[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
108(1): 2021/02/16(火)09:32 ID:c/rM9q1s(4/20) AAS
>>107
簡単のため、元の順番を入れ替えて、
b_1 = x_1, ..., b_d = x_d （d≦n）
とする。まず、
x_(d+1), ..., x_n∈<b_1, ..., b_d>
であることを示す。
省5
109: 2021/02/16(火)09:33 ID:c/rM9q1s(5/20) AAS
>>108
x∈Vとする。(1)より
x = a_1 x_1 + ... + a_n x_n
と書ける。x_iはすべて<b_1, ..., b_d>に属するから
x∈<b_1, ..., b_d>
である。□
110(6): 2021/02/16(火)09:47 ID:c/rM9q1s(6/20) AAS
定理:
kを体、Vを有限生成ベクトル空間とする。
Vの基底の濃度は、取り方によらず一定である。
111(3): 2021/02/16(火)11:58 ID:c/rM9q1s(7/20) AAS
>>110
証明:
B = {b_1, ..., b_d}, B' = {b'_1, ..., b'_d'}をVの基底とする。
このとき、(d', d)行列A = (a_i,j)と、(d, d')行列A' = (a'_i,j)があって、
b'_i = ?[j=1 to d] a_i,j b_j（1≦i≦d'）
b_i = ?[j=1 to d'] a'_i,j b'_j（1≦i≦d）
を満たす。このとき、
省3
112(1): 2021/02/16(火)12:02 ID:c/rM9q1s(8/20) AAS
>>111
n次正方行列A = (a_i,j)に対して、Aのトレースを
tr(A) = ?[i=1 to n] a_i,i =a_1,1 + ... + a_n,n
で定義する。
補題:
Aを(m,n)行列、Bを(n,m)行列とする。このとき、
省3
113: 2021/02/16(火)12:03 ID:c/rM9q1s(9/20) AAS
>>111
>>112より
d = tr(A' A) = tr(A A') = d'。□
114: 2021/02/16(火)12:06 ID:c/rM9q1s(10/20) AAS
kを体、Vをk上の有限生成ベクトル空間とする。
>>110より、Vの基底の濃度は一定であるから、その値をdim(V)と書き、Vの次元という。また、dim(V) = n < ∞であるとき、Vは有限次元、特にn次元であるという。
115: 2021/02/16(火)12:28 ID:c/rM9q1s(11/20) AAS
>>104の定義では、基底は集合なので順序は関係ないが、
>>111の証明にもあるように複数の基底関で係数を変換する行列などを考えることが多いので、
以後、基底B = {b_1, ..., b_d}を
b = (b_1, ..., b_d)
のように並べ方まで考慮して書くことがある。
116(3): 2021/02/16(火)12:44 ID:c/rM9q1s(12/20) AAS
次の補題は、部分空間の基底を適当に延長して、全体の基底にできることを言っている。
補題:
kを体、Vをn次元ベクトル空間とする。
b = (b_1, ..., b_n)
をVの基底とする。1≦k≦nとし、{x_1, ..., x_k}⊂Vを一次独立な部分集合とする。このとき、bの適当なn - k個の元
省4
117: 2021/02/16(火)13:35 ID:c/rM9q1s(13/20) AAS
>>116
証明:
n - kの帰納法で示す。
k = nのとき。
>>110より、n次元ベクトル空間のn+1個以上の元は必ず一次従属になる。よって、b_iはすべて<x_1, ..., x_k>に属する。
bはVの基底なので、<x_1, ..., x_k> = Vである。x_1, ..., x_kは一次独立なので、これは基底である。
k < nのとき。
>>110より、<x_1, ..., x_k> ≠ Vである。よって、<x_1, ..., x_k>に含まれないb_iがある。{x_1, ..., x_k, b_i}は一次独立であるから、帰納法の仮定より、bの元をさらにn-k-1個加えてVの基底にできる。□
118(2): 2021/02/16(火)13:43 ID:c/rM9q1s(14/20) AAS
命題:
kを体、Vをk上の有限次元ベクトル空間、W⊂Vを部分空間とする。このとき
dim(W) ≦ dim(V)
である。
119(2): 2021/02/16(火)13:47 ID:c/rM9q1s(15/20) AAS
>>118
補題:
kを体、Vをk上の有限次元ベクトル空間、W⊂Vを部分空間とする。このとき、Wも有限生成である。
120: 2021/02/16(火)14:00 ID:c/rM9q1s(16/20) AAS
>>119
これはベクトル空間以外の代数構造では成り立つとは限らない。
たとえば、多項式環k[X, Y]は、k上の多元環として1, X, Yで生成されるが、
その部分環
k[X, XY, XY^2, ...]
はk上の多元環として有限生成ではない。
121(1): 2021/02/16(火)14:27 ID:c/rM9q1s(17/20) AAS
AA省
122: 2021/02/16(火)14:35 ID:c/rM9q1s(18/20) AAS
>>118
証明:
>>121よりWの基底
b = (b_1, ..., b_k)
が存在するが、>>110よりVの一次独立な元の個数はdim(V)以下なので、dim(W) = k ≦ dim(V)。□
123(1): 2021/02/16(火)14:50 ID:c/rM9q1s(19/20) AAS
>>110
この形で使っているようなので、証明しておく。
系:
kを体、Vをk上のベクトル空間。
W = <b_1, ..., b_k>⊂V
とする。{x_1, ..., x_l}⊂Wが一次独立とすると、
省2
124: 2021/02/16(火)16:04 ID:c/rM9q1s(20/20) AAS
方針変換。
ベクトル空間の一般論を確立してから、連立一次方程式をやろうと思ったけど、先に連立一次方程式をやる
>>123
証明:
W = <b_1, ..., b_k>より、(l, k)行列A = (a_i,j)が存在して
x_1 = a_1,1 b_1 + ... + a_l,k b_k
...
x_l = a_l,1 b_1 + ... + a_l,k b_k
となる。
省1
125(1): 2021/02/16(火)23:32 ID:dluONYOe(1/5) AAS
定理:
kを体、V, Wをk上有限次元ベクトル空間、f: V→Wを線型写像とする。このとき
dim(Im(f)) = dim(V) - dim(Ker(f))。
126(2): 2021/02/16(火)23:54 ID:dluONYOe(2/5) AAS
>>125
証明:
dim(V) = n、dim(Ker(f)) = k、(b_1, ..., b_k)をKer(f)の基底とする。
>>116より、Vの適当な元b_(k+1), ..., b_nを取ることにより、
B = (b_1, ..., b_n)
をVの基底にできる。
B' = (f(b_(k+1)), ..., f(b_n))
省11
127(2): 2021/02/16(火)23:55 ID:dluONYOe(3/5) AAS
>>126
補題:
kを体、Vをk上のベクトル空間。
U, W⊂Vが部分空間
⇒U∩Wも部分空間
128: 2021/02/16(火)23:56 ID:dluONYOe(4/5) AAS
>>127
証明:
明らか
129(2): 2021/02/16(火)23:59 ID:dluONYOe(5/5) AAS
>>126
kを体、Vをk上の有限次元ベクトル空間、U, W⊂Vを部分空間とする。
>>127よりU∩WはVの部分空間であり、
dim(U⊕W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)
が成り立つ。
130: 2021/02/17(水)00:00 ID:roaJxwbL(1/2) AAS
>>129
証明:
>>116を使えばいい
131: 2021/02/17(水)00:19 ID:8rLvZi8O(1) AAS
ようやくルベーグに進んだと思ったら結局また線形に逆戻り、か……
132: 2021/02/17(水)09:37 ID:roaJxwbL(2/2) AAS
>>129
訂正:
> dim(U⊕W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)
U + W := { u + w; u∈U, w∈W }
133(1): 2021/02/17(水)19:39 ID:je7Fy8iq(1) AAS
「選択公理がないと証明できない」という命題はどうやって証明するんだろな。
ハーンバナッハの定理は選択公理無しには証明できないらしい。
134: 2021/02/17(水)20:07 ID:zld65fln(1) AAS
>>133
＞ハーンバナッハの定理は選択公理無しには証明できないらしい。
というのはガセ
135: 2021/02/18(木)15:55 ID:nRIK6KzM(1/10) AAS
非数学科の学生です。
数学科の同級生に問題を出してもらったので、解きます。
136: 2021/02/18(木)15:55 ID:nRIK6KzM(2/10) AAS
解けました。
137(1): 2021/02/18(木)15:56 ID:nRIK6KzM(3/10) AAS
問題
Xをコンパクト位相空間とする。
Xの閉部分集合はコンパクトである。
138: 2021/02/18(木)15:56 ID:nRIK6KzM(4/10) AAS
まず、用語を確認しました。
139: 2021/02/18(木)16:00 ID:nRIK6KzM(5/10) AAS
定義1.
位相空間Xがコンパクトであるとは、Xの任意の開被覆
U = {U_i} s. t. X = ∪ U_i
に対して、有限個のU'_1, ..., U'_n∈Uを選んで、
X = U'_1∪ ... ∪ U'_n
とできることを言います。
140: 2021/02/18(木)16:01 ID:nRIK6KzM(6/10) AAS
また、位相空間Xの部分集合Sがコンパクトであるとは、
SにXの相対位相を入れたときにコンパクトになることを言います。
141: 2021/02/18(木)16:04 ID:nRIK6KzM(7/10) AAS
次に、コンパクト位相空間の例を考えました。
142(1): 2021/02/18(木)16:05 ID:nRIK6KzM(8/10) AAS
まず、任意の有限集合はコンパクトです。
なぜならば、有限集合には有限個の開集合しか存在しないからです。
143(1): 2021/02/18(木)16:07 ID:nRIK6KzM(9/10) AAS
Xを実直線Rとします。
Rの有界閉区間[a, b]はコンパクトです。
これは、次の方法で証明できます。
144: 2021/02/18(木)16:14 ID:nRIK6KzM(10/10) AAS
(1) まず、[a, b] = [0, 1]としてよいです。
a = bならば、>>142よりこれはコンパクトです。
そうでなければ、f: [0, 1] → [a, b]を
y = f(x) = (b - a)x + a
で定めると、これは連続全単射で、逆写像
省2
145: 2021/02/18(木)17:39 ID:umGW1Vqs(1/10) AAS
(2) [0, 1]がコンパクトでないとして、矛盾を導きます。
I = [0, 1]とします。
Uを、Iの無限個の開集合による開被覆とします。
I = [0, 1/2] ∪ [1/2, 1]
なので、Iがコンパクトでないとすると、[0, 1/2], [1/2, 1]の少なくとも一方は、Uの有限個の開集合で被覆できません。
なぜならば、両方の区間がともにUの有限公個の開集合で被覆できると、それはIの被覆でもあるため、Iがコンパクトになるからです。
簡単のため、[0, 1/2]が、Uの有限個の開集合で被覆できないとします。 --- (*)
省15
146: 2021/02/18(木)17:50 ID:umGW1Vqs(2/10) AAS
次に、コンパクト位相空間の満たす性質を調べました。
147: 2021/02/18(木)17:50 ID:umGW1Vqs(3/10) AAS
やはり、例を続けます。
今度は、コンパクトにならない例を挙げます。
148: 2021/02/18(木)17:51 ID:umGW1Vqs(4/10) AAS
Rの開区間(0, 1)はコンパクトではありません。
149: 2021/02/18(木)17:58 ID:umGW1Vqs(5/10) AAS
X = (0, 1)
I_n = (2^(-n), 1) (n=1, 2, ...)
とおきます。I = {I_n}はXの開被覆です。
実際、任意のx∈Xに対して、十分大きなnを取れば、2^(-n) < xとできるからです。
しかし、Iのいかなる有限個の開集合を選んでも、Xを被覆することはできません。
I_nをどのように有限個選んでも、添字nの最大値Nが存在します。そして、0 < x < 2^(-N)となるx∈Xが存在し、それは今選んだどのI_nにも含まれないからです。
150: 2021/02/18(木)18:00 ID:umGW1Vqs(6/10) AAS
X = Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ... }
とします。Zに離散位相を入れたものはコンパクトではありません。
明らかに、開被覆{{n}}_{n∈Z}から有限個を選んでX全体を被覆することはできません。
151: 2021/02/18(木)18:06 ID:umGW1Vqs(7/10) AAS
>>143と同様に、ユークリッド空間では、有界閉集合はコンパクトです。
ここで、有界閉集合がコンパクトでない例を挙げます。
152: 2021/02/18(木)18:33 ID:umGW1Vqs(8/10) AAS
実数列{a_n}で、
? (a_n)^2 < ∞
を満たすもの全体の集合をXとする。
153: 2021/02/18(木)18:36 ID:umGW1Vqs(9/10) AAS
Xには、以下のようにして距離が入る。
154: 2021/02/18(木)19:07 ID:umGW1Vqs(10/10) AAS
a = {a_n}, b = {b_n}∈X
に対して、成分ごとの和と実数倍を定めます。つまり、
a + b = {a_n + b_n}
ca = {c a_n}
です。三角不等式により、これらもXの元になります。
155(1): 2021/02/18(木)20:03 ID:9NOYrmy+(1) AAS
aとbの距離を
d(a, b) = √||a - b||
で定めます。ただし、a = {a_n}に対し、
||a|| = ? (a_n)^2
です。
156: 2021/02/18(木)20:52 ID:IrdJv5En(1/49) AAS
Xの部分集合Sを、1つの成分が1、その他が全部0の元全体とする。つまり、
S = {(1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ..., ), (0, 0, 1, 0, ...), ...}
157: 2021/02/18(木)20:53 ID:IrdJv5En(2/49) AAS
まず、Sは明らかに>>155の距離に関して有界
158: 2021/02/18(木)21:05 ID:IrdJv5En(3/49) AAS
Sは閉集合。
∵
x = {x_n} ∈ X＼Sを取る。
x_nは収束するから、十分大きなNを取れば、
|x_N| < 1/2
とできる。だから、a∈Sで、N番目以降が1のものに対して、
省5
159: 2021/02/18(木)21:07 ID:IrdJv5En(4/49) AAS
Xがコンパクトでないこと。
Xの異なる2元間の距離は√2だから、各点を中心とする半径√2/2の開球を無限個でXを被覆すれば、これらの1つでも欠けたらXを被覆できない。
160: 2021/02/18(木)21:10 ID:IrdJv5En(5/49) AAS
コンパクト空間の性質を見ていく。
161(2): 2021/02/18(木)21:11 ID:IrdJv5En(6/49) AAS
まず、コンパクト空間の連続写像による像はコンパクトである。
162: 2021/02/18(木)21:17 ID:IrdJv5En(7/49) AAS
X, Yは位相空間、Xはコンパクト、f: X→Yは連続写像とする。
U = {U_i}
をf(X)の開被覆とすると、
V = {V_i = f^(-1)(U_i)}
は、Xの開被覆である。Xはコンパクトだから、そのうち有限個
省4
163: 2021/02/18(木)21:18 ID:IrdJv5En(8/49) AAS
Xをコンパクト位相空間、f: X → Rを連続写像とする。
fには最大値・最小値が存在する。
164: 2021/02/18(木)21:37 ID:IrdJv5En(9/49) AAS
最小値の存在を示す。
fに最小値が存在しないとして矛盾を導く。
任意のa∈Xに対して、
U_a = { x∈X | f(x) > f(a) } = f^(-1)((f(a), ∞))
はXの開集合である。fには最小値が存在しないので、任意のx∈Xに対して、適当なa∈Xを取れば、
x ∈ U_a
省4
165(2): 2021/02/18(木)21:38 ID:IrdJv5En(10/49) AAS
Xはコンパクト空間、Yはハウスドルフ空間とする。任意の連続写像f: X → Yは閉写像である。
166(1): 2021/02/18(木)21:43 ID:IrdJv5En(11/49) AAS
F⊂Xを閉集合とする。f(F)が閉集合であることを示す。
y ∈ Y＼f(F)を任意に取る。
Yはハウスドルフ空間なので、次のようなf(F)の開被覆が取れる。
任意の点f(x)∈F(X)に対して、2つの開集合f(x)∈U_x、y∈V_xで、U_x ∩ V_x = ∅となるものが存在する。
U = {U_x}
とする。
167(2): 2021/02/18(木)21:50 ID:IrdJv5En(12/49) AAS
Fがコンパクトであることを示す。
Fの開被覆V = {V_x}を取る。
X＼Fは開集合なので、任意の点x∈X＼Fに対して、
x ∈ W_x ⊂ X＼F
となる開集合W_xが存在する。W = {W_x}はX＼Fの開被覆である。
省3
168: 2021/02/18(木)21:53 ID:IrdJv5En(13/49) AAS
よって、>>161より、f(F)はコンパクトである。
よって、>>166のUのうち有限個の開集合でf(F)は被覆できる。それらを
U_(i_1), ..., U_(i_n) ∈ U
とすれば、>>166の記号で
V_(i_1) ∩ ... ∩ V_(i_n)
省2
169: 2021/02/18(木)21:54 ID:IrdJv5En(14/49) AAS
>>167で>>137の問題は解けました。
170(1): 2021/02/18(木)21:55 ID:IrdJv5En(15/49) AAS
>>165を包含写像に適用すれば、
ハウスドルフ空間のコンパクト集合が閉集合であることが言えます。
171(2): 2021/02/18(木)21:56 ID:IrdJv5En(16/49) AAS
>>170
これは直接示すことも簡単です。
Xをハウスドルフ空間、K⊂Xをコンパクト部分集合とすると、Kは閉集合。
172: 2021/02/18(木)22:02 ID:IrdJv5En(17/49) AAS
x∈X＼Kを任意に取る。
Xはハウスドルフ空間なので、Kの開被覆が以下のように取れる。
任意の点y∈Kに対して、2つの開集合y∈U_y、x∈V_yで、U_y ∩ V_y = ∅となるものが存在する。
U = {U_y}
はKの開被覆である。Kはコンパクトなので、有限個のU_(i_1), ..., U_(i_n)で被覆できる。このとき、
省2
173: 2021/02/18(木)22:03 ID:IrdJv5En(18/49) AAS
逆に>>171を使うと>>165は次のように証明できます。
174: 2021/02/18(木)22:04 ID:IrdJv5En(19/49) AAS
FをXの閉集合とする。
>>167より、Fはコンパクト。
>>161より、f(F)はコンパクト。
>>171より、f(F)は閉集合。□
175: 2021/02/18(木)22:06 ID:IrdJv5En(20/49) AAS
距離空間はハウスドルフ空間です。
176: 2021/02/18(木)22:07 ID:IrdJv5En(21/49) AAS
実際、異なる2点x, yを取ると
d = d(x, y) > 0
なので、半系d/2の開球で分離できます。
177: 2021/02/18(木)22:09 ID:IrdJv5En(22/49) AAS
位相空間Xが連結であるとは、互いに交わらない空でない2つの開集合の和で書けないことです。
178: 2021/02/18(木)22:10 ID:IrdJv5En(23/49) AAS
連結な位相空間Xの開集合かつ閉集合である部分集合は
∅, X
だけです。
179: 2021/02/18(木)22:14 ID:IrdJv5En(24/49) AAS
UをXの開集合かつ閉集合とします。
UがX or ∅なら正しいので、Xでも∅でもないとします。
UはXと異なる閉集合なので、F = X＼Uは空ではない開集合です。
よって、
X = U ∪ F
これはXが連結でないことを意味します。
180: 2021/02/18(木)22:15 ID:IrdJv5En(25/49) AAS
開写像というのは、連続性と同じく局所的な性質です。
181: 2021/02/18(木)22:21 ID:IrdJv5En(26/49) AAS
f: X→ Yが開写像
⇔ ∀x∈X、∀開集合x∈U、 f(U)は開集合
⇔ ∀x∈X、∀開集合x∈U、∃開集合x∈B⊂U s.t f(B)は開集合
⇒は全部自明
3つ目から1つ目を示す
182: 2021/02/18(木)22:23 ID:IrdJv5En(27/49) AAS
U⊂Xを開集合とする。
f(x)∈f(U)を任意に取る。
開集合Bで
x∈B⊂U、f(B)⊂f(U)が開集合
が存在。
183: 2021/02/18(木)22:25 ID:IrdJv5En(28/49) AAS
コンパクト空間の積空間はコンパクトです。
証明は知りません
184: 2021/02/18(木)22:36 ID:IrdJv5En(29/49) AAS
Xがコンパクト
⇔任意の位相空間Yに対して、X×Y→Yが閉写像
185: 2021/02/18(木)22:37 ID:IrdJv5En(30/49) AAS
これも証明は知りません
186: 2021/02/18(木)22:40 ID:IrdJv5En(31/49) AAS
Xがハウスドルフ
⇔X→X×X、x→(x, x)の像は閉集合
187: 2021/02/18(木)22:48 ID:IrdJv5En(32/49) AAS
Δ: X → X×X
Δ(x) = (x, x)
とする。
(x, y)∈X×X＼Δ(X)を任意に取ると、x≠y。
Xがハウスドルフならば、Xの開集合x∈U、y∈Vで、U∩V = ∅となるものが存在。
(x, y) ∈ U × V ⊂ X×X＼Δ(X)。
省5
188: 2021/02/18(木)22:56 ID:IrdJv5En(33/49) AAS
f: X → Yが連続写像
Yがハウスドルフならば、
Γ: X→X×Y x → (x, f(x))の像は閉集合
f: X → S
g: Y → S
を連続写像
Sがハウスドルフならば、
ker(f, g) = { (x, y)∈X × Y | f(x) = g(y) }
省1
189: 2021/02/18(木)22:58 ID:IrdJv5En(34/49) AAS
ハウスドルフ性は局所的な性質ではありません。
190: 2021/02/18(木)22:58 ID:IrdJv5En(35/49) AAS
原点が2重になった直線は、すべての点がハウスドルフな近傍を持ちますが、2つの原点を分離する近傍はありません。
191: 2021/02/18(木)23:21 ID:IrdJv5En(36/49) AAS
R^nの開集合Uは
任意のp∈Uに対して、ある正の数r > 0が存在して
B_r(p) := { x∈R^N | |x - p| < r}
x ∈ B_r(p) ⊂ U
となることです。
192: 2021/02/18(木)23:22 ID:IrdJv5En(37/49) AAS
距離空間の開集合はみんな同様の定義です
193: 2021/02/18(木)23:22 ID:IrdJv5En(38/49) AAS
この
B_r(p)
の形の開集合全体は、一般の位相空間では基本近傍系という概念に一般化されます。
194: 2021/02/18(木)23:24 ID:IrdJv5En(39/49) AAS
集合に対し、基本近傍系を定めれば、上の定義と同様にして位相が定まります
195: 2021/02/18(木)23:29 ID:IrdJv5En(40/49) AAS
逆に、位相が与えられると開集合の特徴づけとして
Uが開集合
⇔∀x∈U, ∃開集合V s. t. x∈V⊂U
が成り立ちます。
⇒は、V = U自身と取れば明らかです。
逆を示します。
任意のx∈Uに対して、上を満たすV_xを取ります。
省4
196: 2021/02/18(木)23:32 ID:IrdJv5En(41/49) AAS
任意の2点x, yを結ぶpathが存在する空間は弧状連結であるといいます。
197: 2021/02/18(木)23:34 ID:IrdJv5En(42/49) AAS
Xを位相空間
Xが弧状連結であるとは、任意の2点x, y∈Xに対して、連続写像p: [0, 1]→Xで
p(0) = x
p(1) = y
となるものが存在することを言う。
198: 2021/02/18(木)23:37 ID:IrdJv5En(43/49) AAS
弧状連結ならば連結です。
199: 2021/02/18(木)23:44 ID:IrdJv5En(44/49) AAS
Xが連結でないとする。
空でない2つの開集合U, Vで
X = U ∪ V
U ∩ V = ∅
と書ける。
x∈U, y∈Vを取る。
もし、x, yを結ぶpath p: [0, 1]→Xが存在したとする。
[0, 1]は連結なので、その像も連結でなければならないが、空でない2つの開集合で
p([0, 1]) =(U∩p([0, 1])) ∪ (V∩p([0, 1]))
(U∩p([0, 1])) ∪(V∩p([0, 1])) = ∅
省1
200: 2021/02/18(木)23:44 ID:IrdJv5En(45/49) AAS
連結な位相空間の連続写像による像も連結
201: 2021/02/18(木)23:45 ID:IrdJv5En(46/49) AAS
X, Yは位相空間、f: X → Yを連続写像とする。
Xが連結ならば、f(X)も連結である。
202: 2021/02/18(木)23:50 ID:IrdJv5En(47/49) AAS
f(X)が連結でないとする。
空でない開集合U, Vを用いて
f(X) = U ∪ V
U ∩ V = ∅
とできる。このとき、f^(-1)(U), f^(-1)(V)はXの空でない開集合であり、
X = f^(-1)(U) ∪ f^(-1)(V)
f^(-1)(U) ∩ f^(-1)(V) = ∅
となる。
203: 2021/02/18(木)23:51 ID:IrdJv5En(48/49) AAS
連結だが弧状連結ではない例
204: 2021/02/18(木)23:54 ID:IrdJv5En(49/49) AAS
X = { (0, 0) } ∪ { (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }
は連結だが弧状連結ではない。
205: 2021/02/19(金)00:03 ID:LaiOc/Pq(1/18) AAS
{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }は弧状連結なので連結である。
したがって、(0, 0)の任意の近傍が、これと交わることが分かればよい。
なぜなら、もしXが連結でないとすると、(0, 0)を含むXの近傍と、他の空でない開集合とのdisjoint unionで書けることになるが、
それは、{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }が連結であることに矛盾するから。
206: 2021/02/19(金)00:05 ID:LaiOc/Pq(2/18) AAS
計算めんどくさい。
1/x → ∞ (x → 0)
で、sinは周期関数。
だから、どんなに小さなεを取っても、
|x| < ε, |y| < ε
となる点を通る。
207: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(3/18) AAS
Rとxyは連結か？
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 38 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.026s