個になる。
部分集合の和が全て異なる事が条件なので、1から2^{k}-1までの値を隙間無く取ったとして、
{k+1}番目のメンバーが取り得る最小の値は2^{k}となるから。
Σ_{k=1}^N (1/a_k)≦Σ_{k=1}^N(1/2^{k-1})=1/1 + 1/2 + ... + 1/2^{N-1} = 2 - 1/2^{N-1} < 2
91: 2024/01/19(金)13:10 ID:JmX9c8Ue(1) AAS
[0,1]で一様分布する確率変数のiidの列をXn、X1〜Xnの平均をYnとすればYnは定数1/2に確率収束する(∵ 大数の法則)
よって特に分布収束する
よって1/Ynは2に分布収束する(∵ 連続写像定理)
特にE(Yn)はE(2)に収束する
92(1): 2024/01/19(金)13:14 ID:kN1TkOQs(1) AAS
>>90
その議論は集合 {3,5,6,7} が反例になるんじゃないかな
部分集合の和は全て異なるけど a_4 = 7 < 2^(4-1) になるから
93: 2024/01/19(金)13:44 ID:NFJ8vH4+(1) AAS
そうなんだよな
自分も最初その方針で考えたけど意外と自由度あって詰んだ
94: 2024/01/19(金)14:20 ID:nFs2YqNH(2/2) AAS
>>92
なるほど、そのような例を想定していたんだ。
思慮不足でした。
95: 2024/01/24(水)16:22 ID:rFKsVNU5(1/2) AAS
>>81
ところでこの逆って示せるんだろうか
x∈(0,1)で
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k)) ＜ 1/(1-x)
なら、Sの部分和は全て異なる？
96(1): 2024/01/24(水)18:52 ID:wSVl2uIy(1) AAS
{4, 5, 6, 7} とかが反例になりそう
(1+x^n)^4 < 1/(1-x) (n≧4, 0<x<1) が示せれば
97: 2024/01/24(水)19:43 ID:rFKsVNU5(2/2) AAS
>>96
反例になってそうですね！ありがとうございます。
98(1): prime_132 2024/01/24(水)20:03 ID:6OJ6Idbl(1) AAS
>>65
C上で t=a に相当する点をAとする。
A（2cos(a)+cos(-2a), 2sin(a)+sin(-2a)）
点AでCの接線をひく。
dx/dt = -2{sin(a) - sin(-2a)｝= -4sin(3a/2)cos(a/2),
dy/dt = 2{cos(a) - cos(-2a)｝= 4sin(3a/2)sin(a/2),
∴接線の傾きは dy/dx = tan(-a/2), （傾角は -a/2）
x = cos(a) + cos(-2a) + L*cos(-a/2),
y = sin(a) + sin(-2a) + L*sin(-a/2),
ここで L は接線上の有向距離。
省13
99(1): prime_132 2024/01/25(木)16:57 ID:7Z+ndEui(1/2) AAS
内サイクロイド、ハイポ・サイクロイド、内擺(はい)線 とか云うらしい。
a=3, b=1, a-b=2
周長 8(a-b) = 16,
面積 (a-b)(a-2b)π = 2π.
森口・宇田川・一松「数学公式Ｉ」岩波全書221 (1956)
第5章, §68, p.284, 第6.89図 [a=3b]
100: prime_132 2024/01/25(木)17:13 ID:7Z+ndEui(2/2) AAS
>>98
(訂正)
2つの共有点の距離は４ でした。。。
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