[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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205: 2021/02/19(金)00:03 ID:LaiOc/Pq(1/18) AAS
{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }は弧状連結なので連結である。
したがって、(0, 0)の任意の近傍が、これと交わることが分かればよい。
なぜなら、もしXが連結でないとすると、(0, 0)を含むXの近傍と、他の空でない開集合とのdisjoint unionで書けることになるが、
それは、{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }が連結であることに矛盾するから。
206: 2021/02/19(金)00:05 ID:LaiOc/Pq(2/18) AAS
計算めんどくさい。
1/x → ∞ (x → 0)
で、sinは周期関数。
だから、どんなに小さなεを取っても、
|x| < ε, |y| < ε
となる点を通る。
207: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(3/18) AAS
Rとxyは連結か？
208: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(4/18) AAS
R と { (x, y) | xy = 0 }は同相か？
209: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(5/18) AAS
答え: No
210: 2021/02/19(金)00:10 ID:LaiOc/Pq(6/18) AAS
X = { (x, y) | xy = 0}
とする。同相写像f: X → Rが存在したとすると、これをX＼{(0, 0)}に制限しても同相。
ところが、X＼{(0, 0)}の連結成分の個数は4個で、R＼{f(0, 0)}のそれは2個なので矛盾。
211: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(7/18) AAS
R^2とR^2＼{(0, 0)}は同相か？
212: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(8/18) AAS
答え:No
213: 2021/02/19(金)00:12 ID:LaiOc/Pq(9/18) AAS
R^2は単連結
R^2＼{(0, 0)}は単連結ではない。
214: 2021/02/19(金)00:13 ID:LaiOc/Pq(10/18) AAS
Xを弧状連結な空間とする。
Xが単連結であるとは、基本群π_1(X)が自明であること。
215: 2021/02/19(金)00:14 ID:LaiOc/Pq(11/18) AAS
基本群を定義します
216: 2021/02/19(金)01:42 ID:LaiOc/Pq(12/18) AAS
X, Yは位相空間、f, g: X → Yは連続写像とします。
fとgがホモトピックであるとは、連続写像
H: X × [0, 1] → Y
が存在して、
H(x, 0) = f(x)
H(x, 1) = g(x)
を満たすことです。
217: 2021/02/19(金)01:43 ID:LaiOc/Pq(13/18) AAS
fとgがホモトピックであるという関係は、同値関係です。
218: 2021/02/19(金)01:44 ID:LaiOc/Pq(14/18) AAS
(1) f 〜 f
H(x, t) = f(x)
とすればよい
219: 2021/02/19(金)01:46 ID:LaiOc/Pq(15/18) AAS
(2) f 〜 g ⇒ g 〜 f
H(x, t) を f 〜 gをimplyする写像とします。
H(x, 1 - t)も連続なので、g 〜 fです。
220: 2021/02/19(金)01:52 ID:LaiOc/Pq(16/18) AAS
(3) f 〜 g, g 〜 h ⇒ f 〜 h
H_1(x, t), H_2(x, t)をそれぞれ、f 〜 g, g 〜 hに対応する連続写像とします。
H(x, t) :=
H_1(x, 2t)（0≦t≦1/2）,
H_2(x, 2t - 1)（1/2≦t≦1）
は連続なので、f 〜 gです。
221: 2021/02/19(金)01:54 ID:LaiOc/Pq(17/18) AAS
× は連続なので、f 〜 gです。
○ は連続なので、f 〜 hです。
222: 2021/02/19(金)01:56 ID:LaiOc/Pq(18/18) AAS
X, Yは位相空間とします。
連続写像f: X → Y, g: Y → Xで、
g○f 〜 id_X
f○g 〜 id_Y
をみたすものが存在するとき、XとYはホモトピックであるといいます。
223: 2021/02/19(金)10:37 ID:EgO2j4ec(1) AAS
空間がホモトピックであることも同値関係です。
224: 2021/02/19(金)10:43 ID:esT7cyjY(1) AAS
オイラーの等式って本当にマイナス１になるんですか？
225: 2021/02/19(金)11:22 ID:2p3Qy8/s(1/4) AAS
(1) X 〜 X
f = g = id_Xと取ればよい
226: 2021/02/19(金)11:22 ID:2p3Qy8/s(2/4) AAS
(2) X 〜 Y ⇒ Y 〜 X
明らか
227: 2021/02/19(金)11:23 ID:2p3Qy8/s(3/4) AAS
(3) X 〜 Y, Y 〜 Z ⇒ X 〜 Z
合成すればいい
228: 2021/02/19(金)11:28 ID:2p3Qy8/s(4/4) AAS
f1: X → Y
g1: Y → X
f2: Y → Z
g2: Z → Y
が、
g1 f1 〜 id_X、f1 g1 〜 id_Y
g2 f2 〜id_Y、f1 g2 〜id_Z
となるとする。
省5
229: 2021/02/19(金)12:17 ID:Td9BKjC7(1) AAS
こう
g1 (g2 f2) f1
〜 g1 id_Y f1
〜 g1 f1
〜 id_X
と簡約できる
230: 2021/02/19(金)15:03 ID:VHVRSD3Y(1/3) AAS
以下、I = [0, 1]とします。
231: 2021/02/19(金)15:03 ID:VHVRSD3Y(2/3) AAS
Xを位相空間とします。
Xのpathとは、連続写像
p: I → X
のことです。
232: 2021/02/19(金)15:06 ID:VHVRSD3Y(3/3) AAS
pの像ではなく、写像pのことです。
たとえば、X = R^2として、
p_1(x) = (cos(2πx), sin(2πx))
p_2(x) = (cos(4πx), sin(4πx))
は区別します。
233(1): 2021/02/19(金)15:36 ID:EFNDtRaT(1/3) AAS
X: 位相空間
Xの2つのpath p, qに対して、その積
q p: I → X
を以下のようにして定めます。
(q p)(t) :=
省2
234: 2021/02/19(金)15:37 ID:EFNDtRaT(2/3) AAS
おっと間違えた
235: 2021/02/19(金)15:37 ID:EFNDtRaT(3/3) AAS
>>233
X: 位相空間
Xの2つのpath p, qで
p(1) = q(0)
を満たすものに対して、その積
q p: I → X
省4
236: 2021/02/23(火)08:01 ID:vanApJm5(1) AAS
2 １３２人目の素数さん[sage] 2021/02/15(月) 11:44:08.70 ID:iT3CrOuB
以下、俺のノート。
集合kに二項演算
+: k × k → k
*: k × k → k
が定義されていて、以下の条件を満たすとき、kは体であるという。
237: 2021/02/23(火)09:34 ID:obVAchpe(1) AAS
>>1
ある事象で正しいからある事象で正しいってコトだろ？
238: 2021/02/23(火)21:09 ID:JQqit+rb(1/3) AAS
Xを位相空間、pをXのpathとする。
p(0) = p(1)
をみたすとき、pはXのloopという。
239: 2021/02/23(火)21:14 ID:JQqit+rb(2/3) AAS
Xを位相空間、x∈Xを任意の点とする。
π_x(X) := { p: Xのloop | p(0) = p(1) = x }/〜
と定める。ただし、p〜qはpとqがホモトピックであることである。
240: 2021/02/23(火)21:22 ID:JQqit+rb(3/3) AAS
Xを位相空間
x∈X
任意の元
[p], [q] ∈ π_x(X)（p, q: Xのloopでp(0) = q(0) = xとなるもの）
に対して、積[q] [p]を
[q] [p] := [q p]
省1
241: 2021/02/25(木)12:58 ID:GxVhs21V(1) AAS
定数でない正則関数は開写像です
では、定数でないC^∞級関数はどうですか？
242: 2021/02/25(木)12:59 ID:5iEq3yNm(1) AAS
テスト関数の台の境界の近傍取れば明らかに違うよね
243(1): 2021/02/25(木)19:10 ID:lS+oaHZS(1) AAS
Aを整域とし、KをAの商体とします。IをAのイデアルとします。
もし、f∈A[X]がIに含まれないならば、fはI K[X]にも含まれないと思います。
どのように示しますか？
おそらく、ガウスの補題を使うのだと思います
244: 2021/02/25(木)20:13 ID:OPAgZpLJ(1) AAS
>>243
ステートメントは異なる（そもそもガウスの補題を使うにはAがUFDでないといけない）が、おそらくあなたが使いたい結果は、永田「可換体論」の補題1.6.6にある
RをUFD、KをRの商体
任意のf∈R[X]と、原始多項式g∈R[X]に対して、K[X]で
f = g h （h∈K[X]）
となるなら、h∈R[X]。
だろう。これは、ガウスの補題と同じ方法で証明可能。
245: 2021/02/28(日)16:16 ID:xU85chhw(1) AAS
>>1
その体系の内部ではね
具体的には公理系のこと
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