[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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111(3): 2021/02/16(火)11:58 ID:c/rM9q1s(7/20) AAS
>>110
証明:

B = {b_1, ..., b_d}, B' = {b'_1, ..., b'_d'}をVの基底とする。

このとき、(d', d)行列A = (a_i,j)と、(d, d')行列A' = (a'_i,j)があって、

b'_i = ?[j=1 to d] a_i,j b_j（1≦i≦d'）
b_i = ?[j=1 to d'] a'_i,j b'_j（1≦i≦d）

を満たす。このとき、
省3

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112(1): 2021/02/16(火)12:02 ID:c/rM9q1s(8/20) AAS
>>111

n次正方行列A = (a_i,j)に対して、Aのトレースを

tr(A) = ?[i=1 to n] a_i,i =a_1,1 + ... + a_n,n

で定義する。

補題:
Aを(m,n)行列、Bを(n,m)行列とする。このとき、
省3

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113: 2021/02/16(火)12:03 ID:c/rM9q1s(9/20) AAS
>>111

>>112より

d = tr(A' A) = tr(A A') = d'。□

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115: 2021/02/16(火)12:28 ID:c/rM9q1s(11/20) AAS
>>104の定義では、基底は集合なので順序は関係ないが、
>>111の証明にもあるように複数の基底関で係数を変換する行列などを考えることが多いので、
以後、基底B = {b_1, ..., b_d}を

b = (b_1, ..., b_d)

のように並べ方まで考慮して書くことがある。

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