[過去ﾛｸﾞ] 楕円曲線🍩、Abel多様体 (222ﾚｽ)
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1: 2020/08/15(土)20:15 ID:QNHjdbvF(1/2) AAS
Silvermanでも読む
123(1): 2021/01/19(火)14:41 ID:sgIptYpx(1) AAS
φ:F→GをX上の層の射とする。ImφはGの部分層である。
証明)部分層の定義から、示したいことは以下の2つである。
1.任意のXの開部分集合Uに対して、Im(φ_U)⊆Imφ(U)。
2.任意のx∈Xに対して、(Imφ)_x = Im(φ_x)。
1については、Im^pφ(U):=Im(φ_U)であってImはIm^pの層化なので成り立つ。
2を示す。
a.(Imφ)_x⊃Im(φ_x)
t_x∈Im(φ_x)と置き、φ_x:F_x→G_xを用いてφ_x(s_x)=t_xとなるs_x∈F_xを選ぶ。
φ_xの定義から、ある開集合Vが存在してφ_V(s)=tであって、t∈Imφ(V)なので、t_x∈(Imφ)_x。
よってaが成り立つ。
省3
124: 2021/01/19(火)15:03 ID:BgNxyd3z(1) AAS
定義が問題だろう
125(2): 2021/01/19(火)16:00 ID:4pZjaVLi(32/44) AAS
(S_,π,M)を層とする。
S_の開部分集合R_が
R_P＝R∩S_P (P∈M)：S_Pの部分群
を満たすとき
(R_,π|R_,M)は層であるが
これを(S_,π,M)の部分層という。
このとき
T_P＝S_P/R_P
を自然な商群とし
T=∪P∈M T_P
省11
126: 2021/01/19(火)16:01 ID:4pZjaVLi(33/44) AAS
例3.4
(O_,π,M)をリーマン面M上の正則関数の芽の層とし、
E={P1,…,Pn}
をM上の有限個の点の集合とする。
開集合U⊂Mに対して
R(U)={f∈Γ(U,O)｜Pi∈U⇒f(Pi)=0,i=1,…,n}
とおく。
R(U)はΓ(U,O_)の部分群であり、
{R(U)}は自然な制限写像を考えるとM上の準層である。
この準層から導かれる層をR_とすると、
省6
127(1): 2021/01/19(火)17:05 ID:6pofGOpJ(1) AAS
>>116
層の理解がちゃんとしてないと後で全部わからなくなるよ
128: 2021/01/19(火)17:12 ID:4pZjaVLi(34/44) AAS
>>127
あなたのちゃんとした層の理解をお示しください
全部わかりきったんでしょ？ どうぞ！！！
129: 2021/01/19(火)17:20 ID:4pZjaVLi(35/44) AAS
間違いはつっこんでくださいね
間違いから学ぶのが一番確実ですから
130: 2021/01/19(火)17:21 ID:n96x1jFr(1/3) AAS
前層Aが層であるとは、U=∪U_αであるときA(U)→ΠA(U_α)⇉A(U_β∩U_γ)という完全列を満足するということである。
131(2): 2021/01/19(火)17:26 ID:S2sYb5Ak(1) AAS
双対アーベル多様体って、Wikipediaの定義を見ても具体例がさっぱり分からんのだけど
ピカール群（の単位元の連結成分）とは違うの？
132(2): 2021/01/19(火)17:27 ID:X0mC3/pQ(3/12) AAS
>>123
証明がどうこうではなく一般にXが位相空間、M,NがX上の加群の層、f:M→Nが層の射のとき、そのままズバリのim(f)は層にならないんだよ
反例もある
しかしKerやCoketやImがないとホモロジー代数が使えないので層化(Sheafication)というのを使って回避する必要があるんだよ
例) X = {x,y,z}上に{φ,{x},{x,y},{x,z},{x,y,z}}を開集合とする位相を入れるφ以外を順にU,V,W,Xとしておく
加群の層Mは加群M_X,M_W,M_V,M_Uと4つの制限射像の8個組みでパラメトライズされるので(M_X,M_W,M_V,M_U)と表す事にする(制限射像は推して知るべしとする)
この時M=(0,0,Z,Z)とN=(Z,0,Z,0)はともにX上の加群の層になり、推して知るべし射 f : M → N があるけど、この時そのままズバリのim(f)は(0,0,Z,0)になってコレは前層であって層ではない
しかしそれでは困るので層としてのimfを層化の定義にしたがって計算するとこの場合imf = N、すなわちfは“全射”になっている
この射はXのところ、すなわちGlobal sectionのところf_X: M_X → N_Xが0→Zになっているにも関わらず“全射”になってる
各ストークで確認するとx,y,zでそれぞれ
省3
133(1): 2021/01/19(火)17:30 ID:n96x1jFr(2/3) AAS
>>132
そうですね。
なので1.の証明でImの定義が層化されたものであることに言及しています。
134: 2021/01/19(火)17:33 ID:Dwv5I37z(1/3) AAS
>>131
標数0の場合はそれでいい
もちろん、Pic0(X)にどうAbel多様体の構造を入れるのかという問題は残るが
1次元の場合なら、Abel-Jacobiの定理がその答えだけど、この場合は楕円曲線だからほとんど自明
135(1): 2021/01/19(火)17:38 ID:X0mC3/pQ(4/12) AAS
>>133
だったら何言ってんのかわからない
主張はim(f)が層になる
だけど層化したものなんだったら層になるの当たり前やん？
136(1): 2021/01/19(火)17:43 ID:n96x1jFr(3/3) AAS
>>135
主張は>>112から始まる
φ:F→GをX上の層の射とする。ImφはGの部分層である。
の証明ではないのですか？
それとは別ということでしょうか。
137: 2021/01/19(火)17:50 ID:X0mC3/pQ(5/12) AAS
>>136
それならまだわからないでもないけど、それもそもそもM→Nが前層の単射なら層化も単射だから当たり前です
138(1): 2021/01/19(火)17:54 ID:4pZjaVLi(36/44) AAS
>>132
>X = {x,y,z}上に{φ,{x},{x,y},{x,z},{x,y,z}}を開集合とする位相を入れる
ごめん。それ↑ハウスドルフ空間じゃないよね？
>>99
”ハウスドルフ空間”Mの開集合族をU_とする
139(2): 2021/01/19(火)17:57 ID:X0mC3/pQ(6/12) AAS
>>138
あれ？
このスレハウスドルフ限定なん？
そもそも代数幾何でZariski位相の話避けられないからハウスドルフに話限定できないでしょ？
それにそもそもハウスドルフに限定したら一般にはim(f)はsheafになる？
140(1): 2021/01/19(火)17:58 ID:Dwv5I37z(2/3) AAS
>>131
AがC上のAbel多様体なら
0 → Z → OX → OX* → 0
から作られる長完全系列を考えると、
Pic0(X) = H1(A, Z)/H1(A, OX)。
141: 2021/01/19(火)17:59 ID:Dwv5I37z(3/3) AAS
>>140
ごめん逆
Pic0(X) = H1(A, OX)/H1(A, Z)。
142(1): 2021/01/19(火)18:01 ID:I5BJwymF(1) AAS
>>139
ならないよ
X = C - {0}
にCからの相対位相を入れればいい
だから、「部分層」とか「Im(φ)」の定義が問題なのに、教えてくれない
143(2): 2021/01/19(火)18:03 ID:4pZjaVLi(37/44) AAS
>>139
>このスレハウスドルフ限定なん？
いや、私の読んでるタネ本が
そもそもそういう設定になってるんですわｗ
>そもそも代数幾何でZariski位相の話避けられないから
>ハウスドルフに話限定できないでしょ？
お説ごもっともですが…
ネタ本はそもそも複素多様体としての考察しかしてないんですわｗ
>それにそもそもハウスドルフに限定したら一般にはim(f)はsheafになる？
省2
144(1): 2021/01/19(火)18:06 ID:IX6rfRKJ(1) AAS
>>143
原著を知らんから何とも言えないが、
それは本が間違ってるんじゃなくて、
お前が必要な記述を読み飛ばしているか誤読しているだけ
145: 2021/01/19(火)18:07 ID:4pZjaVLi(38/44) AAS
>>142
>「部分層」とか「Im(φ)」の定義が問題なのに、教えてくれない
部分層の定義は>>125に書きました
>X = C - {0}にCからの相対位相を入れれば…
具体的にはどういう反例が構築できますか？
146: 2021/01/19(火)18:09 ID:4pZjaVLi(39/44) AAS
>>144
必要な記述を私がここに書いてない可能性が高いですね
ちなみに（小声で）本の文章を写してますので
私の解釈は入ってません 悪しからず
147: 2021/01/19(火)18:23 ID:4pZjaVLi(40/44) AAS
明日はここには書かないので、御指導よろしくお願いします
148(1): 2021/01/19(火)19:12 ID:X0mC3/pQ(7/12) AAS
>>143
やはり無理やね
Xを任意の空間としてNをN(U)=Zで定められる定数層とする
次に開集合Uに対してX上の層MUをM(U)で生成されるNの部分層とする
すなわちM'(U)=M(U)を満たす最小の部分層
Uが稠密でなければMU(X)=0
そこでM=⨁[Uは稠密でない]MUで定めればM→Nの像IはI(X)=0になってしまう
しかし一方で∪[Uは稠密でない]U = Xの時IのsheaficationはN全体になる
すなわちIはsheaficationを取り直さないとsheafではない
149(1): 2021/01/19(火)19:32 ID:4pZjaVLi(41/44) AAS
>>148
上記のM→Nって>>109の層準同型写像の条件満たしますか？
「層写像φ：S_→T_が各茎上で準同型写像、すなわち、
φ｜S_P：S_P→T_Pが準同型写像であるとき、
φを層準同型写像という」
150(1): 2021/01/19(火)19:39 ID:X0mC3/pQ(8/12) AAS
>>149
もちろん
そもそも「最小の部分層」なんだから
151: 2021/01/19(火)19:46 ID:4pZjaVLi(42/44) AAS
>>150
＞＞上記のM→Nって>>109の層準同型写像の条件満たしますか？
＞もちろん
具体的に示してくれますか？
それから、あなたのいう部分層は>>125の定義を満たしてますか？
「(S_,π,M)を層とする。
S_の開部分集合R_が
R_P＝R∩S_P (P∈M)：S_Pの部分群
を満たすとき
(R_,π|R_,M)は層であるが
省1
152(1): 2021/01/19(火)20:00 ID:X0mC3/pQ(9/12) AAS
具体的にも何もMが層、Niが部分層なら∩[i]Niも部分層を示すだけ
Uの被覆Uλにおいてfλ∈∩Ni(Uλ)でrestrictionにおいて件の条件満たすとする
Mは層なんだからf∈M(U)でUλへのrestrictionがfλになるものがとれる
Niも層だからfi∈Ni(U)でUλへのrestrictionがfλになるものが取れる全てのλについてfとfiはUλへのrestrictionが等しいのでf=fi
fi∈Ni(Uλ)だったのだからf∈Ni(U)
コレが任意のiで言えるので終わり
153(1): 2021/01/19(火)20:07 ID:4pZjaVLi(43/44) AAS
>>152
「部分層」ではなく、「層準同型写像であること」を具体的に示してくれますか？
なお、ここのページにも私が書いたことを同じことが書いてありました
外部ﾘﾝｸ:tech-blog.rei-frontier.jp
「i:F′→Fが層の準同型であるとします．このとき，Imi=i(F′)はFの部分層です．」
154(1): 2021/01/19(火)20:19 ID:VmWF8uxU(1/2) AAS
ID:4pZjaVLi
なんでこんなに偉そうなんだろう？
155: 2021/01/19(火)20:45 ID:4pZjaVLi(44/44) AAS
>>154
なんでそんなに卑屈なんですか？
156(1): 2021/01/19(火)21:06 ID:VmWF8uxU(2/2) AAS
>>156
テキストに対して卑屈になるのはよくないけど、突っ込まれたときに開き直るのはもっと良くない。
157: 2021/01/19(火)21:15 ID:R57QAEhD(1) AAS
定義をきちんと書けばいいだろう
158: 2021/01/19(火)21:41 ID:X0mC3/pQ(10/12) AAS
>>153
層準同型の意味捉えられてないね
そして一般にはsheafication取り直さないとsheafにならないし、sheaficationしたものが定義なら部分層になるのは当たり前
ちゃんとsheafの理論わかってればそもそも感覚的に“おかしい、そんなはずはない”と思える話
だからオレ以外にもそこおかしいって突っ込んでた人いるでしょ？
本来ならそういう感覚を掴んで一歩一歩進んでいくべきもの
まぁわからないならそれでもいいよ
先進んでみたら？
159: 2021/01/19(火)22:00 ID:IVymchvk(1) AAS
ちなみにsheafificationですね。
160: 2021/01/19(火)22:02 ID:X0mC3/pQ(11/12) AAS
おっとそうだったw
161(3): 2021/01/19(火)22:41 ID:rteL+Vkk(1/2) AAS
層をファイバー空間として定義した場合は、ファイバー空間の射（で各茎の上で準同型のもの）に対して、KerもImも自然に層になります。Cokerはそのままでは層にはなりません。
このImは、前層の準同型
h_U: Γ(U, F) → Γ(U, G) （∀U: 開集合）
が与えられたとき、U→Im(h_U)と対応させる前層とは異なります。これはよく知られたように層にはなりません。
Xを位相空間
F, GをXのAbel群の層
h: F → Gを層の準同型
省4
162(1): 2021/01/19(火)22:49 ID:rteL+Vkk(2/2) AAS
で、層の準同型
h: F → G
に対して、Im(f)とは、
・層をファイバー空間として定義した場合は、単に位相空間h(F) = ∪[p∈X] h(F_P)のこと
・前層として定義した場合は、U → Im(h_U)で定まる前層の層化のこと
です。この2つの定義は一致します。
163(1): 2021/01/19(火)23:31 ID:X0mC3/pQ(12/12) AAS
そもそも層の理解がおかしいね
164: 2021/01/20(水)01:38 ID:OAsEx5Vo(1) AAS
なぜid赤くしてる奴は馬鹿ばっかなのか
165: 2021/01/20(水)06:19 ID:fpkPlw/l(1/5) AAS
>>161
>層をファイバー空間として定義した場合は、
>ファイバー空間の射（で各茎の上で準同型のもの）に対して、
>KerもImも自然に層になります。
>このImは、前層の準同型
>h_U: Γ(U, F) → Γ(U, G) （∀U: 開集合）
>が与えられたとき、U→Im(h_U)と対応させる前層とは異なります。
その発言は、ID:X0mC3/pQに対するものですよね？
166: 2021/01/20(水)06:30 ID:fpkPlw/l(2/5) AAS
>>162
>層の準同型
>h: F → G
>に対して、Im(f)とは、
>・層をファイバー空間として定義した場合は、単に位相空間h(F) = ∪[p∈X] h(F_P)のこと
>・前層として定義した場合は、U → Im(h_U)で定まる前層の層化のこと
>です。この2つの定義は一致します。
ID:X0mC3/pQは「前層として定義」した（sophisticateされた）場合でのみ
考えていたということでしょうかね？
ID:4pZjaVLiによる層の定義は>>99-101にありますが
省1
167(1): 2021/01/20(水)06:39 ID:fpkPlw/l(3/5) AAS
>>163
>そもそも層の理解がおかしいね
ID:4pZjaVLiが読んでる本の層の定義>>99-101が
圏論的なスタイルになってないのは「教育的配慮」からだと思われます
いずれにしても層を「よく」理解しているID:rteL+Vkkの説明のおかげで
何が問題が分かってよかったですね
168(2): 2021/01/20(水)06:55 ID:Irx+1QvW(1/3) AAS
>>167
その説明もおかしいんだよ
何故おかしいかと言えばM→Nを加群の層とする
Cをcogenerator加群層としてSをN→Cの中でM→Nと合成してゼロになる全体とする
CのコピーをSだけ用意してSの元g事にC_gとし、N→ΠC_fを作る
この時できる列
M→N→ΠC_f
は完全で特にCok(M→N)とIm(N→ΠC_f)は一致するんだよ
なのでそもそもImが大丈夫ならCokernelも大丈夫でどっちかがいけるのにどつちかがダメなんでことはありえない
もう言ってる内容が既に自己矛盾してる
省1
169(1): 2021/01/20(水)07:03 ID:fpkPlw/l(4/5) AAS
>>168
ID:Irx+1QvW = ID:X0mC3/pQ ？
>上っ面しか読めてないセタ
御自身がそうなってなければよいのですが…
170(1): 2021/01/20(水)07:05 ID:fpkPlw/l(5/5) AAS
ID:Irx+1QvWは>>99-101の定義を読みました？
その上で何かいうことあります？
171: 2021/01/20(水)07:06 ID:Irx+1QvW(2/3) AAS
>>169
そういうとこもセタそっくり
どうせコレも途中で投げ出すんでしょ？
172: 2021/01/20(水)07:09 ID:Irx+1QvW(3/3) AAS
>>170
あるよ
>>168に書いたやん？
なんでImはなんもしないで層になるのにcokはならないんだよ？
そんなわけないやろ？
意味わかって書いてんの？
なんもわからんで写してるだけやろ？
セタと一緒
173: 2021/01/20(水)08:25 ID:PYLPYz8p(1) AAS
「stalkの形式和に位相を入れる」というのが「前層の層化」に相当することすら理解できないで、「感覚的におかしい」とか言ってるクソザコがいるらしい
174(1): 2021/01/20(水)09:13 ID:6Obf33uC(1) AAS
>>161
Cokerも底空間は∪Coker(h_p)で、像位相（写像G→∪Coker(h_p)が連続になる最強の位相）入れるだけじゃないかな
めんどくさいからいちいち証明書かんけど
175: 2021/01/20(水)09:17 ID:/66E8llW(1) AAS
>>473
もちろんそういう方法ができなくもない事はわかってるよ
しかしだとしても全体ではなしがあってないからおかしいと言ってる
どうせオレが書いたこともわかってないやろ？
こんなもん研究室入ってきた学部生が最初のひと月くらいで終わるような話ですがな
それすらコッチのツッコミにろくに答えれてない
ちょっと面白そうと思ったらあっちいったりコッチ行ったりちょっとずつかじってわかったような気になって満足きてるの繰り返しやろ
今回もまたどうせそれで終わるんやろ
176: 2021/01/20(水)09:27 ID:V30LFnRP(1) AAS
>>161の「Cokerはそのままでは層にならない」というのは、「∪Coker(h_p)は既存の位相空間の部分集合などではないから、然るべき位相を入れなければいけない」というごく当たり前の意味で書いたのですが、何か全く見当違いな意味に捉えられたようですね
>>174の認識で合っていると思います。面倒くさいし、普通に層を扱う上でこんな考察必要ないので、証明しませんけど
177: 2021/01/21(木)06:06 ID:n7iwyGVi(1/13) AAS
>>109
>（S_,σ,M),(T_,τ,M）を2つのアーベル群の層とする
>τ・φ=σ
>を満たす連続写像φ:S_→T_を層写像という。
>φ(S_P)⊂T_Pであり、
>σ,τが局所同相写像であることから、
>φも局所同相写像である。
開集合U⊂Mに対して、f∈Γ（U,S_）をとると、
τ・（φ・ｆ）＝σ・ｆ=id
によって、
省8
178: 2021/01/21(木)06:13 ID:n7iwyGVi(2/13) AAS
>>110
>層準同型写像φ:S_→T_の核KerφはS_の部分層である。
Kerφ=φ^(-1)(0)
０は、切断0∈Γ(M,T_)による、MのT_の中の像である
したがって０は、T_の開部分集合であるから、Kerφ⊂S_はS_の部分層
>またφの像ImφはT_の部分層である。
φは開写像であるから、φの像Imφ＝φ（S_）はT_の部分層
179(2): 2021/01/21(木)19:16 ID:n7iwyGVi(3/13) AAS
S_を位相空間M上の可換群の層
U_={U_α}をMの局所有限な開被覆とする。
被覆U_に従属する層S_に対する1の分割とは、
次のI,IIを満たすような層準同型写像
η_α:S_→S_の族である
I 全てのP∈M-U_αに対して
η_α(S_P)=0
II 任意のs∈S_に対して
Σα η_α(s)=s
U_は局所有限であるから、
省4
180(1): 2021/01/21(木)19:17 ID:n7iwyGVi(4/13) AAS
>>179
定理3.8
Kが開集合U∈C^nのコンパクトな部分集合とする。
このときC_n内にC~∞級（任意回微分された関数が連続）実数値関数f(z)が存在して、
次の性質を持つ。
f(z)
=1 (z∈K)
=w (0≦w≦1、z∈U−K)
=0 (z∈C^n−U)
定理3.9
省1
181: 2021/01/21(木)19:22 ID:n7iwyGVi(5/13) AAS
>>179-180
定理3.10
U_={U_α}を位相空間Mの局所有限な開被覆とし、
S_をM上の細層であるとする。
このとき、
H~q(U_,S_)=0 （すべてのq>0）
このことから、パラコンパクトなハウスドルフ空間Mの任意の細層について、
H~q(M,S_)=0 （すべてのq>0）
182(1): 2021/01/21(木)19:23 ID:ggUpRlbf(1) AAS
一意性がある前層が層なんだよね？。
183: 2021/01/21(木)19:30 ID:n7iwyGVi(6/13) AAS
位相空間M上の可換群の層S_の細分解とは、
次のような可換群の層の完全列である。
0→S_→S0_−(d0)→S1_−(d1)→S2_−(d2)→…
ここでSi_(i＝0,1,2,…)はすべて細層である。
各層準同型diに対して、開部分集合U(⊂M)上の切断の群へ誘導された準同型写像
d*i:Γ(U,Si_)→Γ(U,S(i+1)_)
が存在する。しかし、これらの群と準同型写像から作られる列は
一般には、完全列とはならない。
定理3.11
0→S_→S0_−(d0)→S1_−(d1)→S2_−(d2)→…
省2
184: 2021/01/21(木)19:38 ID:n7iwyGVi(7/13) AAS
>>182
>>104の完全準層が実は層です
185(1): 2021/01/21(木)20:34 ID:n7iwyGVi(8/13) AAS
M上で任意回の導関数が連続である関数の空間C~∞_M上に、
次のような１階線形偏微分作用素を導入する。
∂/∂z=(1/2)(∂/∂x-i∂/∂y)
∂/∂z~=(1/2)(∂/∂x+i∂/∂y)
複素数値関数fについて、コーシー・リーマンの方程式を満たすことは
以下の式が成り立つことと同値である
∂f/∂z~=0
写像
f→∂f/∂z~
は環C~∞_Mからそれ自身への準同型写像となる。
省10
186(2): 2021/01/21(木)20:38 ID:n7iwyGVi(9/13) AAS
>>185
定理3.12
Dが複素数平面Cの連結開部分集合で、
D~がコンパクトであり、
連結開部分集合Mに対して、D~⊂Mとする。
このときg∈C~∞_Mに対して、
∂f(z)/∂z~=g(z)
となるような関数f∈C~∞_Mが存在する。
187(2): 2021/01/21(木)20:44 ID:n7iwyGVi(10/13) AAS
>>186
定理3.12から、gが任意の点P∈CでのC~∞級関数の芽であれば、
点PにおけるC~∞級関数の芽fが存在して
∂f/∂z~=g
となる。よって、以下のような可換群の層の完全列が存在する。
0→O_→C~∞−(∂~)→C~∞→0
定理3.11の細分解と上のO_の細分解を比べると、∂~=d0に対応しているから、
定理3.11の直接の結果として、次の結果を得る。
系3.13（ドルボーの定理）
H~1(M,O_)≣Γ(M,C~∞)/∂/∂z~Γ(M,C∞)
省1
188(1): 2021/01/21(木)20:48 ID:n7iwyGVi(11/13) AAS
>>186-187
定理3.14
Mが複素数平面Cの連結開部分集合とし
g∈C~∞_Mとする。
このとき、全てのz∈Mに対して、
∂f(z)/∂z~=g(z)
となるような関数f∈C~∞_Mが存在する。
系3.15
Mが複素数平面Cの連結開部分集合であれば
H~q(M, O_)=0 (q≧1)
189: 2021/01/21(木)22:01 ID:n7iwyGVi(12/13) AAS
パラコンパクトなハウスドルフ空間Mの開被覆をU_=｛U_α｝とし、
U_0,…,U_qはU_0∩Ｕ_1∩…∩U_q≠φとし、
U_0∩Ｕ_1∩…∩U_q=|σ|とおく。
また、S_をM上の可換群の層とする。
このとき、全ての|σ|に対して
H~q(|σ|,S_) =0 （q≧1）
を満たすならば、
この開被覆U_=｛U_α｝を層S_に対するMのルレイ被覆という。
定理3.16 （ルレイの定理）
S_をパラコンパクトなハウスドルフ空間M上の可換群の層とする。
省12
190: 2021/01/21(木)22:03 ID:n7iwyGVi(13/13) AAS
これで層とコホモロジーは終わり
191: 2021/01/22(金)08:08 ID:kl+0ajN3(1/20) AAS
因子と直線束
因子
Mをある定まったリーマン面とし
O*_をどこでも0にならない正則関数の芽の層とし
M*_を恒等的には0にならない有理形関数の芽の層とする。
ともに、層の群構造は乗法であり
O*⊂M*
ここで商層
D_=M*_/O*_
を考える。
省2
192: 2021/01/22(金)08:08 ID:kl+0ajN3(2/20) AAS
ここでは複素１変数の場合について述べる
任意の芽f∈M_P*に対して
D_Pのfの同値類は、点Pにおける関数fの位数ν_P(f)によって
一意的に表現できる。
ν_P(f･g)=ν_P(f)+ν_P(g)
で、M*_Pの乗法構造は、位数ν_P(f)∈Zの加法構造に対応する。
ゆえに、茎
D_P=M*_P/O*_P
は、整数の加法群と同型である。
193: 2021/01/22(金)08:09 ID:kl+0ajN3(3/20) AAS
Mの開集合の基の上のM*_の切断の像を、
Dの開集合に対する基と定義することによって、
Dの位相を定める。
任意の開部分集合Uと任意の有理形関数f∈Γ(U,M*)に対して、
Dにおける像が関数fの因子である。
有理形関数fの位数は、正則関数の0点が孤立するということから、
U内の点の離散集合においてのみ0にならない。
そこでD内の開集合では、0でない整数のfの位数は、
開部分集合U⊂M内の点の離散集合に対してのみ現れる。
このような状態において、fの位数は
省7
194: 2021/01/22(金)08:09 ID:kl+0ajN3(4/20) AAS
有理形関数f∈Γ(U,M*)に対するfの因子をθ(f)で表す。
n_P(f)≠0であるPからなるUの離散集合に制限されることから
θ(f)=Σ(P∈U) n_P・P
となる。また
θ(f+g)=θ(f)+θ(g)
であり、f≣0なる関数については、θ(f)は定義しない。
U上の因子は、
ni≧0 ならば θ=Σi niPi≧0
で、定義する。
このとき、因子は半順序づけが可能になる。
省5
195: 2021/01/22(金)08:10 ID:kl+0ajN3(5/20) AAS
有理形関数fをその因子θ(f)に対応させる写像は、
層M*_から、その商層Dへの自然な準同型写像である。
θ:M*_→D
これは、以下の層の完全列の一部である。
0→O*_−(i)→M*_−(θ)→D→0
ここでiは自然な包含写像である。
196(1): 2021/01/22(金)08:21 ID:kl+0ajN3(6/20) AAS
定理4.1
Mがコンパクトでない2次元の多様体ならば
H~2(M,Z)=0
定理4.1を用いて以下の定理4.2が証明できる
定理4.2（ワイエルシュトラスの定理）
Mを複素数平面Cの任意の連結開部分集合とする。
このとき、次のような群の完全列が得られる。
0→Γ（M,O*_）−(i*)→Γ（M,M*_)−(θ*)→Γ(M,D)→0
0→O*_−(i)→M*_−(θ)→D→0
に対応する完全コホモロジー列は以下の通り
省4
197: 2021/01/22(金)08:34 ID:kl+0ajN3(7/20) AAS
>>196
H~1(M,O*_)≣H~2(M,Z) となること
>>111の層の完全列
0→Zー(ι)→O_−(e)→O*_→０
を用いる。
>>121の定理3.7により
上記の列に同伴するコホモロジー列は以下の通り
…→H~1(M,O_)→H~1(M,O* _)→H~2(M,Z)→H~2(M,O_)→…
>>188の系3.15から
H~1(M,O_)=H~2(M,O_)=0
省2
198(1): 2021/01/22(金)09:33 ID:kl+0ajN3(8/20) AAS
直線束
群H~1(M,O*_)をM上の複素直線束の群といい
コホモロジー類ξ∈H~1(M,O*_)をM上の複素直線束という。
任意の複素直線束ξ∈H~1(M,O*_)に対して、
Mの開集合に対する基U_={U_α}と、
そのコホモロジー類を代表するコサイクル
(ξ_αβ)∈Z~1(U_,O*_)を選ぶ
元ξ_αβは正則で、どこでも0にならない開集合
U_α∩U_βで定義された関数である。
このコサイクルの条件は以下の通り。
省21
199(1): 2021/01/22(金)10:16 ID:kl+0ajN3(9/20) AAS
層O(ξ)_はコホモロジー類ξの代表元の選び方によらずに決まる。
実際に同じコホモロジー元を代表する２つのコサイクルξ_αβ,ξ’_αβについて
U_α∩U_β上でh_j∈Γ（U_j,O_)(j∈α,β)が存在して,
ξ’_αβ＝h_α^(−1)ξ_αβh_β
と書ける、このことから、O(ξ)_とO(ξ’)_は同形となる。
準層{U_,S_α,ρ_αβ}は完全であるから、自然な同一視
Γ(U_α,O(ξ)_)＝S_α≣Γ(U_α,O_)
が存在する。
そこで、元f∈Γ(M,O(ξ))は、f_α∈Γ(U_α,O_)であり、
P∈U_α∩U_β ⇒ f_α(P)＝ξ_αβ(P)・f_β(P)
省6
200: 2021/01/22(金)10:25 ID:kl+0ajN3(10/20) AAS
群S'_α＝Γ(U_α,M_)について
{U_,S'_α,ρ_αβ｝を>>198と同様に構成していくと
これは完全準層になる。
この準層から誘導された層のことを
直線束ξの有理形横断的切断の芽の層といい
M(ξ)_で表す。
元f∈Γ(M,M(ξ))は、>>199と同様に、f_α∈Γ(U_α,M_)であり、
P∈U_α∩U_β ⇒ f_α(P)＝ξ_αβ(P)・f_β(P)
であるとき、集合{f_α}に対応している。
そして、これらの切断を直線束ξの有理形横断的切断という。
201: 2021/01/22(金)14:02 ID:kl+0ajN3(11/20) AAS
横断的切断f∈Γ(M,M*(ξ)_)に対して、
点Pにおけるfの位数とは、
P∈U_α ならば ν_P(f)=ν_P(f_α)
と定義された整数ν_P(f)である。
有理形関数{f_α}はξ_αβを
正則でどこでも0にならない関数
としたとき、
P∈U_α∩U_β⇒f_α(P)=ξ_αβ(P)・f_β(P)
を満たしており、ν_P(ξ_αβ)=0であるから
P∈U_α∩U_β⇒ν_P(f_α)=ν_P(f_β)
省10
202: 2021/01/22(金)14:02 ID:kl+0ajN3(12/20) AAS
定理4.5
Mがコンパクトなリーマン面
ξ∈H~1(M,O*_)とする。
このとき、コホモロジーH~q(M,O(ξ)_)(q=0,1)は
有限次元の複素ベクトル空間である。
これで因子と直線束は終わり
203(1): 2021/01/22(金)14:16 ID:kl+0ajN3(13/20) AAS
微分形式
ここでは実2次元多様体Mの場合のみ考える。
次数ｒの複素数値をとるC~∞微分形式の芽の層をE~r_で表す
このとき、開集合U⊂M上の微分形式のベクトル空間はΓ(U,E~r_)である。
r=0の場合、次数0の微分形式は関数であるから、
E~0_=C~∞
任意の座標近傍Uの中で、
(x,y)がU内の局所座標とし、P∈Uとすると、
任意の元φ∈E~1_Pは、ある芽f,g∈E~0_P=C~∞によって、
φ=fdx+gdy
省8
204(1): 2021/01/22(金)14:25 ID:kl+0ajN3(14/20) AAS
>>203
外微分作用素dとは層準同型写像
d:E~r_→E~(r+1)_
ここで、φ=fdx+gdyのとき、
dφ
=d(fdx+gdy)
=df∧dx+dg∧dy
=(f_xdx+f_ydy)∧dx+(g_xdx+g_ydy)∧dy
=(-f_y+g_x)dx∧dy
このときド・ラム列と呼ばれる完全列
省2
205: 2021/01/22(金)14:32 ID:kl+0ajN3(15/20) AAS
>>204
層E~r_は全て細層であるから
H~q(M,C)≣Ker d*_q/Im d*_(q-1) (q>0)
となる。ただし
d*_q:Γ(M,E~q_)→Γ(M,E~(q+1)_)
は外微分から導かれた切断の準同型である。
上記をド・ラムの定理という。
206: 2021/01/22(金)14:39 ID:kl+0ajN3(16/20) AAS
ポアンカレの双対定理
Mを向き付け可能な閉じた連結ｎ次元単体的多様体とする。このとき、
H~k(M,Z)≣H_(n-k)(M,Z)
Mがコンパクトな２次元多様体ならば、ポアンカレの双対定理を満たす
H~2(M,Z)≣H_0(M,Z)
Mの任意な2点をとると、それらはM内の折れ線で結べるので
H_0(M,Z)≣Z ∴H~2(M,Z)≣Z
このとき係数を複素数にとると
H~2(M,C)≣H_0(M,C)≣C ∴H~2(M,C)≣C
207: 2021/01/22(金)15:57 ID:kl+0ajN3(17/20) AAS
Mが複素構造を持つと仮定し、
点P∈Mの開近傍U_α内の座標関数
z_α=x_α+iy_αを選ぶ。
dz_α=dx_α+idy_α dz~_α=dx_α-idy_α
がE~0_P加群E~1_Pに対する新しい基をつくる。
すなわち
E~1_P=E~0_Pdz+E~0_Pdz~
E~1,0_P=E~0_Pdz_α E~0,1_P=E~0_Pdz~_α
と書くことにすると、
E~1_P=E~1,0_P+E~0,1_P
省4
208(1): 2021/01/22(金)16:18 ID:kl+0ajN3(18/20) AAS
外微分
d:E~0_→E~1_=E~1,0_+E~0,1_
を
∂:E~0,0_→E~1,0 ∂~:E~0,0→E~0,1
を用いて
d=∂+∂~
と表す
座標 z_α=x_α+iy_αと 関数 f(x,y)=f(z)に対して
df=∂f/∂x_αdx_α+∂f/∂y_αdy_α=∂f/∂zdz+∂f/∂z~dz~
が成り立つ。ここで
省8
209(1): 2021/01/22(金)16:40 ID:kl+0ajN3(19/20) AAS
>>208
ド・ラム列の∂と∂~による分解から
ドルボー列と呼ばれる層の完全列が取り出せる
0→O_→E~0,0_―(∂~)→E~0,1_→0
すべての層E~r,s_は細層であるから
定理3.11を用いると
H~1(M,O_)≣Γ(M,E~0,1_)/∂~Γ(M,E~0,0_)
H~q(M,O_)=0 (q≧2)
これをドルボーの定理という
210: 2021/01/22(金)16:47 ID:kl+0ajN3(20/20) AAS
>>209
さらに、以下のような層の完全列が存在する
0→O~1,0_→E~1,0_―(∂~)→E~1,1_→0
層O~1,0_をタイプ(1,0)の正則微分形式の芽の層
もしくはアーベル微分の芽の層と呼ぶ。
上記の層の切断は正則微分形式またはアーベル微分と呼ばれる
φがアーベル微分、すなわちfdz(f：正則)とすると
dφ=(∂+∂~)(fdz)=∂(fdz)+∂~(fdz)=0+0=0
となるので、閉微分形式である。
211: 2021/01/23(土)07:56 ID:4yxEGDqd(1/7) AAS
定理5.1
Ｍが任意のリーマン面であり、ξがＭの直線束ξならば、
H~1(M,O(ξ)_)≣Γ(M,E~0,1(ξ)_)/∂~Γ(M,E~0,0(ξ)_)
H~q(M,O(ξ)_)=0 (q≧2)
212: 2021/01/23(土)07:59 ID:4yxEGDqd(2/7) AAS
定理5.2（セールの双対定理）
Mをコンパクトなリーマン面
ξ∈H~1(M,O*_)をM上の任意の複素直線束とする。
このとき、ベクトル空間H~1(M,O*_)とH~0(M,O~1,0(ξ^(-1))_)は
互いに標準的双対であり、ゆえに同じ次元を持つ
213: 2021/01/23(土)08:02 ID:4yxEGDqd(3/7) AAS
κ∈H~1(M,O*)を標準直線束とする。
定理5.3
Mがコンパクトなリーマン面であり、
ξ∈H~1(M,O*_)がM上の任意の直線束であるとする。
このとき、2つのベクトル空間H~1(M,O(ξ))とH~0(M,O(κξ^(-1)))は
互いに標準的双対である
214: 2021/01/23(土)10:15 ID:4yxEGDqd(4/7) AAS
特性類
>>111の完全列を考える
0→Zー(ι)→O_−(e)→O*_→０
準同型ｅはe(f)=exp(2πif)である。
上記に同伴する完全コホモロジー列は以下の通り
H~1(M,Z)→H~1(M,O_)→H~1(M,O*_)→H~2(M,Z)−(φ*)→H~2(M,O_)
>>187 系3.13よりH~2(M,O_)＝０であるから
上記の列は以下のように書き換えられる。
0→H~1(M,O_)/H~1(M,Z)→H~1(M,O*_)→H~2(M,Z)−(φ*)→0
上記の列の中に現れている双対境界輪体準同型ｃ
省4
215: 2021/01/23(土)10:25 ID:4yxEGDqd(5/7) AAS
定理6.1
(ξ_αβ)∈Z~1(U,O*_)が、ある直線束ξを表現し、
{r_α}が開集合U_α内で定義されたどこでも0にならないC~∞関数で、
P∈U_α∩U_β に対して r_α(P)=r_β|ξ_βα(P)|^2
を満たすものとする。
このとき、
φ=(1/2πi)∂∂~log(r_α)∈Γ(M,E~2_)
は、M上に定義された微分形式であり
c(ξ)=∫∫M φ=(1/2πi)∫∫M ∂∂~log(r_α)
となる。
216: 2021/01/23(土)10:33 ID:4yxEGDqd(6/7) AAS
定理6.2
あるコンパクトなリーマン面M上の
任意の直線束 ξ∈H~1(M,O*) と
任意の自明でない横断的切断 f∈Γ(M,M*(ξ))に対して
c(ξ)=Σ(P∈M) ν_P(f)
ただし、ν_P(f)は点P∈Mにおける横断的切断fの位数
系
ξ∈H~1(M,O*) がコンパクトなリーマン面上の
c(ξ)<0を満たすような直線束とすると、
層O(ξ)_の自明でない横断的切断は存在しない
省1
217: 2021/01/23(土)14:19 ID:4yxEGDqd(7/7) AAS
Mをコンパクトなリーマン面とし、
直線束ξ∈H~1（M,O*_)を考える。
χ(ξ)=dim H~0(M,O(ξ)_)-dim H~1(M,O(ξ)_)-c(ξ)
とおく。
上記は定数であり、直線束ξの選び方によらず定まる。
アーベル微分の空間の次元
g=dim Γ(M,O~1,0_)
を面Mの種数と呼ぶ。
2g=dim H~1(M,C)
である。
省6
218: 2021/03/05(金)11:40 ID:2mzS1rcJ(1) AAS
Silvermanは良い
これだけ多くのことを一冊にまとめてある本はなかなかない
219: 2021/03/25(木)14:19 ID:ffW29Dvj(1) AAS
Kempf, "Complex Abelian Varieties and Theta functions"が良さそう
220: 2022/05/09(月)23:28 ID:raSoxyJQ(1) AAS
テスト
これで大丈夫かな
221: 2022/05/09(月)23:29 ID:ZjJALcFB(1) AAS
Abel多様体はC上だけ勉強するのでもMumfordの1章がわかり易いと感じる
222: 2022/12/21(水)23:03 ID:F669Iarw(1) AAS
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省2
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