[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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681(2): 2022/12/12(月)07:27 ID:o5L78qQF(3/10) AAS
HはGの部分群であれば任意で、Hの作用でちょうど不変になる式を作れば同様。
クロネッカー・ウェーバーの定理より
Q上の巡回（より広くアーベル）方程式は本質的にこのタイプに限られる。
例
n=31, H={1,5,6,25,26,30}のときG/Hは5次の巡回群。
α=Σ_{k∈H}σ_k(ζ_31)
とおくとαはHで不変で、次の巡回方程式をみたす。
x^5+x^4-12 x^3-21 x^2+x+5
682(1): 2022/12/12(月)07:30 ID:o5L78qQF(4/10) AAS
>>677
pべきの場合はどうなるんだ？とは、わたしも昨日
少し頭をよぎりました。
>ああ、ヤバい・・・整数論沼にハマったか？
楽しんでおられるようで何よりです。
683: 2022/12/12(月)07:30 ID:TUjlnc/t(5/15) AAS
>>679
＞・(Z/nZ)の要素と加法と(Z/nZ)×の要素と乗法を、それぞれ説明せよ
前者はアホでも分かる、後者はアホでないなら分かる
684(1): 2022/12/12(月)07:37 ID:o5L78qQF(5/10) AAS
巡回函数を作るより、(Z/nZ)^*の乗法作用を使った方が見通しがいい
こういうのがアーベル体の構成とか、ガロア拡大でもいいが
保型函数のような「よい」函数の特殊値で拡大体を構成
することのご利益の初歩的な例。
685: 2022/12/12(月)07:38 ID:TUjlnc/t(6/15) AAS
>>680-682
いわれてみればごもっともなんですが、
「三角関数のｎ倍角操作の不動点で遊べるじゃん！」
といまさらながら気づいた次第ですｗ
＞＞ああ、ヤバい・・・整数論沼にハマったか？
＞楽しんでおられるようで何よりです。
ありがとうございます
ということで今日はこの曲（古っ！）
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
686: 2022/12/12(月)07:41 ID:TUjlnc/t(7/15) AAS
>>684
おっしゃる通りと思いますが
・・・なにぶんにもハイハイから始めないと歩けない性分で
もう少々お待ちくださいｗ
687(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)08:07 ID:qR3y03w/(3/6) AAS
>>678
>何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる。
>ζ_5はQ(ζ_11)には含まれないから矛盾する。
どうもです
質問で悪いが
1）”作用させる”は、不正確な表現では？
意味がとれない
2）そもそもは、
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 >>617 の可解性だった
この5次方程式を解くのに、5乗根が必要ないという主張ですか？
省12
688(1): 2022/12/12(月)09:49 ID:PEfbYqO8(1/3) AAS
>>687
>”作用させる”は、不正確な表現では？意味がとれない
ガロア群を理解してれば意味取れるが、何か？
>そもそもは、
>32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 の可解性だった
>この5次方程式を解くのに、5乗根が必要ないという主張ですか？
定義に基づいて文章を論理的に解読しないから、似て非なる文章と誤解する
>あと、ζ_5を含んでも、方程式の可解性には影響しないし、
>ラグランジュ・ソルベントで、ζ_5を使うんでしょ？
途中で出るから、最後のガロア拡大体にも出る、
省16
689(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)10:49 ID:Zf32nHrU(1/4) AAS
>>688
スレ主です
これは、落ちこぼれ1号のおサルさん>>5だね
>>”作用させる”は、不正確な表現では？意味がとれない
> ガロア群を理解してれば意味取れるが、何か？
ゴマカシだね
数学では、まずは”作用させる”について、自分の主張での意味や定義を述べる
その上で、”ガロア群を理解してれば意味取れる”はありだが
そもそも、自分の主張での意味や定義を述べられないのはダメだよ
ガロア理論を、いま代数方程式の可解性の問題に限定して
省29
690(1): 2022/12/12(月)11:13 ID:PEfbYqO8(2/3) AAS
>>689
>落ちこぼれ1号だね
0号🐒がなんかキャッキャ言っとる
>ゴマカシだね
>またゴマカス
じゃ誤魔化し無しの直球勝負
2号さんのクロネッカー=ウェーバーの定理から
Ｑ上のガロア群がアーベル群である代数体は
ある1の元を有理数体Qに添加した体"の部分体"である
ここで""内を取っ払ったのが0号君
省5
691(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)11:54 ID:Zf32nHrU(2/4) AAS
>>690
詭弁と論点ずらし
そればっかりｗ
だからさ、そういう世間ずれした
ディベートもどきの論法
それは、なんとかヒロユキ氏が得意かもしれないが
それって、数学では有害無益
それやって、自分をゴマカスようになると
数学での進歩が止まるよ
692: 2022/12/12(月)12:27 ID:PEfbYqO8(3/3) AAS
>>691
反論不能だと、
「詭弁」「論点ずらし」「ディベート」
と絶叫発狂w
ビント外れの詭弁ディベートで
誰彼なくマウントしたがる🐒
それが落ちこぼれ0号の1
まさに、数学板のひろゆき
693(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)18:25 ID:Zf32nHrU(3/4) AAS
>>689 追加
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）下記、元吉文男氏 巡回群をガロア群に持つ 5 次方程式の判別とその解法は、旧ガロアすれでも取り上げたことがある
ここで、”素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、その任意の 2 根によって根が分離できることである”
とあります。ガロア第一論文の最後の定理ですね。
だから、可解な既約5次方程式（正規かつ分離）の最小分解体は、基礎体Qとして、Q(αi,αj) i≠j i,J = 1～5
つまり、5根全部を必要としないってことですね。うっかりしていました。昨晩気づいたがｗ
２）あと、下記「五次方程式の解の公式の存在条件」(長野県木曽青峰高校)
省20
694: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)18:26 ID:Zf32nHrU(4/4) AAS
>>693
つづき
外部ﾘﾝｸ:www.nagano-c.ed.jp
長野県木曽青峰高等学校 理数科
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.nagano-c.ed.jp
平成26年度課題研究
１ ５次方程式の解の公式の存在条件
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.nagano-c.ed.jp
五次方程式の解の公式の存在条件
研究者 小垣外蘭南 下村晴喜
省4
695(2): 2022/12/12(月)19:37 ID:o5L78qQF(6/10) AAS
>>681
p=10n+1型の素数のとき、ζ_pの値から5次巡回方程式を作ることができる。
一方、これらとは別に
ζ_25の値からも5次巡回方程式が作れる。
ζ_25+ζ_25^7+ζ_25^18+ζ_25^24 を根の一つとして持つ方程式
x^5-10 x^3+5 x^2+10 x+1=0.
696: 2022/12/12(月)19:38 ID:TUjlnc/t(8/15) AAS
>>693
>”素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、
> その任意の 2 根によって根が分離できることである”
なんでだかわかる？
ヒント：円分拡大とクンマー拡大
一方で「任意の１根で根が分離できる」おめでたい場合がある
ズバリ、巡回拡大でOKな場合 これが問題
697(1): 2022/12/12(月)19:50 ID:TUjlnc/t(9/15) AAS
ところで、ついうっかりと
「ガロア理論の頂を踏む」 石井俊全
買っちまったｗ
これ、いい本だわｗ
半分ぐらい読んだけど
そういや、
５次以上の交代群が可解でないことの証明で
交代群が長さ３の巡回置換で生成できて
次数が３＋２以上なら長さ３の任意の巡回置換が
長さ３の巡回置換の交換子積として実現できる
省1
698(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)20:57 ID:qR3y03w/(4/6) AAS
>>697
>「ガロア理論の頂を踏む」 石井俊全
>買っちまったｗ
ご苦労さまです
私も持っている（書棚のこやしですが）
私のは、2013/09/26 第2刷です
以前旧ガロアスレで、C++さんがこの本の記述で質問したときに、
自分の本を見て答えたら「古い（改訂がある）」と言われましたね
いま見ると、下記の（初版～7刷）正誤表 20220614 現在があるね
多分それ7刷だな
省26
699(1): 2022/12/12(月)21:16 ID:TUjlnc/t(10/15) AAS
>>698
>> ５次以上の交代群が可解でないことの証明で
>>交代群が長さ３の巡回置換で生成できて
>>次数が３＋２以上なら長さ３の任意の巡回置換が
>>長さ３の巡回置換の交換子積として実現できる
>>「トリック」を使ってたって、今思い出したよｗ
> そうそう そこ有名どころですね
> 大概の本には書いてある
でも、正規部分群の定義のaH=Haの＝を
同型と読んじゃう人にはワケワカランでしょ
省4
700(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)21:17 ID:qR3y03w/(5/6) AAS
>>698 追加
そうそう
その石井本の第5章 4節 「体の次元を捉えよう」があるでしょ
そこに、下記と同様に
”既約多項式の互いに共役な元の入れ替えを考察するというのが、
ガロアによる方程式の理論の原型である。
一方、自己同型は線形空間として体拡大をとらえる現代的方法である。”
みたいな説明があるよね
（因みに、線形空間として捉える見方は、アルティンの創始らしい）
1次独立あるいは線形独立ね
省22
701(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)21:27 ID:qR3y03w/(6/6) AAS
>>699
いや、ぜんぶクリアしました
ガロアゲームは最後までクリアしました
まあ、大体は、
一部の天才は別として
殆どの人は、数学本の読み方は
躓きながら進んでいくものだろうさｗ
（落ちこぼれ2号さんは、5乗のべき根と巡回群の関係、そして5根全部が実のときとの関連箇所で、躓いたのかな？）
自分でも、言っていたろ？ｗ
昔、ガロア理論がワケワカだったって
省2
702: 2022/12/12(月)21:35 ID:o5L78qQF(7/10) AAS
1が「ガロア理論の初歩から分かってない」ことはまったく明らか。
「既約方程式の根をすべて添加した体」がガロア拡大だと分かってなかったのだから。
ガロア拡大というのは、要するに「基礎体上、ガロア群が定義される体」ということ。
一方、ガロアは既約方程式の根の置換群としてガロア群を定義しているのだから
両者が一致しなければ話がつながらない。
そういうことが分かってないのが、数学センスが根本的にダメｗ
703(1): 2022/12/12(月)21:57 ID:TUjlnc/t(11/15) AAS
>>700
>1次独立あるいは線形独立と”代数的独立”の用語を混同したんだ
大学1年の線型代数からやり直せよｗ
>>701
はっきりいうと、
「拡大体は全て単拡大体」
が分かってなかったｗ
ところでα1,･･･,αnからθを作った場合
θを根とする最小多項式の他の根は
どうなってるんだろ？
省4
704(2): 2022/12/12(月)22:05 ID:TUjlnc/t(12/15) AAS
>>703
>α1,･･･,αnからθを作った場合
>θを根とする最小多項式の他の根は
>どうなってるんだろ？
愚問だったｗ
θ=c1α1+･･･+cnαn
として、α1,･･･,αnを交換すりゃいいのか
そりゃ最大n!個だわな
705: 2022/12/12(月)22:08 ID:TUjlnc/t(13/15) AAS
なんだ、わかってしまえば屁みたいなことだったｗ
1はこんなのがわからんかったのか 馬鹿か？ｗ
まあいいや、円分方程式の根の計算が面白いからｗ
706(1): 2022/12/12(月)22:12 ID:o5L78qQF(8/10) AAS
>>704
>θを根とする最小多項式の他の根は
>どうなってるんだろ？
θが基礎体上でみたす既約方程式は自然に決まりますよね
その次数=ガロア群の位数ですよ。
ただ、既約方程式は「一意に決まる」と分かるだけで
実際に計算するのは中々大変です。
（既約性の判定などが必要になるから。）
707: 2022/12/12(月)22:18 ID:o5L78qQF(9/10) AAS
>既約方程式は「一意に決まる」
最小多項式は
708: 2022/12/12(月)22:23 ID:o5L78qQF(10/10) AAS
円分体でもガロア群の決定は円分多項式
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
の既約性に帰着するが、この証明が一般の場合は中々難しいという話。
709: 2022/12/12(月)23:13 ID:TUjlnc/t(14/15) AAS
>>706
なるほど厄介 704は撤回ｗ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
710: 2022/12/12(月)23:30 ID:TUjlnc/t(15/15) AAS
>>701
＞（落ちこぼれ2号さんは、5乗のべき根と巡回群の関係、
＞ そして5根全部が実のときとの関連箇所で、躓いたのかな？）
いや、
「５次方程式の最小分解体だから５乗根が追加されるのは当然」
という思い込みの💩壺に落ちたのは1こと0号、あんただよｗ
711: 2022/12/13(火)04:12 ID:V3OUy8Or(1) AAS
猿吉大明神が落ち零れ？なら>>1投稿者の集合Aは何だ？生き亡者か？
712: 2022/12/13(火)05:48 ID:Eed4vGmx(1) AAS
Q上の任意のアーベル体はある円分体の部分体である、を証明せよ。
713: 2022/12/13(火)06:00 ID:zy0H43fF(1/4) AAS
>>704が>>663のいう「ガロア・リゾルベント」だな
714: 2022/12/13(火)07:14 ID:zy0H43fF(2/4) AAS
1の誤りって結局
Q(ζ,ζ^(-1))=Q(ζ)=Q(ζ^(-1)) ならば
Q(ζ+ζ^(-1))=Q(ζ) と
何の考えもなく軽率に思い込んだってことよね
（実際にはQ(ζ+ζ^(-1))⊂Q(ζ)
例えば１の５乗根の場合
Q(ζ+ζ^(-1))＝Q(√５)⊂Q(ζ))
だいたい、考えずにパッと判断して💩壺に落ちるよね
おサル0号の1は
まず、考えろよ 名目大卒の実質中卒なんだから
715(1): 2022/12/13(火)07:30 ID:/mF/XaZs(1/3) AAS
1はa^{1/5}にガロア群を作用させるとζ_5が出てくることさえ分かってない。
aは任意の代数体kの数であるとしてよい。
ただし5乗数ではない、つまりa^{1/5}はkには含まれないものとする。
どんなガロア群？ 十分大きなガロア拡大のガロア群
あるいは、「絶対ガロア群」とすればよい。
kの数を固定するものの全体は部分群をなす。
そしてその中にa^{1/5}→a^{1/5}ζ_5 と作用する元が必ずある。
一方で、ζ_5を含まないQ上のいかなるガロア拡大体の数に絶対ガロア群を作用させても
このような作用は持たない。矛盾するから。
716: 2022/12/13(火)07:32 ID:/mF/XaZs(2/3) AAS
ところで>>695の方程式は根が最も簡単なべき根表示を持つ既約5次方程式になっている。
なぜなら、ζ_25=(ζ_5)^(1/5)だから。
717(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/13(火)15:00 ID:2zFdfKF2(1/2) AAS
>>693 補足
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）だれかも言っていたが、クンマー拡大とクンマー理論があるよね（下記）
（クンマー拡大の逆を、クンマー理論が与えるという（下記））
２）下記「クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。」
３）いま、n=5(素数)と取る。n を割る数は、5と1のみ
４）次のクンマー拡大の逆
省14
718: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/13(火)15:01 ID:2zFdfKF2(2/2) AAS
>>717
つづき
クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。
クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる（つまり、より小さな体へと「降下」する）ことである。それはクンマー理論と比べて非常に難しい。
クンマー拡大
K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K に添加すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大をなす。ここでできる体は多項式 Xn - a の分解体であるため、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回群となる。
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。
省12
719(2): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/13(火)19:22 ID:zy0H43fF(3/4) AAS
>>717
＞ガロア群が位数 5 の巡回群のとき、
＞あるa∈K の5乗根を添加する以外に
＞そういう5乗根以外のクンマー拡大がある
＞とするのは、無理筋じゃね？
壱 そもそもクンマー拡大ではなく円分拡大ではないか？
弐 クンマー拡大と円分拡大では解の置換の仕方が違わないか？
参 クンマー拡大の場合 α→ζα （α：5乗根 ζ：１の5乗根）
肆 円分拡大の場合 α→α^n （α：1のべき乗根）
伍 で α＋α^(-1) → α^n＋α^(-n) （cosのn倍角の公式）
省4
720: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/13(火)19:47 ID:zy0H43fF(4/4) AAS
ということで
721: 2022/12/13(火)22:04 ID:/mF/XaZs(3/3) AAS
1が理解できもしないのに感心しそうなコピペｗ
「類体論の中で Kab を具体的に構成することは、最初にクンマー理論を使い
より大きな非アーベル拡大を構成し、それからアーベル拡大へ落とし込むこと
でなされるので、従ってアーベル拡大のより具体的な構成方法を問うている
ヒルベルトの問題の解には至っていない。」
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
722(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)00:13 ID:h2KJkl9Z(1/3) AAS
>>719
どうも
スレ主です
1）そのコテハン面白いな
2）クンマー拡大と円分拡大と、全く別物でもないんでないの？
3）どちらも、方程式のｎ乗根解法→ガロア理論 の範疇だし
4）a∈K で
aのｎ乗根を添加したときどうなるか？→巡回群：クンマー拡大
逆に、巡回群→ｎの約数のべき根拡大：クンマー理論
みたいな感じでないの？
省4
723(2): 2022/12/14(水)03:25 ID:pOsxGz9F(1) AAS
円分方程式の根は巾根だけを用いて表せるというと、そんなの当たり前じゃんといわれる。
どうして当たり前だと思うのかと聞くと、だって、1のｎ乗根は 1＾｛1／ｎ｝でしょ
だから円周ｎ分方程式の根は、1＾｛1／n}のｎ通りの値のうちの適切なものを
選べばすべて書けてるじゃないの、というのだ。ギャフン。
724: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)05:17 ID:k8VlPTAV(1/12) AAS
数学板の幽霊である
>>722
壱 面白い？つまらんよ こんな名前
弐 巡回の仕方を理解せぬ、浅薄な感想には興味がない
参 どちらもガロア拡大、なんて当たり前のこと
肆 クンマーの話ばかりで円分拡大については何ひとつ述べてない 分かってないな
伍 >>719読め 音読はしなくていい 黙読しろ その代わり考えろ
一旦ここで切る
725: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)05:27 ID:k8VlPTAV(2/12) AAS
>>722
＞再度問う
＞「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
＞ 5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？
＞ つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？」
壱 可解な既約5次方程式は必ず位数５の巡回群による拡大を要する、というのはよいとしよう
弐 問題は、位数５の巡回群による拡大は、必ず５乗根そのものを添加する、という点
参 ラグランジュの分解式を用いれば、解を表す式の中に５乗根は現れる
肆 一方で、その５乗根自体が最小分解体の中に含まれるか？といえば答えは否だ
伍 つまり５乗根を使わないことはないが、
省5
726(1): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)06:13 ID:k8VlPTAV(3/12) AAS
壱 おそらく雑談 ◆yH25M02vWFhP 氏は、巡回について
「１／ｎ回転をｎ回繰り返せば１回転 これのみが巡回」
と思い込み、その理解に安住し切っていると思われる
考えることを嫌い、見たままで分かろうとする
サル🐒の典型的な本能といえばよいだろうか？
727(1): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)06:17 ID:k8VlPTAV(4/12) AAS
>>726
弐 一方、素数ｐの円分多項式Φｐの根が、ｐ−１回の操作で循環するのは
目でみただけではわからない
なぜなら、操作が１／（ｐ−１）回転ではないからである
根をある角度としたとき、操作は角度のｎ倍になる
（ｎは２以上ｐ−１以下だが、どんなものでもよいわけではない）
728(3): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)06:26 ID:k8VlPTAV(5/12) AAS
>>727
参 例えばΦ5について考える
ある根について角度を２倍にする操作をmod 5で見ると
１→２→４→３（＝８）→１（＝１６）→･･･
たかだかｐ−１回で戻るのは、そもそも根がｐ−１個しかないからである
しかしｐは素数だから、ｐ＞＝５ならばｐ−１は合成数であり、
ｐ−１の約数で巡回する場合がある、例えば４倍だと以下の通り
１→４→１（＝１６）→･･･
つまり円分方程式の根の巡回は、整数論的現象なのである
しかし整数論には全く興味がない、と臆面もなく語るサル🐒には、
省3
729: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)06:29 ID:k8VlPTAV(6/12) AAS
＝９＾３
730: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)08:27 ID:h2KJkl9Z(2/3) AAS
>>723
(引用開始)
円分方程式の根は巾根だけを用いて表せるというと、そんなの当たり前じゃんといわれる。
どうして当たり前だと思うのかと聞くと、だって、1のｎ乗根は 1＾｛1／ｎ｝でしょ
だから円周ｎ分方程式の根は、1＾｛1／n}のｎ通りの値のうちの適切なものを
選べばすべて書けてるじゃないの、というのだ。ギャフン。
(引用終り)
その話面白いな
1）まず、スタートを1＾｛1／ｎ｝ではなく
オイラーの式 e^2Πi＝1からスタートすべき
省22
731(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)10:18 ID:XvLBbeMm(1/6) AAS
下記が面白い
「今回の研究によって、虚数角速度を持つ仮想世界を経由することで、クォークとグルーオンの閉じ込め現象について、信頼性の高い摂動計算のできる高温側から、未解決問題となっている低温側へと相転移なくアクセスできる可能性が示され、閉じ込め機構の解明に向けてまったく新しい研究の可能性が開拓されたとする」
これ、望月IUTも同様のアナロジーかな
楕円曲線の評価がほしい
↓
望月IUT（圏論による仮想の楕円曲線ワールド）
↓
不定性を持つ評価式
↓
元の楕円曲線の評価（不定性を含む）
省8
732(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)10:19 ID:XvLBbeMm(2/6) AAS
>>731
つづき
ところが、角速度を取り入れると「符号問題」という深刻な困難によって摂動計算に頼らない理論解析が複雑になってしまい、角速度の効果について複数のグループから矛盾する計算結果が報告されるなど、理解が不十分な状況となっていたとする。
原子核衝突実験で生成されるような高速回転した物質の性質を数値計算によって解き明かすためには、符号問題を回避するために一旦、角速度を虚数にした仮想世界を経由する必要があるという。たとえば、通常の世界では時間と空間は区別されているが、時間を虚数に取った仮想世界では虚数時間はあたかも空間の一部のように見なすことが可能だ。そこで研究チームは今回、虚数角速度が虚数時間と同じように空間の性質と見なせることを指摘し、十分な高温状態に対して信頼できる理論計算を実行することにしたとする。
これまで、高温高密度のクォーク・グルーオン物質から閉じ込めの性質を調べるには、相転移を超えないと閉じ込め相にアクセスできないことから、従来の摂動計算には限界があった。しかし今回の研究によって、虚数角速度を持つ仮想世界を経由することで、クォークとグルーオンの閉じ込め現象について、信頼性の高い摂動計算のできる高温側から、未解決問題となっている低温側へと相転移なくアクセスできる可能性が示され、閉じ込め機構の解明に向けてまったく新しい研究の可能性が開拓されたとする。
(引用終り)
以上
733(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)10:33 ID:XvLBbeMm(3/6) AAS
>>732 追加
>ところが、角速度を取り入れると「符号問題」という深刻な困難によって摂動計算に頼らない理論解析が複雑になってしまい、角速度の効果について複数のグループから矛盾する計算結果が報告されるなど、理解が不十分な状況となっていたとする。
「符号問題」ね
下記が参考になるだろう
（参考）
外部ﾘﾝｸ:www.saiensu.co.jp
サイエンス社
数理科学 2023年1月号 Ｎｏ.715
理論物理に立ちはだかる「符号問題」
克服を可能にする様々なアプローチ（12月15日発売予定）
省7
734(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)11:57 ID:XvLBbeMm(4/6) AAS
>>722 追加
(引用開始)
4）a∈K で
aのｎ乗根を添加したときどうなるか？→巡回群：クンマー拡大
逆に、巡回群→ｎの約数のべき根拡大：クンマー理論
みたいな感じでないの？
5）なので再度問う
「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）
省28
735(1): 2022/12/14(水)13:02 ID:l+E2sX0c(1) AAS
>>731-733
話を逸らすためだけのコピペがつまらん
736(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)13:19 ID:XvLBbeMm(5/6) AAS
>>735
話はそらしていない
追及している
”5）なので再度問う
「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）”
あらすじの理解が間違っているよってこと
だから、確認の上
問いに答えろってことだ
737: 2022/12/14(水)13:37 ID:RBBQbce9(1/2) AAS
自分が分かってなかった&間違ってたのに
なぜかひとがそうだという話になってるのが雑談マジックｗ
738(3): 2022/12/14(水)13:42 ID:RBBQbce9(2/2) AAS
クンマークンマー言ってるけど、Q上の5次巡回方程式を解くのに
一旦Q(ζ_5)を経由してクンマー拡大すると
一般的にそれはQ上非アーベル拡大になることは理解してますかね？
してないでしょうね。
非アーベルにならずに、アーベルのまま=円分体の中で解けるのが
>>695のレアケース。
739: 2022/12/14(水)14:55 ID:t5zOZSgr(1) AAS
>>738
なるほど 既約5次方程式で
可解かつガロア群がアーベル群となるＱ上の拡大は、
ガロア群が位数5の巡回群となる場合だけですね
740(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)18:09 ID:XvLBbeMm(6/6) AAS
>>738
論点ずらしｗ
>>736より
”5）なので再度問う
「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）”
話を逸らすのは
どっちｗｗ
741: 2022/12/14(水)18:30 ID:ErXuzl8J(1/2) AAS
>>740
頭悪いね
742(1): 2022/12/14(水)18:35 ID:ErXuzl8J(2/2) AAS
>cos(2π/11)のべき根を使った表現で
>5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？
何言ってるのか意味不明。
元の方程式=「cos(2π/11)がQ上みたす既約方程式」は
一意に決まっている。
いいですか？ 解法があって元の方程式があるんじゃない
元の方程式があって、それに対して解法がある。
>つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）
この図式も意味不明。
5次式「ならば」位数5の巡回群 だと言うなら明確な誤り。
省4
743(1): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)20:01 ID:k8VlPTAV(7/12) AAS
>>723
＞その話面白いな
理解できないとき誤魔化す為に面白いと嘘をつく
＞まず、スタートを 1^{1/n} ではなくオイラーの式 e^2πi＝1からスタートすべき
＞つまり、話は複素数根の問題で、円周ｎ分方程式の根は
＞ e^2πi/n＝cos(2πi/n)+i sin(2πi/n)
＞と書ける これが、問題の式だ
＞よって、三角関数の式
＞ cos(2πi/n)、 sin(2πi/n)
＞この三角関数の1/n公式が、べき根だけで解ける（可解性）か？が問題になるってこと
省21
744(1): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)20:08 ID:k8VlPTAV(8/12) AAS
>>734
＞ガロア理論の”あらすじ”が、理解できていないのでは？
＞ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全の目次を見て
＞”あらすじ”を、再度確認してみて
＞下記の”巡回拡大からベキ根拡大へ”が、
＞クンマー拡大の逆＝クンマー理論では？
全く的外れ
雑談君こそ
ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全
の以下を読むべし
省11
745: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)20:20 ID:k8VlPTAV(9/12) AAS
>>742
＞意味不明
思うに、雑談君はラグランジュの分解式の要である巡回関数が分かってない
クンマー拡大！としか言わず、円分拡大について決して語らないのも
円分拡大の巡回操作が全く分かってないから
それじゃ「（有限）拡大は全て単拡大」とか
「５次以上の交代群は単純群であって可解でない」とか
わかってもぜんぜんつまらん
（別にアルティンやガロアやルフィニにケンカ売ってるわけではない）
円分拡大こそ面白さの核心 円分拡大万歳！！！
746: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)20:24 ID:k8VlPTAV(10/12) AAS
AA省
747: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)20:26 ID:k8VlPTAV(11/12) AAS
AA省
748: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/14(水)20:40 ID:k8VlPTAV(12/12) AAS
AA省
749(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/14(水)23:28 ID:h2KJkl9Z(3/3) AAS
>>740 追加
> >>736より
>”5）なので再度問う
> 「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
> 6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）”
これで
>>626より再録
(引用開始)
mathworld のページ
省33
750(1): 2022/12/15(木)03:35 ID:j/qjOTBM(1) AAS
ギャフンといわずに、あたりまえだのクラッカーという学生に、
君の理解は間違って居るぞと、根拠をもって説得・洗脳するには
如何に論を説くべきや？ということだ。単に教科書の丸写しを
黒板に書いて教えているというだけならそれは理解したかのように
演じている役者でしかないのかもしれない。
オンラインでオンデマンド講義をするには、見た目の良い俳優を
遣う方が、学習効果が上がるというようなことになったら、大変だ
ろうが、案外それは正しいのかもしれないわけです。少なくとも
客が呼べるからね。
751: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)06:48 ID:eN8xOiy4(1/8) AAS
>>749
(無意味に三角関数書いてるところを全部書き換え)
>（1の11乗根の実部の）具体的表式
>「･･･」とあるから、5乗根を使っています
「「･･･」とあるから」と
全く考えなしに他人の言葉を丸写しせずに
理解した上で自分の言葉で書くべし
>c_11を1の11乗根の実部、s_11を虚部として
>c_11^2 = 1-s_11^2 （高校数学レベル）
>と書ける
省31
752(1): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)06:55 ID:eN8xOiy4(2/8) AAS
さて、
グロタンディクを２０世紀のガロアと考えたとき
２０世紀のガウスにあたるのは誰なんだろうか？
753: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)07:07 ID:eN8xOiy4(3/8) AAS
リゾルベントという言葉は、数学の各分野で使われてるので注意が必要
方程式論のリゾルベント
論理学のリゾルベント
線型作用素のリゾルベント
は、それぞれ異なる
754(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)08:04 ID:hn13nMmQ(1/5) AAS
>>749 追加
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
Trigonometry Angles--π/11
（抜粋）
Letting alpha=pi/11 and x=sin^2alpha then gives
sinπ=0=11-220x+1232x^2-2816x^3+2816x^4-1024x^5. (3)
But this quintic equation has a cyclic Galois group, and so x, and hence sin(π/11), can be expressed in terms of radicals (of complex numbers). The explicit expression is quite complicated, but can be generated in the Wolfram Language using Developer`TrigToRadicals[Sin[π/11]].
cos(π/11) = (32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1)_5 (4)
(引用終り)
ここに、
省30
755: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)08:12 ID:hn13nMmQ(2/5) AAS
>>750
>ギャフンといわずに、あたりまえだのクラッカーという学生に、
ありがとう
「昭和を代表するあの名フレーズ、今も健在 そんなの、あたりまえだ」
外部ﾘﾝｸ[html]:www.asahi.com
昭和を代表するあの名フレーズ、今も健在 そんなの、あたりまえだ
渡義人2022年12月8日 15時00分
まだまだ勝手に関西遺産
百貨店の大阪銘菓コーナーで初めて見かけたとき、思わず二度見してしまった。
省7
756(1): 2022/12/15(木)09:23 ID:rFvliE9e(1/3) AAS
要約するとcos(10π/11)=-cos(π/11)がわからない
757(1): 2022/12/15(木)09:52 ID:eIChDb+1(1/2) AAS
>>754
>32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0 (cos(π/11))
> vs
>32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 (cos(2π/11))
>で微妙にプラスマイナスが異なる
>どちらかが、間違っているかも
どっちも正しいよ
計算しなくても分かる
あんた、三角関数も分かってないねぇ
758(4): 2022/12/15(木)10:05 ID:eIChDb+1(2/2) AAS
訂正
>>754
>32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0 (cos(π/11))
> vs
>32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 (cos(10π/11))
>で微妙にプラスマイナスが異なる
>どちらかが、間違っているかも
どっちも正しいよ
計算しなくても分かる
あんた、三角関数も分かってないねぇ
759(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)10:47 ID:YwputiFG(1/3) AAS
>>756-758
ありがとうございます
スレ主です
>要約するとcos(10π/11)=-cos(π/11)がわからない
なるほどね
cos(π/11)は、円周等分で、
cos(2π/22)で、22等分を考えることになるけど
虚数軸で折り返す（鏡映）対称になっているってことですね
（cos(2π/11)の11等分では、x=1に対応する点が、鏡映では存在しないが、22等分では存在していて全体としても鏡映対称だと）
>>で微妙にプラスマイナスが異なる
省11
760(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)11:06 ID:YwputiFG(2/3) AAS
>>759 追加
自己レス
下記のCyclotomic polynomial
Φ22＝x^10 -x^9 +x^8 -x^7 +x^6 -x^5 +x^4 -x^3 +x^2 -x +1
が、既約ではなく可約で、
>>758の二つの式に因数分解できる？
確認してないけど
そうかも・・
（参考）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
省2
761(1): 2022/12/15(木)11:27 ID:rFvliE9e(2/3) AAS
既約であることも>>758との関係も分かってないってすごいね
762(1): 2022/12/15(木)12:17 ID:IFvk9atl(1/2) AAS
>>760
>Cyclotomic polynomial
>Φ22＝x^10 -x^9 +x^8 -x^7 +x^6 -x^5 +x^4 -x^3 +x^2 -x +1
>が、既約ではなく可約で、
> >>758の二つの式に因数分解できる？
>確認してないけど
ここ、笑うとこ？
どうせなら、素数pの場合のΦpとΦ2p、見比べてなんか気付けよw
763(2): 2022/12/15(木)12:44 ID:UwjoSSML(1) AAS
多項式の規約判定方法も知らんの？
ほんとにガロア理論スレ？
764(1): 2022/12/15(木)13:01 ID:IFvk9atl(2/2) AAS
>>763
1は何も知らんよ
765(1): 2022/12/15(木)14:26 ID:VHHzYaPG(1) AAS
>>752
アティヤとその子供たちが芽吹くったのもあるし
日本の佐藤スクールよりも広い意味で化石文系が
766(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)16:29 ID:YwputiFG(3/3) AAS
>>759-760 大訂正
大外しでした
もとい
１）22等分の円周等分を考えて、x^22-1＝0
ここで、自明な根が、二つx=1,i
２）従って、x^22-1＝(x-1)(x-i)g(x)
と因数分解できる
g(x)は20次の（相反の）多項式
３）そして、多分
g(x)=g1(x)・g2(x)
省13
767(1): 2022/12/15(木)16:45 ID:rFvliE9e(3/3) AAS
iだけが解になる違和感
768(2): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)19:54 ID:eN8xOiy4(4/8) AAS
>>766
>22等分の円周等分を考えて、x^22-1＝0
>ここで、自明な根が、二つx=1,i
壱 iは根ではない i^22=i^2=-1 -1-1=-2
>従って、
>x^22-1＝(x-1)(x-i)g(x)
>と因数分解できる
>g(x)は20次の（相反の）多項式
弐 正しくは-1が根である
したがって
省32
769: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)20:42 ID:hn13nMmQ(3/5) AAS
>>767-768
スマン
ご指摘ありがとう
その指摘は正しい
よって、>>766を書き直し下記
１）22等分の円周等分を考えて、x^22-1＝0
ここで、自明な根が、二つx=1,-1
２）従って、x^22-1＝(x-1)(x+1)g(x)
と因数分解できる
g(x)は20次の（相反の）多項式
省15
770(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)20:47 ID:hn13nMmQ(4/5) AAS
>>768
>肆 正確には 2t=x+1/x
ありがとう
そこ
2t=x+1/xと
t=x+1/xと
両方ありだろう
どちらの式が、
あとの式の係数の計算が楽になるか
だけだろう
771(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/15(木)21:15 ID:hn13nMmQ(5/5) AAS
>>749
> >>736より
>”5）なので再度問う
> 「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
> 6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）”
戻るよ
１）(参考)>>698より
外部ﾘﾝｸ:www.beret.co.jp
ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全 2013
省30
772: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)21:17 ID:eN8xOiy4(5/8) AAS
>>770
>そこ
>2t=x+1/xと
>t=x+1/xと
>両方ありだろう
「両方とも、方程式のガロア群が巡回群になる」という意味なら正しいが
「どっちでも、同じ方程式になる」という意味なら誤り
粗雑な言葉遣いは誤りを産む 即刻正せ
773(1): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)21:42 ID:eN8xOiy4(6/8) AAS
>>771
＞(参考)
＞外部ﾘﾝｸ:www.beret.co.jp
＞ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全 2013
＞外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.beret.co.jp
読むなら、>>744で指摘した通り、以下の箇所
第6章 「根号で表す」
1 1のn乗根をベキ根で表す･･･････････････････････････････････････････････････････････412
＞定理 6.9 累ベキ根拡大体のガロア閉包（これ多分クンマー理論相当だろう）
＞（中略）
省26
774: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)21:57 ID:eN8xOiy4(7/8) AAS
解を表す式の中に５乗根が現れるからといって
最小分解体の中に５乗根が含まれるわけではない
１のベキ根をζとしたとき Q(ζ+(1/ζ))の中にはζは含まれない
なぜならζ+(1/ζ)は実数だから
Q(ζ+(1/ζ))は、Q(ζ)の部分体ではあるが、Q(ζ)そのものではない
775: 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/15(木)22:25 ID:eN8xOiy4(8/8) AAS
>>773
＞クンマーは一旦、完全に忘れろ
とはいえ、ラグランジュのリゾルベントは１のベキ根を導入してるから
「Q上で考えてないじゃん、円分拡大してんじゃん」と言われても仕方ないし
「ベキ根とってんじゃん、実質クンマー拡大じゃん」と言われても仕方ないが
ただ、円分拡大体の巡回拡大を、Qの巡回拡大に「縮小」できる場合は、
最初っから円分拡大の枠内で考えたほうがいいんじゃね？というのはある
776(2): 2022/12/16(金)00:48 ID:xj8WWQAR(1) AAS
リー群で二重被覆表現（スピン）が出てくることがあるけれども、
代数函数のリーマン面のように、三重被覆とか四重被覆とか
五重被覆が出てこない理由をだれか簡単に説明してもらえないだろうか？
777(2): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/16(金)05:21 ID:qsccuf5Z(1/5) AAS
いかん、全てわかってしまった・・・
ガロアはｎ次方程式f(x)=(x-θ_[0])･･･(x-θ_[n-1])を
c0θ_[0]+･･･+c1θ_[n-1]と、根θ[i]の置換で得られる
ｎ！個の数σ[ｊ]を根とする方程式
g(X)=(X-σ[0])･･･(X-σ[n!-1])
に蹴り上げた（g(X)が既約ならガロア群はn次対称群だろう）
一方、根θ[i]が巡回置換するなら、ラグランジュの分解式
θ_[0]+ζθ[1]+･･･+ζ^(n-1)θ_[n-1]とその巡回置換
ζ^i(θ_[0]+ζθ[1]+･･･+ζ^(n-1)θ_[n-1])を根とする方程式は
X^n-(θ_[0]+ζθ[1]+･･･+ζ^(n-1)θ_[n-1])^n=0となりベキ根で解ける、
省7
778: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)08:26 ID:5lN5KQGq(1/7) AAS
>>776
無理
多分5ｃｈでは無理
おしえてgooか、yahoo知恵袋へ投稿が良いんじゃね？
投稿したらおしえて下さい。
779(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/16(金)08:32 ID:5lN5KQGq(2/7) AAS
>>777
そうだろｗ
1）円分拡大とクンマー拡大とは矛盾しない
2）というか、クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
3）ガロア群の位数5と、クンマー拡大の次元5は関連している。これは既約方程式で5次であることとも関連している
4）円分拡大とクンマー拡大と全部合わせて、ガロア理論
このあらすじが、分かってないね
780(6): 2022/12/16(金)09:57 ID:2jW05cQt(1/9) AAS
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
「円分拡大=クンマー拡大K=k(a^{1/n})のa=1のとき」ではない！
>ガロア群の位数5と、クンマー拡大の次元5は関連している。これは既約方程式で5次であることとも関連している
出た！数学ワカランチンがよく言うワード「関連している」ｗ
だからさ、数学は「連想ゲーム」じゃないんだよ。
「関連している」なら誰でも言えるが、数学ワカランチンが言う場合は
「何も分かってない」ときのフラグである場合が多い。
>このあらすじが、分かってないね
省2
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