[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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42(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/27(月)21:41 ID:slbIBvLt(1/6) AAS
>>39 補足
外部ﾘﾝｸ[pdf]:arxiv.org
Filters and Ultrafilters in Real Analysis 2012
Max Garcia Mathematics Department California Polytechnic State University
Abstract
We study free filters and their maximal extensions on the set of natural numbers.
We characterize the limit of a sequence of real numbers in terms of the Fr´echet filter, which involves only one quantifier as opposed to the three non-commuting quantifiers in the usual definition.
We construct the field of real non-standard numbers and study their properties.
We characterize the limit of a sequence of real numbers in terms of non-standard numbers which only requires a single quantifier as well.
We are trying to make the point that the involvement of filters and/or non-standard numbers leads to a reduction in the number of quantifiers and hence, simplification, compared to the more traditional ε, δ-definition of limits in real analysis.
省17
43: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/27(月)21:45 ID:slbIBvLt(2/6) AAS
>>42
これは、 フレシェ・フィルターなどを使う”non-standard numbers”、いわゆる超準解析についての論文ですね
46(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/27(月)23:02 ID:slbIBvLt(4/6) AAS
>>42
例えば
”We are trying to make the point that the involvement of filters and/or non-standard numbers leads to a reduction in the number of quantifiers and hence, simplification, compared to the more traditional ε, δ-definition of limits in real analysis.”
ってあるよね
つまり、
”traditional ε, δ-definition of limits in real analysis”
に対して、Frechet Filter とか、 Ultrafiltersとかを使って、
”Non-Standard Characterization of Limits in R”（いわゆる超準解析）
を展開することを論じている
「同値関係を別の方法で再定義するってだけ」？
省2
50(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/27(月)23:44 ID:slbIBvLt(6/6) AAS
>>49 タイポ訂正
「ランダムな可算無限数列のシッポの箱を開けたら、開けたところの直前のまだ開けていない箱が、確率99％で的中できる」というデタラメ命題が主張するけど
↓
「ランダムな可算無限数列のシッポの箱を開けたら、開けたところの直前のまだ開けていない箱が、確率99％で的中できる」というデタラメ命題が主張するけど
追加
”On the set N of natural numbers, the set of infinite intervals B = { (n,∞) : n ∈ N} is a Frechet filter base,”
って、”the set of infinite intervals B = { (n,∞) : n ∈ N}”って、フレシェ・フィルターに”∞”使われていますよｗｗｗ（＾＾
当然だけどな
超準（ノンスタ）だから、
（>>42より）
省2
54(2): 2020/07/28(火)11:04 ID:U9fCF8yb(1/6) AAS
>>42
補足
下記PDFで
”This new system would be constructed in a manner similar to Cauchy’s construction of the real numbers”
”Let us consider the factor ring
R~^N = R^N/ 〜Fr
where 〜Fr is the equivalence relation defined by
(an)〜Fr(bn) if and only if {n : an = bn} ∈ Fr.
This is no different to saying that (an) is equivalent to (bn) if and only if
an = bn for all sufficiently large n. ”
省25
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