[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）7 (1002ﾚｽ)
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1(12): 2021/04/18(日)11:06 ID:0Dh4aVIp(1/2) AAS
クレレ誌：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して
新スレを立てる（＾＾；
＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）6
2chｽﾚ:math
省16
2(18): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/18(日)11:08 ID:0Dh4aVIp(2/2) AAS
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」外部ﾘﾝｸ:textream.yahoo.co.jp 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 双曲面
二葉双曲面 ：画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
おサル、あいつは 双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）
可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ＊）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾
注＊）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり〜！（＾＾；
省5
3(6): 2021/04/18(日)23:16 ID:p6YzeXU0(1) AAS
有限と無限の区別が付かないあなたには純粋数学も応用数学も無理ですね
あなたに手に負えるのは算数までです
4(3): ID:1lEWVa2s 2021/04/19(月)14:28 ID:eZ2hVlO9(1) AAS
こんにちは。おじゃまします。
5(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/19(月)23:49 ID:fsi/ILI7(1/4) AAS
>>3
ほいよ
レーヴェンハイム?スコーレムの定理：
”定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す”
嫁め
Twitterﾘﾝｸ:olb52ow00eP05RZ
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
正確な記述
この定理は、上の箇条書きされた部分に対応して2つに分割されることが多い。ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
省6
18(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/20(火)20:19 ID:CT0jWesX(3/7) AAS
まあ、半年くらい晒しものにしてから
下記のガロア資料スレで、まな板にのせて、料理するのも面白いかもなｗ（＾＾
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
2chｽﾚ:math
19(13): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/20(火)20:28 ID:CT0jWesX(4/7) AAS
>>18
おサルさんが
こっそり、改ざん修正できないように
スナップショットを貼っておくよ（＾＾；
＜スナップショット＞
外部ﾘﾝｸ:mara.hatenablog.jp
”雑談 ◆yH25M02vWFhP”を語る 5ch数学板の”名物男”について語る
2021-04-18
ガロア理論について一般人が知っとけばいいこと
雑談君はガロア理論に大変ご執心で、１０年もの間、
省21
20(8): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/20(火)20:28 ID:CT0jWesX(5/7) AAS
>>19
つづき
解の存在
６．代数方程式は必ず複素数の解をもつ。
方程式がｎ次なら、重複も含めて(※)ｎ個の解をもつ。
（代数学の基本定理 Ｃ．Ｆ．ガウス）
代数学の基本定理 - Wikipedia
※重複を含めて、というのは同じ解が複数個あることを含めて、という意味
(ベキ根以外の方法を用いた）解の公式
７．ベキ根だけではなく他の関数(※)を使えば
省11
38(3): 2021/04/21(水)06:13 ID:MMq5Pqhl(2/2) AAS
>>15
ID:kDwifQDr、千葉逸人をバカにするとは他人の実力を正確に判断出来ていない。
千葉は瀬田君と同じ工学部出身だけど、ピエロを演じているように見える千葉と、瀬田君とは全く実力が違う。
40(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/21(水)07:07 ID:cmYNW1zZ(2/10) AAS
>>19 追加
>ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
>一般人が知っとけばいいことを列挙する。
ここ、理学部数学科を卒業した人を、特別扱いするアホな発想
例えば、下記東工大 物理数学特論 現代物理学を学ぶために必要な数学の諸分野の講義を見よ
「群論」が最初。「群論」くらいは、いまどき普通だよ。物理に限らん。この「群論」に決定的な影響を与えたのがガロア先生だよ（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ[php]:www.ocw.titech.ac.jp
東工大
2017年度 物理数学特論 Advanced Applied Mathematics for Physicists
省18
48(3): 2021/04/21(水)11:09 ID:t51z4+LK(2/5) AAS
>>46
勉強まではいかないが
昔っから、固体の欠陥の応力を多様体として扱う考えがあるよ
例えば下記など。英文だともっといろいろあるだろう
読んだけど、むずかった記憶ある（＾＾
外部ﾘﾝｸ:tohoku.repo.nii.ac.jp
外部ﾘﾝｸ:tohoku.repo.nii.ac.jp
欠陥をもつ材料多様体の幾何学
Geometry of Materials Manifolds with Defects
著者井上 和俊
省4
53(4): 2021/04/21(水)16:40 ID:t51z4+LK(4/5) AAS
>>47
現代数学の抽象化は、ガロア理論の群論から発しているのです（＾＾
そして、数学のみならず物理などにも大きな影響を与えたのです（下記）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
エヴァリスト・ガロア
数学的業績
数学者として10代のうちにガロア理論の構成要素である体論や群論の先見的な研究を行った。
群論は数学の分野において重要であるだけでなく、数学以外、例えば物理学では相対性理論や量子力学などを厳密に（形式的に）記述するツールとして用いられる。また、計算機科学、特に理論計算機科学においてガロア体、特に位数2のガロア体 F2 は最も多用される数学的ツールのひとつである。
このように代数学で重要な役割を果たすガロア理論は、現代数学の扉を開くとともに、20世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えている。しかし、ガロアの業績の真実と重要性、先見性は当時世界最高の研究機関であったパリ科学アカデミーを初め、カール・ガウスやオーギュスタン・コーシー、カール・ヤコビと言った歴史に名を残した同時代の大数学者達にさえ理解されず、生前に評価されることはなかった[1]。群論の基礎概念とも言える集合論がゲオルク・カントールによって提唱され、ガロア理論へと通じる数学領域が構築されるのでさえ、ガロアによるガロア理論構築の50年も後のことである。
外部ﾘﾝｸ:hiroyukikojima.はてなブログcom/entry/20110404/1301921889
省9
64(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/21(水)20:52 ID:cmYNW1zZ(5/10) AAS
>>53
>現代数学の抽象化は、ガロア理論の群論から発しているのです（＾＾
>そして、数学のみならず物理などにも大きな影響を与えたのです（下記）
山上 敦士先生も同じことを書いていますね（下記）（＾＾
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kyoto-su.ac.jp
京都産業大学
ガロアが広げた数学の自由 ?革命を志した青年が起こした数学上の一大革命?
理学部 数理科学科 山上 敦士准教授
ガロアは二月革命によって樹立する第二共和制（1848年成立）を見ることなく、わずか20歳で若い命を失いました。しかしながら、彼は数学の世界では大革命ともいえる業績を残したのです。ガロアが残した成果の一端について山上先生にご紹介いただきました。
16世紀以降の代数を研究する数学者にとって、5次以上の方程式を解く公式の発見は大きな関心事となっていました。4次までの方程式には解の公式があるわけですから、5次以上の方程式にも解の公式があるに違いない、と多くの数学者は考えていました。
省5
71(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/21(水)23:51 ID:cmYNW1zZ(9/10) AAS
>>64 追加
外部ﾘﾝｸ:edo.repo.nii.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:core.ac.uk
〔論 文〕江戸川大学学術リポジトリ 江戸川大学の情報教育と環境Informatio Vol.8 2011
システムと対称性
江戸川大学 メディアコミュニケーション学部 情報文化学科 石 田 義 明
2. ガロア群 (3)
5 次方程式の代数解が存在しないと主張したの
はルッフィーニが最初であった。証明できたと主
張したが結局認められなかった。しかし解が存在
省21
73(4): 2021/04/22(木)04:23 ID:lyrkZdNK(1) AAS
>>61
中身読んだけど、それは時間的には比較的現在に近い年度に日本語で書かれた論説であって論文ではない。
有限次元の力学系を一般化して無限次元のバナッハ空間内で
系統的に考え易い或る種の常微分方程式系を使って考えているようだ。
詳しいことはその論説を書いた千葉本人に聞いた方がいい。
86(3): 2021/04/22(木)09:57 ID:YaFJeE+6(1/6) AAS
>>73
業績は分からないけど教授だから千葉は偉い、ということだろ
>>74
関係ない
87(3): 2021/04/22(木)10:02 ID:YaFJeE+6(2/6) AAS
>>73
分かってないなｗ
>有限次元の力学系を一般化して無限次元のバナッハ空間内で
>系統的に考え易い或る種の常微分方程式系を使って考えているようだ。
89(3): 2021/04/22(木)10:28 ID:YaFJeE+6(3/6) AAS
>>73
おっちゃん乙
97(3): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2021/04/22(木)11:49 ID:O8oEUctc(11/20) AAS
>>93
＞「おれは分かっている。」
とはいってないよ 幻聴？ｗ
まあ、強いて言えば
「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど
キミは自分が何を分かってないかも分かってないよね」
というところかｗｗｗ
無限については何の反論もないが、
間違いを認めたってことね？
省2
100(3): 2021/04/22(木)11:58 ID:vdlEE9Fq(4/6) AAS
>>97
なんでおれが、バカおサルの相手をｗｗｗ（＾＾
おサルと無限論争だぁ？？
おまえみたいなバカ相手してくれるのは、哀れな素人氏くらいだよｗ
隔離スレに帰って、相手してもらえｗｗｗ（＾＾；
122(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/22(木)20:28 ID:v13C/uMH(4/6) AAS
>>97
(引用開始)
＞「おれは分かっている。」
とはいってないよ 幻聴？ｗ
まあ、強いて言えば
「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど
キミは自分が何を分かってないかも分かってないよね」
というところかｗｗｗ
(引用終り)
サイコパスおサル（>>2ご参照）よ
省16
172(4): 2021/04/23(金)13:26 ID:ht113zwk(21/42) AAS
それにしても
雑談君の誤り -無限に関して-
外部ﾘﾝｸ:mara.hatenablog.jp
には何も言い返せないんだね・・・
178(5): 2021/04/23(金)13:31 ID:ht113zwk(27/42) AAS
>>177
■誤りの解説
実は･･･{{･･･{ }･･･}}･･･ はシングルトンではない。
なぜなら、一番外側の{}が存在しないから。
したがって何が要素か示せない。
つまり集合ですらない。
181(3): 2021/04/23(金)13:51 ID:7/cTHl4v(8/12) AAS
>>170
>ガロア理論の革命性と数学史上のインパクトの大きさが、全く理解できていないね、おサルは
＜補足＞ちょっと古いが「ガロア理とその応用」
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.saiensu.co.jp
数理科学 NO.557, NOVEMBER 2009
「数理学」は語る
30年前から現代へのメッセージ
彌永 健一 （いやなが・けんいち、東京海洋大学名誉教授)
1979年11月号 特集 ガロア理とその応用
中学生の頃だったか、父(鹿永昌吉)の本棚にあったインフェルトの「ガロアの生涯神々の愛でし人」特集 ガロア理とその応用(市井三郎訳,日本評論社)を見て,表紙にあったガロアの愁いを帯びた表情に惹かれて読みふけった。
省6
200(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/23(金)20:59 ID:oCy5mF1U(3/3) AAS
>>197
(引用開始)
「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから
シングルトンとして構成できた場合
その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず
したがって矛盾する」
(引用終り)
おサルさんさ
”無限”なんてのは、ある程度抽象的な思念の産物なのよ
そして、ある性質で、有限の集合とは全く違う性質を持っていてもなんら矛盾ではない
省13
205(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/24(土)07:18 ID:3QgtzVYs(1/13) AAS
>>200
>（一番外側の{}が存在するようにしたければ、それくらいのことは簡単に実現できるしね（考えてみて（＾＾； ））
おサルさん、下記の自分の発言忘れた？
(>>11より)
11 名前：哀れな素人[] 投稿日：2021/04/20(火) 08:49:16.87 ID:o1SCGAb/
スレ主よ、サル石が、
定義すれば存在する、と書いたから、
では火星人を定義したら火星人は存在するのか、と質問してやったら、
>数学上で火星人を定義すれば数学上に火星人は存在する
という珍レスを書いてきた(笑
省18
214(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/24(土)13:56 ID:3QgtzVYs(3/13) AAS
>>207
おサルは、前に（旧ガロアすれで）教えたのに、
また同じところで間違えるｗ（＾＾
>上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。
・基礎の公理は、∈による無限降下列のみを禁止する。つまり、∈による無限上昇列は禁止していない
禁止しているのは、底なし沼のような、∈による無限降下列
・例えば、もしあったとして、・・・X-4∈X-3∈X-2∈X-1みたい無限降下列
あるいは、・・・x∈x∈x∈x みたいな無限降下列
・しかし、空集合Φ＝{} からスタートして、∈を使って自然数を作るうえで、無限上昇列はできるが、それは良いのだ
例えば、下記ノイマン構成で
省23
216(3): 2021/04/24(土)14:03 ID:pIXn4Z8N(5/9) AAS
>>214
>例えば、下記ノイマン構成で
>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>これは可だ
Nの一つ前の項を答えて下さい
242(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/24(土)19:52 ID:3QgtzVYs(9/13) AAS
>>219
(引用開始)
>>216
>>ノイマン構成で
>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>>（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>>これは可だ
> Nの一つ前の項を答えて下さい
そう、それ！
前にも雑談君に言ったけど
省13
246(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/24(土)23:02 ID:3QgtzVYs(10/13) AAS
>>208
>キミの考える「天地創造」では、有限集合しか定義できてない。
>つまり自然数の集合Ｎは存在しない
>これを存在させるには無限公理を設けるしかない
”無限公理を設けるしかない”は、”一階述語論理では”だな
（”レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる”（下記））
そして、基礎論ＺＦＣでは、一階述語論理を使う
だから、”無限公理を設けるしかない”
つまり空集合Φ＝{}から始めて、一階述語論理で無限集合をハッキリ証明するのは無理で（デデキントが失敗したらしい）、そのため無限公理が必要だと
でも、ちょっと思想が古い（20世紀）かな？
省14
248(3): 2021/04/24(土)23:10 ID:pIXn4Z8N(9/9) AAS
>>246
じゃあ無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて
249(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/24(土)23:49 ID:3QgtzVYs(12/13) AAS
>>221
>＞建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可（超限回）
>（超限回）がダメね。
>どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
>それが基礎の公理の真意。
あらら、恥ずかしいやつ
”どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
それが基礎の公理の真意。”
か、おサルはほんと基礎論弱いね〜（＾＾
そんなこと書いている本とか、どこにも無いよ
省22
256(3): 2021/04/25(日)04:47 ID:AklLPWy2(4/19) AAS
Nを自然数全体の集合としたとき、方程式 x∈N の解は自然数。
したがって、N∋x∋…∋1∋0 の形の列は有限列。
したがって、Nは正則性公理に適合する。
一方
>ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Ｎの全てを渡る)
なるωを仮に集合と見做すと、一番外側のカッコを外したものもω、つまりω={ω}だから、ω∋ω∋… なる無限下降列を持つ。
したがって正則性公理に違反する。
なんでこんな簡単なことが分からないの？ 脳に欠陥でもあるの？
263(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/25(日)08:58 ID:x2gQxWeE(2/20) AAS
>>257
>そうなんだよ 最後の”∈N”はない
>Nの前者が存在しないんだから
こいつら、ほんと学習しないね
旧ガロアすれでも書いてやったのに（＾＾
繰り返しだなｗ
下記「自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化はＮに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる」を味わって読んで下さい。ωを加える後も前もどちらも、Ｎは無限集合である（＾＾
複素平面の一点コンパクト化であるリーマン球面（下記）で、P (∞)で、あなた方のいう直前とか直後に類する点は存在しないよ
だが、球面と同相だよ！ 後述の実数直線のコンパクト化（円周 S1 と同相）に同じ（ここが分からんみたいだがｗ）
P (∞)の直前とか直後に類する点が存在しないから、”隙間”できるみたいにイメージしているようだね。それ間違いだよｗｗ（＾＾；
省9
270(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/25(日)10:07 ID:x2gQxWeE(5/20) AAS
>>249 追加
時枝氏の可算無限個の箱（下記）で
実数列の集合 R^N
s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N
から、加算無限長の自然数列
(1，2，3 ，・・・)∈N^N
を使って、ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成（下記）（特に加算多重シングルトン（>>205））を考えてみよう
1．可算無限個の箱の列 □1,□2,・・□n,・・ （ n∈N） を作る。nは全てのNを渡る。∵箱は可算無限
2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
3．両方を合わせて、・・□n,・・□2,□1 {} □1,□2,・・□n,・・ とできる（間に {}を置いた）
省15
271(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/25(日)10:08 ID:x2gQxWeE(6/20) AAS
>>270
つづき
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
2chｽﾚ:math
箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
（参考 ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省9
279(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/25(日)11:00 ID:x2gQxWeE(9/20) AAS
>>217 追加
(引用開始)
>ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
>「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
>（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
>ということを証明する理論としてしか認識されてないし
話は逆だろうな
1．Ｆラン数学科の講義では、
”ガロア理論については、
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
省22
283(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/25(日)11:30 ID:x2gQxWeE(13/20) AAS
>>215
>前者は最外層｛｝は存在しないので、集合ではありません
>後者は外層に無限個の｛｝が存在するので、基礎の公理に反し、集合ではありません
・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
（>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
・で、前者を{}に入れて｛前者｝とすれば、加算無限多重シングルトンになる
・なお、おサルの「基礎の公理」の理解不十分。「基礎の公理」は、ＺＦＣとして、基礎論の命題を証明するのに余計な集合を排除するためのもの（下記）です
・ＺＦＣの外では、つまり日常の数学では、必ずしも「基礎の公理」を必要としていないし、Aczelの反基礎公理（下記）などもある
・結局、ツェルメロの加算無限多重シングルトンの存在は否定できていないよ！（＾＾；
（参考）
省8
286(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/25(日)11:38 ID:x2gQxWeE(15/20) AAS
>>277
>＞「素数の全体はクラスとなる」？
>ええ、有限集合論ではね
意味わからん
素数の集合Ｐ（無限集合）をクラスする必要なんか、全くないよね
単に、無限集合として、有限集合論の外になるという理解で、
どんな不都合があるの？ｗｗｗ
それに、「有限集合論」ってなに？
確かに、無限を認めない有限主義の人いるけど
（確かに、プログラミングでは、コンピュータ内部は有限だけど、無限を認めない有限主義の人とは多分違うよね）
省2
316(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/26(月)07:45 ID:eT8TbUBw(1/6) AAS
>>283
>・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
> （>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
ここの説明が、下記英 Axiom of regularity wikipwedia にあるよ
つまり、”called non-standard natural numbers”を含む列は、基礎の公理には反しないと説明されているよ
当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of regularity
No infinite descending sequence of sets exists
省4
317(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/26(月)07:53 ID:eT8TbUBw(2/6) AAS
>>316 追加
さらに言えば、おサルの議論は、あたかも決定性公理を使って「非可測集合は存在しない」（下記）と言っているようなもの
決定性公理ではなく、フルの選択公理を使えば、「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれる（下記）
仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、
加算無限多重シングルトンの存在自身を否定したことに、はならんぜよっ！（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
決定性公理
決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性（英語版）を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分で非可算なる集合は実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。 選択公理からは「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれるが、この事実からも決定性公理と選択公理が相容れないことが分かる。
318(3): 哀れな素人 2021/04/26(月)07:54 ID:DG2WYw0z(1) AAS
スレ主よ、サル石と質問少年は
0.9、0.99、0.999、…という数列の極限値が1である理由さえ説明できずに逃げている（笑
まさに正真正銘のバカである（笑
僕は毎日毎日こんなドアホの相手をしているのだ（笑
お前だってサル石のようなドアホの相手をするのはもううんざりだろう（笑
本当に、何でこんなドアホが数学板にいるのだろうか（笑
353(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/27(火)08:21 ID:jO3oSLmV(2/4) AAS
>>326
>>仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、
>基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。
ほいよ、下記
”New Foundations has a universal set, so it is a non-well-founded set theory.[2]
That is to say, it is an axiomatic set theory that allows infinite descending chains of membership such as … xn ∈ xn-1 ∈ … ∈ x2 ∈ x1.”
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
New Foundations
New Foundations has a universal set, so it is a non-well-founded set theory.[2] That is to say, it is an axiomatic set theory that allows infinite descending chains of membership such as … xn ∈ xn-1 ∈ … ∈ x2 ∈ x1. It avoids Russell's paradox by permitting only stratifiable formulas to be defined using the axiom schema of comprehension. For instance x ∈ y is a stratifiable formula, but x ∈ x is not.
Contents
省7
357(3): 2021/04/27(火)11:15 ID:qnvLKhNB(1/5) AAS
>>356
>>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
>と書いてきた（笑
>ったくどうしようもないドアホだ（笑
哀れな素人さん、どうも。スレ主です
確かに、おサルはアホです
無限は、古代ギリシャ時代から、議論されてきました（下記）
数学でも、17世紀ごろから議論され、カントールの無限集合論が出来ました
アホがシッタカするから、ズッコケおサルになるのですねｗ（＾＾；
(参考)
省7
368(3): 2021/04/27(火)16:44 ID:qnvLKhNB(5/5) AAS
>>357
>>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
アホなおサルは、木から落ちるｗ
数学で、最大（max）と、sup（上限）の区別がついていないとは・・ｗｗ（＾＾；
Ｆラン数学科落ちこぼれｗｗｗ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:manabitimes.jp
高校数学の美しい物語
sup（上限）とinfの意味，maxとの違い
更新日時 2021/03/07
省18
373(5): 2021/04/28(水)11:07 ID:M3ow83Hg(1/10) AAS
>>369
>supは常に存在する
>はい、誤り
>この場合、「A が空でなく，上に有界なら」が必要条件です
>例えば、上に有界でなければ、もちろんsupは存在しません
まず
１．それ、”高校数学の美しい物語”さんの引用部分だから、”高校数学の美しい物語”さんに言ってやれよ
２．”高校数学の美しい物語”さんが、「supが存在する条件として「 A が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！」って書いているの ”sup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい（例えば高木貞治の解析概論）”
を見落としたのかな？（＾＾
>例 {1,2,3,…}
省14
376(7): 2021/04/28(水)11:46 ID:M3ow83Hg(4/10) AAS
>>370
>∞が自然数なら、∞＋１が存在し、∞＜∞＋１だからです。
>もし∞＝∞＋１なら、∞＝｛∞｝となり、基礎の公理と矛盾します。
そこ違うよ。下記拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ
あと、下記順序数をば、ご参照。∞としてノイマン構成の自然数の集合Ｎ（これは順序数ωでもあり、可算濃度?0の最小集合でもある）
で、下記ノイマン構成のＮの後者は、Ｓ(N)=N∪{N}={0,1,2,・・・,{N}} (ここにＮ={0,1,2,・・・}です)で、存在します
ここで、N→ωに置き換えれば、Ｓ(ω)で、これは存在します（下記の通り）
ω≠Ｓ(ω)ですし、さらにこの場合の無限列は、基礎の公理とは矛盾しませんよ（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省19
380(8): 2021/04/28(水)16:39 ID:M3ow83Hg(6/10) AAS
>>297
>> （>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
>誰も無限上昇列を禁止していない。実際 0∈1∈… が存在する。そうじゃなく「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている。
>一方、無限下降列は正則性公理で禁止されている。
おサルは、全然理解できていないな
１．無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になる）
２．つまり、ZFCでやりたいのは、無限の高層ビルみたいなこと（即ち無限上昇列（それ当たり前))で、禁止したいのは「底なし沼」のようなどこまでも下降する列だよ（「底なし沼」は不要だと）
３．下記のOrdinal numberのポンチ絵 画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers.
を見てください。自然数の0,1,2・・が並んだ後に最小のthe first infinite ordinal, ωが来て、ω+1, ω+2, ω+3・・とつづく
省8
383(3): 2021/04/28(水)16:40 ID:M3ow83Hg(9/10) AAS
>>382
つづき
（下記無限公理の説明で、 B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・}が無限列で、{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・}と無限上昇列になるよ（＾＾ ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A∧∀ x∈ A(x∪{x}∈ A))
解釈と帰結
省12
396(3): 2021/04/28(水)18:00 ID:NP+Si4Fb(14/14) AAS
スルーされそうなので再念押し
無限上昇列 0∈1∈…∈ω が存在すると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー
411(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)10:32 ID:ecMEGnwl(1/26) AAS
>>355 追加
基礎の公理は、下記”整礎関係：二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである”
と関係している
”集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである”
”帰納法と再帰：整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある”
モストフスキ崩壊補題というものがある。下記”クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる”
基礎の公理は、∈関係を、下記「反射的順序関係 ≦ を考える代わりに、整礎関係となる < を用いるということである」
つまり、基礎の公理は、∈関係で等号（＝）を認めないということ
なお、「X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
省10
414(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)10:35 ID:ecMEGnwl(4/26) AAS
>>413
つづき
例
整礎でない関係の例
・負整数全体 {-1, -2, -3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
その他の性質
(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
省9
421(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)11:09 ID:ecMEGnwl(11/26) AAS
>>414
＞このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。
下記レーヴェンハイム-スコーレムの定理より
「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」です
(”The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model”)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム-スコーレムの定理とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。
省6
428(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)12:05 ID:ecMEGnwl(13/26) AAS
>>421 補足
”近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある”のです（下記）
ところで、我々の日常の数学では、普通に二階述語論理を使っている、多分意識せずにね
一方、ＺＦＣは一階述語論理に限定されている
そこは、ちょっと意識しておく必要があるだろう
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
二階述語論理（にかいじゅつごろんり、英: second-order predicate logic）あるいは単に二階論理（にかいろんり、英: second-order logic）は、一階述語論理を拡張した論理体系であり、一階述語論理自体も命題論理を拡張したものである[1]。二階述語論理もさらに高階述語論理や型理論に拡張される。
一階述語論理と同様に議論領域（ドメイン）の考え方を使う。ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。例えば、一階の論理式 ∀x (x ≠ x + 1) では、変項 x は任意の個体を表す。二階述語論理は個体の集合を変項の値とし、量化することができる。例えば、二階の論理式 ∀S ∀x (x ∈ S ∨ x ? S) は、個体の全ての集合 S と全ての個体 x について、x が S に属するか、あるいは属さないかのどちらかであるということを主張している。最も一般化された二階述語論理は関数の量化をする変項も含んでいる（詳しくは後述）。
省5
432(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)12:29 ID:ecMEGnwl(15/26) AAS
>>411 補足
>基礎の公理は、下記”整礎関係：二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである”
(>>270-270より再録)
1．可算無限個の箱の列 □1,□2,・・□n,・・ （ n∈N） を作る。nは全てのNを渡る。∵箱は可算無限
2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
3．両方を合わせて、・・□n,・・□2,□1 {} □1,□2,・・□n,・・ とできる（間に {}を置いた）
4．左の箱を"{"で、右の箱を"}"で置換すると
・・{n,・・{2,{1 {} }1,}2,・・}n,・・ とできる
5．添え字と”,”（カンマ）を取ると
・・{・・{{{}}}・・}・・ とできる。明らかに{}が、加算多重になっている
省26
434(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)12:42 ID:ecMEGnwl(16/26) AAS
>>432 追加
(引用開始)
ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで
明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
この極限としてlim n→∞ を考えれば、加算無限シングルトンになる
これは、当然基礎の公理に反しない上昇無限列である
(引用終り)
この上昇無限列は、ノイマン構成でそのまま成り立つ
省15
443(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)13:50 ID:ecMEGnwl(17/26) AAS
>>434
(引用開始)
この上昇無限列は、ノイマン構成でそのまま成り立つ
つまり、ノイマン構成で
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
ノイマン構成で、自然数の集合Ｎができる。これは、極限順序数ωでもあり、加算無限濃度”ｱﾚﾌ0”の最小集合でもある
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωとできる。下記の通りです（＾＾；
(引用終り)
省14
460(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/04/29(木)18:45 ID:ecMEGnwl(25/26) AAS
>>443 補足
1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω ：カントールの順序数(>>434など)
↓↑ 全単射（モストウスキーの崩壊補題>>414 ＊））
2） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当＊＊）（>>376など）
↓↑ 全単射 （自明（＾＾ ）
3） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ツェルメロのシングルトン順序数（>>432 >>434など）
注＊）「クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる」>>414
＊＊）ノイマン構成では、ここまでは、基数と順序数が一致する
補足の補足
・”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”が、基礎の公理（正則性公理）に反するだと？ バカか！！ｗ
省3
471(5): 2021/04/30(金)07:53 ID:QX/IuPKl(2/3) AAS
>>464
>*) s(x)=x∪{x}だけでは、ωが定義できない（これ豆なｗ）
> ωは、{}∈ω かつ x∈ωならばx∪{x}∈ωを満たす最小の集合
>>”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”（ノイマン）が成り立てば
>上記は式が間違ってるので成り立たないｗ
あらら、わざと”（モストウスキーの崩壊補題>>414 ＊））”（>>460）
と
”注＊）「クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる」>>414”（>>460）
とを消す改ざん引用を、したのか？（＾＾；
おぬし、分かっているじゃんｗ（＾＾
省12
473(3): M ◆y7fKJ8VsjM 2021/04/30(金)08:14 ID:OJUi+u3R(1/5) AAS
>>470 集合論の基礎も分かってない雑談君は読んでも無駄
>>471 モストフスキ？関係ないよ 素人の君にはｗ
>そもそも、
>”1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω ：カントールの順序数”
>では、無限公理はないよ！
そもそも、無限公理ガーとかいう以前に
”0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω”は
”＜ω”の左を”・・”で誤魔化してる時点で無意味だよ
”n＜ω”とはっきり＜の左側の項を書かないから
雑談君はパクチー🐎🦌野郎から抜け出せないんだよｗｗｗ
省11
474(3): 2021/04/30(金)13:10 ID:t7APcq6s(1/2) AAS
>>472
> 0.17458910427754693…の極限値は何か、と質問してやったら
> 0.17458910427754693…だと答えた（笑
>まったくどうしようもないドアホである（笑
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
全く同意です。アホです
>>473で、おサル
「そもそも、無限公理ガーとかいう以前に
”0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω”は
省6
486(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)10:07 ID:4gUFX+vb(1/30) AAS
>>482
私は、名前の議論はしない。だれか、他人の第三者に迷惑をかけるとも限らないからね
それはさておき、”数学Dr. Prussだって認めたぞ？
What we have then is this: For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the "independently" here
isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n-1)/n. That's right.”
は違うよ
その話は、スレチだが下記な
箱入り無数目を語る部屋
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
省11
487(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)10:08 ID:4gUFX+vb(2/30) AAS
>>486
つづき
さらに、”if i is chosen uniformly independently”とあるところにご注目
これ、外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
Pruss氏の12回答本文の
”Let's go back to the riddle. Suppose u^→ is chosen randomly. The most natural option is that it is a nontrivial i.i.d. sequence (uk), independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}. In general, Mj will be nonmeasurable (one can prove this in at least some cases). We likewise have no reason to think that M is measurable. But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.”
を再度強調している部分ですよ
”uniformly”の部分は、明らかに ”independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}”のところを、短く言い直しています
そして、本文にあるように、もし、” M is measurable”なら、問題の戦略は正しいが、
実際は”But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.”ってことです
省8
492(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)10:58 ID:4gUFX+vb(5/30) AAS
>>491
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ゼノンのパラドックス
アキレスと亀
「走ることの最も遅いものですら最も速いものによって決して追い着かれないであろう。追うものは、追い着く以前に、逃げるものが走りはじめた点に着かなければならず、したがって、より遅いものは常にいくらかずつ先んじていなければならないからである、という議論である」[8]。
あるところにアキレスと亀がいて、2人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らか[10]なので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点（地点Aとする）からスタートすることとなった。
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。
(引用終り)
さて、前振りはこの程度にして
省16
496(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)11:25 ID:4gUFX+vb(8/30) AAS
>>476 追加
(引用開始)
>>471の小野 寛晰氏（下記）の冒頭、Peano公理のA7で、一階述語論理と二階述語論理と
この二つについて説明している通りじゃんかｗ
二階述語論理を使えば、
自然数の集合Nが定義できると、説明されている通りですよ（＾＾；
（参考）
（>>471より）
外部ﾘﾝｸ:ipsj.ixsq.nii.ac.jp
数理論理学（2）
省14
503(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)13:17 ID:4gUFX+vb(10/30) AAS
>>497
>> ＜も、∈も、その左右に項を書くことで初めて意味を持つ
>> ･･･＜ωとか、･･･∈ωとかいう誤魔化しをやったら、トンデモ数学になるよｗ
>独自説だよ、それｗ（＾＾
> 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
> 拡大実数
拡大実数は、単に一例にすぎない
現代数学が、整列集合（下記）などにおいて
有限集合しか扱えないと思っている人がいるなら
その人の名は、Ｆラン数学科落ちこぼれのおサルさんだなｗｗ（＾＾；
省14
514(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)18:16 ID:4gUFX+vb(17/30) AAS
>>513
つづき
さて
ノイマンの自然数構成では、自然数の集合Ｎ＝ω（＝ｱﾚﾌ0） である（下記より）
ω + 1 : N ∪ {N}＝ {0, 1, 2, ・ ・ ・, {N}(=ω) }
Ｎは、普通の順序”＜”で、整列集合（＝「すべての空でない部分集合が最小元をもつ」）であり
ω + 1 : N ∪ {N}もまた、整列集合である
外部ﾘﾝｸ:penguinitis.g1.xrea.com
PENGUINITIS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:penguinitis.g1.xrea.com
省12
526(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)20:17 ID:4gUFX+vb(21/30) AAS
>>514 追加
ほいよ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:fujidig.github.io
でぃぐのページ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fujidig.github.io
濃度と順序数
June 21, 2016
Ｐ20
順序数というのは自然数が持つ「番号
を振る」という目的を無限方向に拡張
省10
530(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/01(土)20:47 ID:4gUFX+vb(23/30) AAS
>>529
つづき
外部ﾘﾝｸ[pdf]:eurekagap.up.seesaa.net
強制法入門
Eureka GAP
2017 年 5 月 5 日
Ｐ2
1.2 順序数と基数
Ｐ3
ここで，無限公理と内包性公理を用いると，自然数全体の集合が存在が言えます．自然数全体の集合もまた
省13
546(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/02(日)08:47 ID:NgorxVt/(1/12) AAS
>>540
追加の追加
外部ﾘﾝｸ[pdf]:tenasaku.com
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル
藤田 博司
(愛媛大学 理学部)
2007 年数学基礎論サマースクール
静岡大学にて 2007 年 9 月 4 日〜7 日
Ｐ3
1.2 ルベーグ測度
省16
567(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/02(日)20:16 ID:NgorxVt/(11/12) AAS
再度念押し（＾＾；
（>>263より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト化
コンパクト化（英: compactification）は数学の一分野である位相空間論(英: general topology)の概念である。
一点コンパクト化の例
・n次元ユークリッド空間 Ｒ^n の一点コンパクト化は、n次元球面S^nと同相である。特にリーマン球面^Cは複素平面Cの一点コンパクト化として与えられる。
画像ﾘﾝｸ[jpg]:upload.wikimedia.org
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である。
・自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化はＮに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる。
省21
577(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/03(月)10:50 ID:zlBH6lY9(3/13) AAS
>>576
おサルは、全く基礎論に弱いねぇ〜ｗ（＾＾
確かに、Zermeloの無限集合の構成下記”this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….”
は、批判された
そして、下記、”3.2.3 Cardinality”、”3.2.3 Cardinality”など
そこで、ノイマンの理論が出た
だが、それと、加算無限シングルトンの非存在とは、全く別物の議論だよ
加算無限シングルトン ω＝{{・・{・・ {} ・・}・・}} の存在を否定することはできない！！
>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ（＾＾
省16
598(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/03(月)23:45 ID:zlBH6lY9(12/13) AAS
おサルが二匹か
>>596 より
1．「１．0<1<2<3<･･･
と１つづつ上がっていく<上昇列は、決してωに到達しない」
これ違うよ、>>496に書いた通りだよ
「（>>471より）
外部ﾘﾝｸ:ipsj.ixsq.nii.ac.jp
数理論理学（2）
小野 寛晰
(引用終り)
省14
599(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/03(月)23:45 ID:zlBH6lY9(13/13) AAS
>>593
(引用開始)
>>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
>それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ（＾＾
ナイーブな質問にすら答えられないなら間違いですね。
(引用終り)
幼稚な議論だな
集合論で、有限集合の場合には、要素の列挙とか
カッコ｛｝の存在を語ることができるけれども
無限集合とくに、連続無限ω1や、その上2＾ω1 レベルになると
省3
607(4): 哀れな素人 2021/05/04(火)08:17 ID:3BepwyRA(1) AAS
スレ主よ、サル石によれば、
無限小という最小の正の実数
直線の辺の数が２で角の数が２の二角形
最大の自然数∞
最大の正の実数∞
が存在するそうだ（笑
定義すれば存在するそうだ（笑
ナンセンスだが存在するそうだ（笑
ほとんど白痴である（笑
616(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/04(火)10:39 ID:9rs/mxrl(2/9) AAS
>>599 補足
(引用開始)幼稚な議論だな
集合論で、有限集合の場合には、要素の列挙とか
カッコ｛｝の存在を語ることができるけれども
無限集合とくに、連続無限ω1や、その上2＾ω1 レベルになると
要素の列挙とかカッコ｛｝の存在云々などは、議論にならなくなる
議論のレベルが低すぎる
(引用終り)
例えば、
問1．実数の超越数の集合（C＼Aの実数部分。Cは複素数、Aは代数的数） を、ZFC中で空集合｛｝から構成してみせよ
省23
619(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/04(火)11:05 ID:9rs/mxrl(4/9) AAS
>>616 補足
(引用開始)
問1．実数の超越数の集合（C＼Aの実数部分。Cは複素数、Aは代数的数） を、ZFC中で空集合｛｝から構成してみせよ
（実数の超越数の集合の元を、ZFC中で空集合｛｝から構成せよ ）
問2．複素関数で、解析関数のクラス C^ωを、ZFC中で空集合｛｝から構成してみせよ
（解析関数のクラス C^ωの元を、ZFC中で空集合｛｝から構成せよ ）
(引用終り)
1．もし、これがZFCでなく、普通の日常数学なら簡単な話だ
問1は、カントール先生がやった通りです。>>616の連続体濃度 wikipediaの説明にある通りです
つまり、無限小数展開を考えれば良い。それで、実数Rが構成できたら、代数的数Aを定義して、R＼Aを作れば良い
省19
634(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/04(火)20:18 ID:9rs/mxrl(8/9) AAS
>>625
>一番外側のカッコが無ければ集合でないことは中学生でも知ってます。
じゃ、いま一つの超越数αがあるとする
おサルは、数は集合だと言ったろ？
だったら、超越数αを、空集合｛｝から表現してみてよ（>>619ご参照）
一番外側のカッコがつくようにして
但し、その表現で、きちんと「αは超越数である」ということが分かるようにね
それが出来たら、あんたの実力を認めるが、まあ出来ないだろうね、あんたには（＾＾
おれはさ、超越数αを、「空集合｛｝から始めて一番外側のカッコがつくように」具体的に表現するなんて必要はさらさらないと思うよ
”一番外側のカッコ”なんてのは、せいぜい自然数までの話だよ
省6
642(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/05(水)04:08 ID:y5eNPUM/(1/6) AAS
>>641
おサルは、基礎論弱いね
下記小野先生（>>496）Ｐ821 右欄に、Lowenheim-Skolem とコンパクト性定理の話が書いてあるだろ？
（一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない）
ここ（下記）が理解できないみたいだね（＾＾
(引用開始)
>同様に、可算無限多重シングルトンを、有限シングルトンの極限（可算無限 lim ｎ→∞）として定義すれば良いだけのこと
未だ分かってないのかｗ
{}, {{}}, {{{}}}, … は収束しませんｗ よって極限はありませんｗ
よってあなたの定義はwell-definedではありませんｗ
省9
643(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/05(水)04:09 ID:y5eNPUM/(2/6) AAS
>>642
つづき
(引用開始)
wikipediaより引用
（定義で）示された表式が成立しない場合[注釈 2]、well-definedであるとは言えない。
例えば極限値を用いた定義で、そもそも極限が存在しない場合など[3]。
↑
まさにこれそのものじゃんｗ ばーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーか
(引用終り)
数学では、そういう場合でも、拡大実数として∞を導入することはできるぜ。定義の問題じゃん！ｗ（＾＾
省12
667(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/06(木)07:06 ID:7p5uf5fw(1/7) AAS
>>643 補足
>カッコなんて、単なる形式で良いんだよ、現代数学ではｗ
>要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
下記（山上滋 名大）「（ノイマン 自然数）しかし、これは、落ち着いて考えてみると、Φ の記号を取り囲む括弧の数を数えているに過ぎないのであって、当然といえば当然のことである。」
同様下記（Axiom of infinity）" The count of elements in each set, at the top level, is the same as the represented natural number, and the nesting depth of the most deeply nested empty set {}, including its nesting in the set that represents the number of which it is a part,"
要するに、ノイマンの自然数の集合Ｎが出来上がったとき
Ｎは無限集合だが、同時に「Φ の記号を取り囲む括弧の数」（山上滋）
（あるいは”the nesting depth of the most deeply nested empty set {}”（Axiom of infinity））
は、可算無限である
下記（山上滋）「Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .」で、この列は有限であってはならない！
省18
668(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/06(木)07:07 ID:7p5uf5fw(2/7) AAS
>>667
つづき
これらを順次自然数 0, 1, 2, . . . に対応させることで、無（空集合）から自
然数が構成できるとした。が、しかし、これは、落ち着いて考えてみると、Φ の記号を取り囲む括弧の数を数
えているに過ぎないのであって、当然といえば当然のことである。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity
In axiomatic set theory and the branches of mathematics and philosophy that use it, the axiom of infinity is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory. It guarantees the existence of at least one infinite set, namely a set containing the natural numbers. It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.[1]
Formal statement
In the formal language of the Zermelo?Fraenkel axioms, the axiom reads:
省11
681(4): 2021/05/06(木)17:21 ID:lpTNl9Nr(1/2) AAS
>>667 補足
山上 滋先生（名大）下記問 19が面白いと思った（＾＾；
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.nagoya-u.ac.jp
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ13-14
集合 X に対して、そのすべての部分集合から成る集合を X の冪集合 (power set) と言い、P(X) あるい
は 2^X という記号で表わす。
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
省2
689(4): 2021/05/07(金)02:10 ID:WstQquuB(1/14) AAS
>・ノイマンのωについて
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
[証明]
ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
step1
{}∈ω
と
{}⊂ω ∴{}∈2^ω
から
省19
703(5): 2021/05/07(金)10:56 ID:fxp4/vEr(1/4) AAS
>>689
(引用開始)
>・ノイマンのωについて
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
(引用終り)
違うと思うよ
ノイマンのω＝Ｎ（自然数の集合）
だろ？
そして、Ｎ⊂Ｒ（実数）だろ？
省27
706(3): 2021/05/07(金)11:31 ID:fxp4/vEr(3/4) AAS
>>704
(引用開始)
>ノイマンの自然数Nに対しては
>2^N ∩ N = Φ
>だよ（＾＾
はい、大間違い。
反例 {}∈2^N ∩ N ∵{}⊂N だから {}∈2^N
(引用終り)
それ面白いけど
繰り返すが、それなら山上滋先生の>>703より
省4
710(3): 2021/05/07(金)11:58 ID:Y/ho//XE(6/13) AAS
>>703
>>> ・ノイマンのωについて
>>> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
>> ω
> 違うと思うよ
> ノイマンのω＝Ｎ（自然数の集合）だろ？
> そして、Ｎ⊂Ｒ（実数）だろ？
はい、誤り
まだ「集合として同じ」と「同型」の区別がついてないね
Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！
省2
721(5): 2021/05/07(金)18:35 ID:fxp4/vEr(4/4) AAS
良問だと思うよ
おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
ωやNが分かってない？
そりゃ、時枝が分からないはず（＾＾
山上滋先生のテキストにケチつけるとは、大した度胸だよね
おサルの一匹は、数学科出身というが、数学科出身を名乗らない方が良いぞ
726(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/07(金)20:23 ID:eZNKvfJj(3/5) AAS
>>721 補足
>良問だと思うよ
>おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
>ωやNが分かってない？
>そりゃ、時枝が分からないはず（＾＾
何が間違っているのか？
何が理解出来ていないのか？ｗ
全部分かってないのかもな？？ｗｗ
だが、教えてはやらん！！ｗｗｗ
おサル二匹のうち、一匹は数学科出身を名乗るが
省31
735(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/08(土)09:14 ID:X3IvmoGN(4/16) AAS
>>734
地頭の悪い おぬしに教える義理はない
問答無用
下記でも嫁め（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
実数
実数（じっすう、 仏: nombre reel, 独: reelle Zahl, 英: real number）とは連続な量を表すために、有理数を拡張した「数」の体系である。
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[1]。実数体の元（＝要素）を実数という。
省12
755(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/08(土)11:44 ID:X3IvmoGN(8/16) AAS
>>740
>さて、本題
>{}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}} なので 2^R ∩ R ≠ {} ではないですね
ようやく、自分のバカさ加減に気付いたの？（＾＾
おサルは（>>689より）
(引用開始)
[証明]
ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
step1
{}∈ω
省25
786(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/10(月)07:17 ID:LxbZqh9r(1/5) AAS
>>785
ごまかそうとしているのか、釣りか？（＾＾
まあいい
それでね、>>768を補足しておくよ
”Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.”
とあるよね
つまり、ノイマンが基礎の公理（the axiom of regularity）を導入した大きな意図が、ここにあるんだ
>>769から
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
省19
793(4): 2021/05/10(月)18:19 ID:waRwN1MV(1) AAS
>>789-790
では問う
Q1. ノイマンの自然数構成で
0∈1∈2・・∈N（＝ω）
なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
Y or N？ まさか、これが有限列だとでも？ 基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾；
Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？
（下記”Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).”ご参照）
どぞ、ご回答を。怖気づいて回答できないかもね？（＾＾；
（参考）
省9
800(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/10(月)20:52 ID:LxbZqh9r(4/5) AAS
>>795
(引用開始)
>Q1. ノイマンの自然数構成で
> 0∈1∈2・・∈N（＝ω）
> なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
> Y or N？
N
> まさか、これが有限列だとでも？
有限列。
Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。
省12
804(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/10(月)23:23 ID:LxbZqh9r(5/5) AAS
>>800 補足
無限小数 0.999… 有限の極限と考える
1. 小数1桁 0.9＝1-1/10^1
2. 小数2桁 0.99＝1-1/10^2
・
・
n. 小数n桁 0.99＝1-1/10^n
・
・
と、無限につづき全ての自然数を渡る
省15
808(3): 2021/05/11(火)00:33 ID:tve+0lLS(3/15) AAS
0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
項を一つ取り除いた 0∈1∈…∈n も無限列。
nが自然数である限り 0∈1∈…∈n が無限列になることはないので、nは自然数ではない。
一方、ωより小さい順序数は自然数だからnは自然数。
仮定から矛盾が導かれたので仮定は偽。
809(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/11(火)06:38 ID:U9PlktVe(1/5) AAS
>>804 さらに補足（＾＾
数直線を考える
------------------------
↑ ↑ ↑ ・・→↑
0.9 0.99 0.999・・→ 1
数直線上に
0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
省24
822(4): 2021/05/11(火)11:53 ID:T66wl5d3(2/7) AAS
>>809 補足
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
で
0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1
↓↑
1 2 3 ・・・→ ω（＝N by ノイマン）
不等号＜を入れると
0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1
↓↑
1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω（＝N by ノイマン）
省18
828(3): 2021/05/11(火)17:19 ID:T66wl5d3(4/7) AAS
>>808
(引用開始)
0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
(引用終り)
それ、まさに、下記 田畑 博敏氏にある
”P2 1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限”で論じられていることが当てはまると思うよ
つまり、「「有限性j は第一階論理の言語で表現できない」と論じられていること
「丁度 n個の対象が存在する」という話をしているだけ
省19
836(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/11(火)21:08 ID:U9PlktVe(3/5) AAS
>>826
(引用開始)
>まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
いや否定ｗ
無限列否定 ホント、パクチーだよな貴様
「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ
(引用終り)
なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾
屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾；
下記の有理数の稠密性（高校数学の美しい物語など）と
省25
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ぬこの手 ぬこTOP 0.427s*