[過去ﾛｸﾞ] 楕円曲線🍩、Abel多様体 (222ﾚｽ)
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60(3): 2021/01/18(月)13:42 ID:NKh3GOg0(1) AAS
有限生成アーベル群の基本定理におけるfree部分とtorsion部分を論点にしている人がいるようだけど、
そもそも、代数体上とは限らない楕円曲線の有理点は、一般的には（Z上の）有限生成アーベル群ではないよね？
99(5): 2021/01/19(火)09:35 ID:4pZjaVLi(14/44) AAS
層とコホモロジー
準層と層
ハウスドルフ空間Mの開集合族をU_とする
任意の開集合族U∈U_に対して、アーベル群
S(U)
が決まり、U⊂U'なる二つの開集合U,U'に対して
γ~U3_U1=γ~U2_ U1・γ~U3_U2 (U1⊂U2⊂U3,U1,U2,U3∈U_)
を満たすような準同型写像
γ~U’_U:S(U')→S(U)
が存在するならば、集合
省2
100(4): 2021/01/19(火)09:58 ID:4pZjaVLi(15/44) AAS
>>99
点P∈Mに対して、Pを含む開集合の族をU_Pとし、
ΣP＝∪U∈U_p S(U)
とおく。
s1,s2∈ΣP(s1∈S(U1),s2∈S(U2))に対して、
γ~U1_U(s1)=γ~U2_U(s2)
を満たすU⊂U1∩U2,U∈U_Pが存在するとき、
s1~s2
と書く。
~はΣPの中の同値関係である
省20
101(4): 2021/01/19(火)10:12 ID:4pZjaVLi(16/44) AAS
>>100
定義3.1
次の定義を満たす（S_,π,M）をアーベル群の層という。
1)S_,Mは位相空間 （Mを底空間という）
2)π:S_→Mは局所同相写像 （写像πを射影という）
3)S_P:π^(-1)(P)はアーベル群で、その群写像は連続である
（S_Pを層のP∈Mにおける茎という。
各茎ごとに全く異なった群であってもよい。）
例3.1
Mをリーマン面とし、O(U)を開集合U⊂M上の正則関数の集合とする。
省7
109(4): 2021/01/19(火)11:17 ID:4pZjaVLi(22/44) AAS
層の準同型写像
（S_,σ,M),(T_,τ,M）を2つのアーベル群の層とする
τ・φ=σ
を満たす連続写像φ:S_→T_を層写像という。
φ(S_P)⊂T_Pであり、
σ,τが局所同相写像であることから、
φも局所同相写像である。
層写像φ：S_→T_が各茎上で準同型写像、すなわち、
φ｜S_P：S_P→T_Pが準同型写像であるとき、
φを層準同型写像という
省8
110(3): 2021/01/19(火)11:30 ID:4pZjaVLi(23/44) AAS
>>109
層準同型写像φ:S_→T_の核KerφはS_の部分層である。
またφの像ImφはT_の部分層である。
Imφ≣S_/Kerφ が成立する
層準同型写像
φ_n:S_n_→S_n+1_ (n∈Z)
に対して
Kerφ_n=Imφ_n-1
が任意のnに対して成立するとき、列
…→S_n-1→S_n→S_n+1→…
省8
161(3): 2021/01/19(火)22:41 ID:rteL+Vkk(1/2) AAS
層をファイバー空間として定義した場合は、ファイバー空間の射（で各茎の上で準同型のもの）に対して、KerもImも自然に層になります。Cokerはそのままでは層にはなりません。
このImは、前層の準同型
h_U: Γ(U, F) → Γ(U, G) （∀U: 開集合）
が与えられたとき、U→Im(h_U)と対応させる前層とは異なります。これはよく知られたように層にはなりません。
Xを位相空間
F, GをXのAbel群の層
h: F → Gを層の準同型
省4
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