純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13

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903: 2023/07/30(日)09:23 ID:esnUGRo8(7/11) AAS
>>901
899に答えるのは難しい？

904: 2023/07/30(日)09:23 ID:IpiBUMr/(6/18) AAS
>>897
日本語分かりますか？
まったく自由なのになぜそれを聞く？

905(2): 2023/07/30(日)09:25 ID:IpiBUMr/(7/18) AAS
>>899
日本語分かりますか？
まったく自由なのになぜそれを聞く？

906(1): 2023/07/30(日)10:03 ID:2UJHJvqn(3/7) AAS
>>>883
>>ここは、>>732-733に説明した通り
>>736で論破済み　日本語読めませんか？

ダメをつめますｗ
(引用開始)>>736
>解析関数以外では、区間[a,b]内の可算無限個の関数値が分かっても関数は決まらないので
関数は決まってるよ
決まってなければ箱に関数値を入れられない
はい、サル知恵
(引用終り)
省25

907(1): 2023/07/30(日)10:10 ID:esnUGRo8(8/11) AAS
>>905
「まったく自由」の数学的な意味を明確化したい

908: 2023/07/30(日)10:14 ID:IpiBUMr/(8/18) AAS
>>906
>乱数列（らんすうれつ）とはランダムな数列のこと。数学的に述べれば、今得られている数列
>x_{1},x_{2},・・,x_{n} から次の数列の値
>x_{n+1} が予測できない数列。
と箱入り無数目成立は矛盾しない
矛盾すると思うのは箱入り無数目が分かってないだけ

909(1): 2023/07/30(日)10:15 ID:IpiBUMr/(9/18) AAS
>>907
任意

910: 2023/07/30(日)10:30 ID:esnUGRo8(9/11) AAS
>>909

どの集合内で？

911: 2023/07/30(日)10:33 ID:IpiBUMr/(10/18) AAS
実数全体の集合

912(1): 2023/07/30(日)10:35 ID:IpiBUMr/(11/18) AAS
「どんな実数を入れるかはまったく自由」
の意味が分からない？文盲？

913: 2023/07/30(日)10:49 ID:IpiBUMr/(12/18) AAS
超サービス問題>>724に正答できないとか
「どんな実数を入れるかはまったく自由」の意味が分からないとか
成立を認めない輩ってクズばっかやなｗ　なんで生きてるんだろう　死ねばいいのに

914(1): 2023/07/30(日)11:14 ID:/58NXHqj(1) AAS
>>776
xi-1はx(i-1)なのか(xi)-1なのか

915: 2023/07/30(日)11:28 ID:2UJHJvqn(4/7) AAS
>>914
ありがとうございます
スレ主です

>>>776
>xi-1はx(i-1)なのか(xi)-1なのか

x(i-1)です
添え字 i-1です

ついでに訂正>>776より

xiの前後のxi-1,xi+1の関数値f(x-1),f(x+1)を使って1次式で補間できる
xiの前後のxi-2,xi+2の関数値f(x-2),f(x+2)を使ってより高次の3次式で補間できる
省3

916: 2023/07/30(日)12:23 ID:2UJHJvqn(5/7) AAS
>>902
スレ主です
コメント
ありがとうございます

917(1): 2023/07/30(日)14:01 ID:0VSs7GeG(1) AAS
新しい歴史教科書をつくる会朝日新聞を糺す国民会議 NHK 集団訴訟
荒木田修弁護士（第二東京弁護士会）懲戒処分
弁護士法第 64 条の６第 3 項の規定による懲戒の処分公告
１処分をした弁護士会第二東京弁護士会
２処分を受けた弁護士
氏名荒木田修登録番号 16085 昭和１９年生昭和５３年登録
? 〒104-0061 東京都中央区銀座 6―12−2 東京銀座ビル 2F 荒木田修法律事務所
電話 03-3572-5175 FAX 03-3572-5176
? 〒167-0032 東京都杉並区天沼２丁目１７−３
電話 03-5335-9627
省13

918(1): 2023/07/30(日)15:41 ID:Pn7clfrm(2/3) AAS
>>896
お前これしきの文で晦渋とか言い出したら
今までのお前のコピペ要約も全部、出鱈目解釈・出任せ着想・大法螺吹き結論って事ね
またそういう事態を招く発言をしている自覚が無いんだな
毎度毎度、発言の後先が思い浮かばないまま、よくハッタリ尽くしのレスが出来るな

919(1): 2023/07/30(日)15:41 ID:Pn7clfrm(3/3) AAS
>>896
お前これしきの文で晦渋とか言い出したら
今までのお前のコピペ要約も全部、出鱈目解釈・出任せ着想・大法螺吹き結論って事ね
またそういう事態を招く発言をしている自覚が無いんだな
毎度毎度、発言の後先が思い浮かばないまま、よくハッタリ尽くしのレスが出来るな

920(1): 2023/07/30(日)18:26 ID:2UJHJvqn(6/7) AAS
>>918-919
蕎麦屋の粋蕎じゃなくて十割蕎麦焼酎の粋蕎さん
ありがとう
スレ主です
今後ともよろしくお願いいたします。

921(1): 2023/07/30(日)19:04 ID:JWKzNK2C(1) AAS
>>912
実数全体の集合に対して
何を主張しようしようとしているのかが
さっぱりわからない

922: 2023/07/30(日)19:25 ID:Rf2iGg9G(1/8) AAS
>>601
>一つの箱に確率pで数が入れられるとする。また、一つの同値類内で考える
>lemma 3：確率p＝0で、可算有限長さ一点コンパクト化の数列 sN+において、決定番号ωの確率1、ω未満(つまり有限n)の確率0
>lemma 4：確率p＝0で、可算有限長さの数列 sN = (s1，s2，s3 ，・・・)において、決定番号ω未満(つまり有限n)の確率0
>証明：lemma 3で、sN+からωを除いて、数列 sNとして適用すればよい

lemma3は正しいが、lemma4は誤り　
sN+からΩを除いたら、決定番号ωとなる場合が存在しなくなる
つまり、証明は誤り

923: 2023/07/30(日)19:30 ID:IpiBUMr/(13/18) AAS
>>921
文盲に分からないのは当たり前

924: 2023/07/30(日)20:02 ID:Rf2iGg9G(2/8) AAS
p=0とする
nを自然数としたとき、snで尻尾同値な2列について、
n番目の項を除いても、s(n-1)で尻尾同値となる確率は0

sN+で尻尾同値な２列について、
ω番目の項を除いても、sNで尻尾同値となる確率は0

ただ、有限列の場合と異なるのは、
s(n-1)では、決定番号n-1となる確率は１だが
sNでは、確率１となるような決定番号ω-1は存在しない、ということ

実際は、snの各項は0番目の項、1番目の項、・・・、n-1番目の項と名付けるべきで
その場合には、決定番号の最大値はn-1となる
省7

925: 2023/07/30(日)20:07 ID:Rf2iGg9G(3/8) AAS
>>417
>”固定”なるものは確率論でいう一つの試行でしかない
　箱入り無数目の確率計算ではそうなっていないので誤り
　正解は>>632の言う通り
　「 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ」

926: 2023/07/30(日)20:21 ID:Rf2iGg9G(4/8) AAS
「箱入り無数目」で、箱の中身は各試行ごとに入れ替えたりしない、とすれば
「箱の中身の確率分布」は全く考える必要がない
（実際、確率計算はそのような前提の上でなされている）

また、箱の数を非可算個にしてしまえば、１００列用意する必要もない
ただ、非可算個の箱の中から１個選べばいい
箱の番号（注：中身に非ず）は[0,1]の実数とする
これで確率測度は定まった
なお、[0,1]の実数は、整列定理により整列できるので問題ない

さて、（可算番目）尻尾同値により、代表と異なる中身をもつ箱はたかだか可算個である
したがって、そのような箱を選ぶ確率は０である
省1

927(2): 2023/07/30(日)20:34 ID:Rf2iGg9G(5/8) AAS
関数　f,g∈(0,1]→X　について
ある正の実数ε>０が存在して
0<x<=εなら、f(x)=g(x)となるとき
fとgは近傍同値とする

その場合、任意の近傍同値類の関数fについて、同値類の代表関数Fとの間に
ある正の実数Ε>0が存在して、0<x<=Εなら、f(x)=F(x)となる

したがって、いかなる関数fについても、
近傍同値類とその代表関数Fがわかり
しかもfに関してΕより小さいxを見つけることができれば
f(x)=F(x)となるのでf(x)の値を当てられる
省1

928: 2023/07/30(日)20:37 ID:Rf2iGg9G(6/8) AAS
>>927で、Xはいかなる集合でもよい、というのがポイント
（自明でない問題とするためには、Xは2個以上の要素を持つとすればいい）

929: 2023/07/30(日)20:38 ID:Rf2iGg9G(7/8) AAS
>>927で、Xはいかなる集合もよい、というのがポイント
（自明でない問題とするためには、Xは2個以上の要素を持つとすればいい）

930: 2023/07/30(日)20:42 ID:Rf2iGg9G(8/8) AAS
今宵はこれまで

931(2): 2023/07/30(日)21:19 ID:esnUGRo8(10/11) AAS
結局724は問題の体をなしていないことが分かった

932: 2023/07/30(日)21:24 ID:IpiBUMr/(14/18) AAS
>>931
負け惜しみ乙

933(1): 2023/07/30(日)21:36 ID:2UJHJvqn(7/7) AAS
>>931
>結局724は問題の体をなしていないことが分かった

ご苦労さまです
スレ主です
724の出題者が、何にも分かってないってことでは、ないでしょうか？ｗ

934(1): 2023/07/30(日)21:43 ID:esnUGRo8(11/11) AAS
こういう結論でよいようですね

935: 2023/07/30(日)21:50 ID:IpiBUMr/(15/18) AAS
>>934
問題の体をなしてないことにすれば自尊心保てるよねｗ

936: 2023/07/30(日)21:52 ID:IpiBUMr/(16/18) AAS
>>933
サルは誤答してるよね>>741
「問題の体をなしてない（ｷﾘｯ）」にシレっと乗っかろうとしてるけどさｗ
やはりサル知恵だねｗ

937: 2023/07/30(日)22:00 ID:IpiBUMr/(17/18) AAS
まあ「どんな実数を入れるかはまったく自由」の意味も分からない方にとっては問題の体をなしてないのでしょうｗ
ご自分が理解できる・解ける問題じゃないと問題の体をなしてないようですねｗ

938(1): 2023/07/30(日)22:24 ID:IpiBUMr/(18/18) AAS
0897１３２人目の素数さん
2023/07/30(日) 08:34:02.46ID:esnUGRo8
>>895
例えば
ｎ番目の箱にｎ回サイコロを振って出た目の数を入れる
というのは
許されるのかどうか

0899１３２人目の素数さん
2023/07/30(日) 09:12:34.73ID:esnUGRo8
>>898
省7

939: 2023/07/31(月)01:15 ID:Cgy3PWyO(1) AAS
>>920
丸めて蕎麦屋酒と読み替える語彙も無いのか此のガキ爺は

(𓁹‿𓁹)ﾆﾁｬｧ

940(1): 2023/07/31(月)05:54 ID:jznoxopE(1/50) AAS
>>938
わかったからもういい

941: 2023/07/31(月)07:45 ID:KGw9oDo5(1) AAS
>>940
何を分かったの？

942: 2023/07/31(月)08:29 ID:jznoxopE(2/50) AAS
おまえの言いたいことは分かった

943(1): 2023/07/31(月)08:43 ID:4Almmw4D(1/10) AAS
本スレは以下のスレに統合します

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
2chｽﾚ:math

944(1): 2023/07/31(月)08:43 ID:4Almmw4D(2/10) AAS
本スレは以下のスレに統合します

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
2chｽﾚ:math

945(1): 2023/07/31(月)08:43 ID:4Almmw4D(3/10) AAS
本スレは以下のスレに統合します

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
2chｽﾚ:math

946: 2023/07/31(月)08:45 ID:4Almmw4D(4/10) AAS
>>943-945

947: 2023/07/31(月)08:47 ID:4Almmw4D(5/10) AAS
現在数学板に複数ある「SET Aスレ」は統合化いたします

948: 2023/07/31(月)08:48 ID:4Almmw4D(6/10) AAS
御協力お願い致します

949: 2023/07/31(月)08:49 ID:4Almmw4D(7/10) AAS
現在数学板に複数ある「SET Aスレ」は一つに統合いたします

950: 2023/07/31(月)08:50 ID:4Almmw4D(8/10) AAS
御協力お願い致します

951(1): 2023/07/31(月)08:53 ID:jznoxopE(3/50) AAS
では埋めよう

952: 2023/07/31(月)08:54 ID:4Almmw4D(9/10) AAS
>>951　よろしくお願いします

953: 2023/07/31(月)08:57 ID:4Almmw4D(10/10) AAS
「SET Aスレ」統合化に御協力お願いします

SET A氏設立のスレッドは複数ありますが、
どこでも同様の展開となっているため
様々な無駄が発生しております

スレを１つにすることで無駄を削減できます

何卒、統合化に御協力お願いいたします

954: 2023/07/31(月)09:05 ID:jznoxopE(4/50) AAS
Abstract. A theorem asserting the existence of proper holomorphic maps
with connected fibers to an open subset of C
N from a locally pseudoconvex
bounded domain in a complex manifold will be proved under the negativity
of the canonical bundle on the boundary. Related results of Takayama on
the holomorphic embeddability and holomorphic convexity of pseudoconvex
manifolds will be extended under similar curvature conditions.

955: 2023/07/31(月)09:08 ID:jznoxopE(5/50) AAS
Abstract. A theorem asserting the existence of
proper holomorphic maps
with connected fibers to an open subset of C^N
from a locally pseudoconvex bounded domain
in a complex manifold will be proved under the
negativity of the canonical bundle on the
boundary. Related results of Takayama on
the holomorphic embeddability and holomorphic
convexity of pseudoconvex manifolds will be
extended under similar curvature conditions.

956: 2023/07/31(月)09:13 ID:jznoxopE(6/50) AAS
This is a continuation of [Oh-5] where the following
was proved among other things.
Theorem 1.1. Let M be a complex manifold and let Ω be a proper
bounded domain in M with C^2-smooth pseudoconvex boundary
∂Ω. Assume that M admits a K¨ahler metric and the
canonical bundle K_M of M admits a fiber metric
whose curvature form is negative on a
neighborhood of ∂Ω. Then there exists a holomorphic
map with connected fibers from Ω to C^N for some
N ∈ ℕ which is proper onto the image.
省6

957: 2023/07/31(月)09:17 ID:jznoxopE(7/50) AAS
More precisely, the proof is an application of the finite-dimensionality
of L^2 ¯∂-cohomology groups on M with coefficients in line bundles whose
curvature form is positive at infinity. Recall that the idea of exploiting
the finite-dimensionality for producing holomorphic sections originates
in a celebrated paper [G] of Grauert. Shortly speaking, it amounts to
finding infinitely many linearly independent C^∞ sections s1, s2, . . . of
the bundle in such a way that some nontrivial linear combination of
¯∂s1,
¯∂s2, . . . , say ?^N_{k=1} c_k¯∂sk(ck ∈ C), is equal to ¯∂u for some u which
is more regular than ?^N_{k=1} cksk.

958: 2023/07/31(月)09:19 ID:jznoxopE(8/50) AAS
訂正

¯∂s1,¯∂s2, . . . , say ΣN_{k=1} c_k¯∂sk(ck ∈ C), is equal to ¯∂u for some u which
is more regular than ΣN_{k=1} cksk.

959: 2023/07/31(月)09:20 ID:jznoxopE(9/50) AAS
This works if one can attach mutually
different orders of singularities to sk for instance as in [G] where the
holomorphic convexity of strongly pseudoconvex domains was proved.

960: 2023/07/31(月)09:24 ID:jznoxopE(10/50) AAS
Although such a method does not directly work for the weakly pseudoconvex
cases, the method of solving the ¯∂-equation with L^2
estimates is available to produce a nontrivial holomorphic section of the form
Σ^N_{k=1} cksk −u by appropriately estimating u. More precisely speaking,
instead of specifying singularities of sk, one finds a solution u which
has more zeros than Σ^N_{k=1} ck¯∂sk. For that, finite-dimensionality of the
L^2 cohomology with respect to singular fiber metrics would be useful.

961: 2023/07/31(月)09:26 ID:jznoxopE(11/50) AAS
However, this part of analysis does not seem to be explored a lot. For
instance, the author does not know whether or not Nadel’s vanishing theorem
as in [Na] can be extended as a finiteness theorem with
coefficients in the multiplier ideal sheaves of singular fiber metrics under
an appropriate positivity assumption of the curvature current near infinity.

962: 2023/07/31(月)09:28 ID:jznoxopE(12/50) AAS
So, instead of analyzing the L^2
cohomology with respect to singular
fiber metrics, we shall avoid the singularities by simply removing them
from the manifold and consider the L^2
cohomology of the complement, which turns out to have similar
finite-dimensionality property because
of the L^2 estimate on complete Hermitian manifolds. Such an argument
is restricted to the cases where the singularities of the fiber metic are
isolated. As a technique, it was first introduced in [D-Oh-3] to estimate
the Bergman distances. It is useful for other purposes and applied also
省1

963: 2023/07/31(月)09:41 ID:jznoxopE(13/50) AAS
Once one has infinitely many linearly independent holomorphic sections
of a line bundle L → M, one can find singular fiber metrics of L
by taking the reciprocal of the sum of squares of the moduli of local
trivializations of the sections. Very roughly speaking, this is the main
trick to derive the conclusion of Theorem 0.1 from K_M|∂Ω < 0.

964: 2023/07/31(月)09:43 ID:jznoxopE(14/50) AAS
In fact,
for the bundles L with L|∂Ω > 0, the proof of
dim H^{n,0}(Ω, L^m) = ∞ for
m >> 1 will be given in detail here (see Theorem 1.4, Theorem 1.5 and
Theorem 1.6). The rest is acturally similar as in the case K_M < 0.
We shall also generalize the following theorems of Takayama.

965: 2023/07/31(月)09:45 ID:jznoxopE(15/50) AAS
Theorem 1.2. (cf. [T-1]) Weakly 1-complete manifolds with positive
line bundles are embeddable into CP^N
(N >> 1).
Theorem 1.3. (cf. [T-2]) Pseudoconvex manifolds with negative canonical bundles
are holomorphically convex.

966: 2023/07/31(月)09:58 ID:jznoxopE(16/50) AAS
Let M be a complex manifold. We shall say that M is a C^k
pseudoconvex manifold if M is equipped with a C^k plurisubharmonic
exhaustion function, say φ. C^∞ (resp. C^0) pseudoconvex manifolds are
also called weakly 1-complete (resp. pseudoconvex) manifolds. The
sublevel sets {x; φ(x) < c} will be denoted by Mc.
Theorem 0.2 and Theorem 0.3 are respectively a generalization of
Kodaira’s embedding theorem and that of Grauert’s characterization
of Stein manifolds.

967: 2023/07/31(月)09:59 ID:jznoxopE(17/50) AAS
Our intension here is to draw similar conclusions by assuming the
curvature conditions only on the complement of a compact subset of
the manifold in quetion

968: 2023/07/31(月)10:01 ID:jznoxopE(18/50) AAS
Theorem 0.2 will be generalized as follows.
Theorem 1.4. Let (M, φ) be a connected and noncompact C^2
pseudoconvex manifold which admits a holomorphic Hermitian line bundle
whose curvature form is positive on M - Mc.
Then there exists a holomorphic embedding of M - Mc into CP^N which
extends to M meromorphically.

969: 2023/07/31(月)10:02 ID:jznoxopE(19/50) AAS
Theorem 0.3 will be extended to
Theorem 1.5. A C^2 pseudoconvex manifold (M, φ) is holomorphically
convex if the canonical bundle is negative outside a compact set.

This extends Grauert’s theorem asserting that strongly 1-convex
manifold are holomorphically convex.

970: 2023/07/31(月)10:05 ID:jznoxopE(20/50) AAS
The proofs will be done by combining the method of Takayama with
an L^2 variant of the Andreotti-Grauert theory [A-G] on complete Hermitian manifolds whose special form needed here will be recalled in§3.
In §4 we shall extend Theorem 0.4 for the domains Ω as in Theorem
0.1. Whether or not Ω in Theorem 0.1 is holomorphically convex is
still open.

971: 2023/07/31(月)10:05 ID:jznoxopE(21/50) AAS
The proof of the desired improvement of Theorem 0.1 will rely on
the following.

972: 2023/07/31(月)10:10 ID:jznoxopE(22/50) AAS
Theorem 2.1. (cf. [Oh-4, Theorem 0.3 and Theorem 4.1]) Let M be
a complex manifold, let Ω ⊊ M be a relatively compact pseudoconvex
domain with a C^2-smooth boundary and let B be a holomorphic line
bundle over M with a fiber metric h whose curvature form is positive
on a neighborhood of ∂Ω. Then there exists a positive integer m0 such
that for all m ≥ m0
dimH^{0,0}(Ω, B^m) = ∞ and that, for any compact
set K ⊂ Ω and for any positive number R, one can find a compact set
K˜ ⊂ Ω such that for any point x ∈ Ω -K˜ there exists an element s of
H^{0,0}(Ω, B^m) satisfying
省1

973: 2023/07/31(月)10:12 ID:jznoxopE(23/50) AAS
We shall give the proof of Theorem 1.1 in this section for the convenience of the reader, after recalling the basic L^2
estimates in a general setting.

974: 2023/07/31(月)10:13 ID:jznoxopE(24/50) AAS
Let (M, g) be a complete Hermitian manifold of dimension n and let
(E, h) be a holomorphic Hermitian vector bundle over M.
Let C^{p,q}(M, E) denote the space of E-valued C^∞ (p, q)-forms on M
and letC^{p,q}_0(M, E) = {u ∈ C^{p,q}(M, E); suppu is compact}.

975: 2023/07/31(月)10:15 ID:jznoxopE(25/50) AAS
Given a C^2
function φ : M → R, let L^{p,q}_{(2),φ}(M, E) (= L^{p,q}_{(2),g,φ}(M, E))
be the space of E-valued square integrable measurable (p, q)-forms on
M with respect to g and he^{−φ}
.

976: 2023/07/31(月)10:17 ID:jznoxopE(26/50) AAS
The definition of L^{p,q}_{(2),φ}(M, E) will be
naturally extended for continuous metrics and continuous weights.

977: 2023/07/31(月)10:27 ID:jznoxopE(27/50) AAS
Recall that L^{p,q}_{(2),φ}(M, E) is identified with the completion of
C^{p,q}_0(M, E)
with respect to the L^2 norm
||u||φ := (∫_Me^{−φ}|u|^2_{g,h}dVg)1/2.
Here dVg := 1/n!ω^n
for the fundamental form ω = ω_g of g.

978: 2023/07/31(月)10:29 ID:jznoxopE(28/50) AAS
More explicitly, when E is given by a system of transition functions eαβ with
respect to a trivializing covering {Uα} of M and h is given as a system
of C∞ positive definite Hermitian matrix valued functions hα on Uα satisfying hα =t
eβαhβeβα on Uα ∩ Uβ, |u|2
g,hdVg is defined by tuαhα ∧ ∗uα,
where u = {uα} with uα = eαβuβ on Uα ∩ Uβ and ∗ stands for the
Hodge’s star operator with respect to g. We put ∗¯u = ∗u so that
tuαhα ∧ ∗uα =tuαhα ∧ ∗¯uα

979: 2023/07/31(月)10:30 ID:jznoxopE(29/50) AAS
Let us denote by ¯∂ (resp. ∂) the complex exterior derivative of
type (0, 1) (resp. (1, 0)). Then the correspondence uα 7→ ¯∂uα defines
a linear differential operator ¯∂ : C
p,q(M, E) → C
p,q+1(M, E). The
Chern connection Dh is defined to be ¯∂ + ∂h, where ∂h is defined by
uα 7→ h
−1
α ∂(hαuα). Since ¯∂
2 = ∂
省28

980: 2023/07/31(月)10:32 ID:jznoxopE(30/50) AAS
Θ > 0 (resp. ≥0) for an E^∗ ⊗ E-valued (1,1)-form Θ will mean the positivity (resp.
semipositivity) in this sense.

981: 2023/07/31(月)10:32 ID:jznoxopE(31/50) AAS
Whenever there is no fear of confusion, as well as the Levi form ∂¯∂φ
of φ, Θ_h will be identified with a Hermitian form along the fibers of
E ⊗ TM, where TM stands for the holomorphic tangent bundle of M.

982: 2023/07/31(月)10:33 ID:jznoxopE(32/50) AAS
By an abuse of notation, ¯∂ (resp. ∂he−φ ) will also stand for the maximal closed extension of ¯∂|C
p,q
0
(M,E)
(resp. ∂he−φ |C
p,q
0
(M,E)
) as a closed
operator from L
省29

983: 2023/07/31(月)10:34 ID:jznoxopE(33/50) AAS
We put
H
p,q
(2),φ
(M, E)(= H
p,q
(2),g,φ
(M, E)) =
Ker (
¯∂ : L
省24

984: 2023/07/31(月)10:34 ID:jznoxopE(34/50) AAS
Let Λ = Λg denote the adjoint of the exterior multiplication by ω.
Then Nakano’s formula
(2.2) ¯∂
¯∂
∗ + ¯∂
∗ ¯∂ − ∂h∂
∗ − ∂
∗
∂h =
√
省21

985: 2023/07/31(月)10:35 ID:jznoxopE(35/50) AAS
Here (u, w)φ stands for the inner product of u and v with respect to
(g, he−φ
). The following direct consequence of (1.3) is important for
our purpose.

986: 2023/07/31(月)10:36 ID:jznoxopE(36/50) AAS
Proposition 2.1. Let M, E, g, h and φ be as above. Assume that there
exists a compact set K ⊂ M such that dωg = 0 holds on M \ K. Then
there exist a compact set K′
containing K and a constant C such that
K′ and C do not depend on the choice of φ and
(
√
−1(Θh+IdE⊗∂
¯∂φ)Λu, u)φ ≤ C
(
省20

987: 2023/07/31(月)10:37 ID:jznoxopE(37/50) AAS
From Proposition 1.1 one infers

988: 2023/07/31(月)10:37 ID:jznoxopE(38/50) AAS
Proposition 2.2. Let (M, E, g, h, φ, K) and (K′
, C) be as above. Assume moreover that one can find a constant C0 > 0 such that C0(Θh +
IdE ⊗∂
¯∂φ)−IdE ⊗g ≥ 0 holds on M \K. Then there exists a constant
C
′ depending only on C, K′ and C0 such that
kuk
2
φ ≤ C
′
省21

989: 2023/07/31(月)10:38 ID:jznoxopE(39/50) AAS
By a theorem of Gaffney, the estimate in Proposition 1.2 implies the
following.
Proposition 2.3. In the situation of Proposition 1.2,
kuk
2
φ ≤ C
′
(
k
¯∂uk
省20

990: 2023/07/31(月)10:38 ID:jznoxopE(40/50) AAS
Recall that the following was proved in [H] by a basic argument of
functional analysis.

991: 2023/07/31(月)10:39 ID:jznoxopE(41/50) AAS
Theorem 2.2. (Theorem 1.1.2 and Theorem 1.1.3 in [H]) Let H1 and
H2 be Hilbert spaces and let T : H1 → H2 be a densely defined closed
operator. Let H3 be another Hilbert space and let S : H2 → H3 be a
densely defined closed operator such that ST = 0. Then a necessary
and sufficient condition for the ranges RT , RS of T, S both to be closed
is that there exists a constant C such that
(2.4) kgkH2 ≤ C(kT
∗
gkH1 +kSgkH3
); g ∈ DT ∗ ∩DS, g⊥(NT ∗ ∩NS),
省10

992: 2023/07/31(月)10:40 ID:jznoxopE(42/50) AAS
Hence we obtain

993: 2023/07/31(月)10:40 ID:jznoxopE(43/50) AAS
Theorem 2.3. In the situation of Proposition 1.2, dimH
n,q
(2),φ
(M, E) <
∞ and H n,q
φ
(M, E) ∼= H
n,q
(2),φ
(M, E) hold for all q ≥ 1.

994: 2023/07/31(月)10:41 ID:jznoxopE(44/50) AAS
It is an easy exercise to deduce from Theorem 1.3 that every strongly
pseudoconvex manifold is holomorphically convex (cf. [G] or [H]). We
are going to extend this application to the domains with weaker pseudoconvexity.

995: 2023/07/31(月)10:41 ID:jznoxopE(45/50) AAS
For any Hermitian metric g on M, a C
2
function ψ : M → R is called
g-psh (g-plurisubharmonic) if g + ∂
¯∂ψ ≥ 0 holds everywhere.
Then Theorem 1.3 can be restated as follows.

996: 2023/07/31(月)10:42 ID:jznoxopE(46/50) AAS
Theorem 2.4. Let (M, g) be an n-dimensional complete Hermitian
manifold and let (E, h) be a Hermitian holomorphic vector bundle over
M. Assume that there exists a compact set K ⊂ M such that
Θh − IdE ⊗ g ≥ 0 and dωg = 0 hold on M \ K. Then, for any g-psh
function φ on M and for any ε ∈ (0, 1),
dim H
n,q
(2),εφ
(M, E) < ∞ and H n,q
εφ (M, E) ∼= H
省4

997: 2023/07/31(月)10:43 ID:jznoxopE(47/50) AAS
§2 Infinite dimensionality and bundle convexity theorems
By applying Theorem 1.4, we shall show at first the following.
Theorem 2.5. Let (M, E, g, h) be as in Theorem 1.4 and let xµ (µ =
1, 2, . . .) be a sequence of points in M without accumulation points.
Assume that there exists a (1 − ε)g-psh function φ on M \ {xµ}
∞
µ=1 for
some ε ∈ (0, 1) such that e
−φ
is not integrable on any neighborhood of
省4

998: 2023/07/31(月)10:43 ID:jznoxopE(48/50) AAS
Proof. We put M′ = M \{xµ}
∞
µ=1 and let ψ be a bounded C
∞ ε
2
g-psh
function on M′
such that g
′
:= g + ∂
省48

999: 2023/07/31(月)10:44 ID:jznoxopE(49/50) AAS
Then take u ∈ L
n,0
(2),φ
(M′
, E)
satisfying ¯∂u = v and put s =
?cµsµ − u. Clearly s extends to a
nonzero element of Hn,0
(M, E) which is zero at xµ except for finitely
many µ. Hence, one can find mutually disjoint finite subsets Σν 6=
省3

1000: 2023/07/31(月)10:45 ID:jznoxopE(50/50) AAS
This observation will be basic for the proofs of Theorems 0.4 and
0.5.

1001(1): 1001 ID:Thread(1/2) AAS
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1002(1): 1002 ID:Thread(2/2) AAS
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