IUTを読むための用語集資料集スレ

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554: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/20(火) 08:06:28.04 ID:V6fYxSC9

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/541 IUT と ABC予想 (応援スレ) 49

>※ We have also found the synthetic and selfcontent [Yam17] to be particularly helpful as a bridge between [Alien] and the “canon”.

“canon”：(正典) IUT論文1〜4 みたいだね（＾＾；

（参考）
https://ejje.weblio.jp/content/canon
canonとは weblio
主な意味
教会法、教会法令集、(倫理・芸術上の)規範、規準、(聖書外典 に対して)正典

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元
Online Seminar - Algebraic & Arithmetic Geometry
Laboratoire Paul Painleve - Universite de Lille, France
(抜粋)
P2
※ In order to keep the length of this guide (incl. 〜 25 tables, figures, and diagrams) strictly shorter than the IUT corpus
- 〜 1200 pages with a piece of anabelian geometry, 〜 675 pages for the canon, and 〜 170 pages for the introductory [Alien]
- some details have been omitted, some approximations were made; they should be negligible for our goal. Content will be
updated according to the progress of the seminar, see version and date.

P3
Within the “canon” [IUTChI]-[IUTChIV], our recommendation is to start with [IUTChIII]
§Introduction. Intuition of the reader can further rely on the strongly consistent terminology of IUT -
e.g. Frobenioid, mono-anabelian transport, arithmetic analytic.

※ Hodge-Arakelov and p-adic Teichmuller theories stand as important models for IUT, which also relies on key
categorical constructions - e.g. Frobenioids and anabelioids. These aspects are not included in this programme
- we refer to [Alien] and the canon for references - they can be the object of additional talks by specialists.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/554

555: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/20(火) 08:07:05.29 ID:V6fYxSC9

>>554
つづき
>※ We have also found the synthetic and selfcontent [Yam17] to be particularly helpful as a bridge between [Alien] and the “canon”.

そうか、この[Alien]っていうのが、重要な論文なんだね〜（＾＾
P4
[Alien]：
[Alien] S. Mochizuki, “The mathematics of mutually alien copies: From Gaussian integrals to Inter-universal
Teichmuller theory,” RIMS Preprint no. 1854, 169p. Jul. 2016, Eprint available on-line.

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月 論文

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
[7] The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory. PDF
　　NEW !! (2020-04-04)

Abstract
Inter-universal Teichm¨uller theory may be described as a construction of certain
canonical deformations of the ring structure of a number field
equipped with certain auxiliary data, which includes an elliptic curve over the number field
and a prime number ? 5. In the present paper, we survey this theory by focusing on the
rich analogies between this theory and the classical computation of the Gaussian integral.
The main common features that underlie these analogies may be summarized as follows:
・ the introduction of two mutually alien copies of the object of interest;
・ the computation of the effect -i.e., on the two mutually alien copies of the object of interest -of two-dimensional changes of coordinates by considering the effect on infinitesimals;

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/555

556: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/20(火) 08:07:21.50 ID:V6fYxSC9

>>555
つづき

・ the passage from planar cartesian to polar coordinates and the resulting splitting, or decoupling, into radial -i.e., in more abstract valuation-theoretic terminology, “value group” -and angular -i.e., in more abstract valuation-theoretic terminology, “unit group” -portions;
・ the straightforward evaluation of the radial portion by applying the quadraticity of the exponent of the Gaussian distribution;
・ the straightforward evaluation of the angular portion by considering the metric geometry of the group of units determined by a suitable version of the natural logarithm function.

[Here, the intended sense of the descriptive “alien” is that of its original Latin root, i.e., a
sense of abstract, tautological “otherness”.] After reviewing the classical computation
of the Gaussian integral, we give a detailed survey of inter-universal Teichm¨uller theory by
concentrating on the common features listed above. The paper concludes with a discussion
of various historical aspects of the mathematics that appears in inter-universal Teichm¨uller theory.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/556

558: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/20(火) 17:30:57.91 ID:lsCoo7pb

自分のことを言っているのか？
いや、もちろん、俺には分からんよ
なにせ、何年か前だが、ブライアンコンラッドとキランケドラヤが（下記）、IUTが分からん・読めない と言っていんだからね

そんなものが、簡単に分かるとは思わないけど、
読める範囲で読めばいいんでない？（＾＾；
お話としてね。数学ではなく、この人の良いたことは、何かな？ってね

おサルの間違いは、数学の定義から読もうとすることだよ。それだと、一歩も前に進めないじゃんか！　あなたにはねｗｗｗ
そんな読み方は、おサルには、無理だよ
だって、あんた、ブライアンコンラッドやキランケドラヤの足元にも及ばないじゃん、数学レベルがよ〜ｗｗ（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Brian_Conrad
Brian Conrad
Brian Conrad (born November 20, 1970), is an American mathematician and number theorist, working at Stanford University. Previously, he taught at the University of Michigan and at Columbia University.
Conrad and others proved the modularity theorem, also known as the Taniyama-Shimura Conjecture. He proved this in 1999 with Christophe Breuil, Fred Diamond and Richard Taylor, while holding a joint postdoctoral position at Harvard University and the Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey.

https://en.wikipedia.org/wiki/Kiran_Kedlaya
Kiran Sridhara Kedlaya (/?k?r?n ??ri?d?r k?d?l??j?/;[2] born July 1974) is an Indian American mathematician. He currently is a Professor of Mathematics and the Stefan E. Warschawski Chair in Mathematics[3] at the University of California, San Diego.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/558

573: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/21(水) 07:43:22.01 ID:edwEsTDy

>>571-572
意味わからん
・二つの例を挙げよう
　１）谷山志村予想の解決、２）ペレルマンによるポアンカレ予想の解決
・この二つの例を理解するのに、原論文を読む必要は、必ずしもないと思う。実際、プロ数学者であっても、その道の専門家以外は、原論文を読む人は少ないだろうし、この二つとも原論文を読んで理解したという数学者も寡少だろう
・と、同様に、普通の人間が、ＩＵＴの原論文を、その定義から、読む必要はないと思うよ。下記の程度を理解していれば、十分だ。が、いまＩＵＴにはそういう解説がない。そのうちに出てくる。いま、進行形だよ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E2%80%93%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%88%E6%83%B3
谷山?志村予想
谷山・志村予想は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーである」という主張であり、アンドリュー・ワイルズとその弟子クリストフ・ブロイル、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーらによって証明された
今日ではモジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれ、数論における一つの帰結と考えられている。ワイルズは半安定楕円曲線における谷山・志村予想を証明することで、フェルマーの最終定理も証明した
モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズによるより一般的な予想の特別な場合でもある。ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現（適切なモジュラ形式の一般化）を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論的代数幾何学の対象へ関連付けようとする。拡張された予想のうち、ほとんどのケースは未だ証明されていないが、Freitas, Le Hung & Siksek (2015) が実二次体上定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincare conjecture）とは、数学の位相幾何学における定理の一つである。3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は
単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である
というものである[1][2]。現在まで7つのミレニアム懸賞問題のうち唯一解決されている問題である。
目次
3 幾何化予想とペレルマン

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/573

582: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/23(金) 14:35:40.47 ID:rhS5R/Tz

・2012年に望月先生が、IUTをホームページに発表した
・ その後、2013年06月に、望月先生が、東大で、宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》 の講演をした（下記）
・あれから、７〜８年経つ。が、東大の数学科、学生 修士 博士課程 ポスドク あるいはそれ以上で
　IUTの原論文を読んで、「分かった〜！」とか「ダメだ！」とか、公言した人皆無です
・まあ、IUTの原論文をその定義から読むのは、東大数学科の学生〜教員とて簡単ではないってことでしょうね
　（実際、海外でも「よめねぇ〜」というプロ数学者多数）
・その中で、「PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元」の参加者を見ると、東工大の人多い
・全くの想像だが、東工大に査読者に選ばれた人がいて、内部でIUTゼミでもやって、多人数で査読したのかもね
　そうでもしないと、あんな600ページもの論文で、しかも準備の論文が同じく数百ページとか、一人で査読なんて、きっとたまらん、やってられんぜ と思うよ（＾＾

なので、自称東大数学科出身のおサルと言えど、本物の東大数学科の学生、院生、教員が読めないのだから、読めないのを 恥じることもあるまいｗｗｗ
（なお かくいう私は、IUTは斜めにしか読まない。私には、そんな論文は 最初からなど読めるはずがないでしょ！！　（＾＾；　）

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月出張講演

[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》 （東京大学 2013年06月） PDF http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(kakudaiban).pdf

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/582

590: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/24(土) 20:34:10.29 ID:i6I9Q5ne

純粋・応用数学(含むガロア理論)5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/156
>>149 補足

”http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元
のP3で、Fig. 1. IUT, Topics & References as potential entry points.
があるよね
その図で、一番外のリングで灰色部分が、[Alien]：
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
[7] The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory. PDF”

補足します（＾＾
・Fig. 1（IUT曼荼羅）で、同心円 一番外が[Alien]、以下中心に向けて、IUT1〜4があり、IUT4が一番内側
・外周は、ほぼ6等分され、頂点から右回りの各ゾーンで、1)IUT Geometry、2)Diophantine [GenEII]、3)Anabelian [AbTopIII]、4)Geometrical [IUTChII]、5)Category [Fr]-[An]、6)Meta-Abelian Theta [EtTh]
　と記されている
・そして、各ゾーンで白抜きで、プランクの箇所がところどころある。この部分、”無し”ってこと。
　例えば、IUT4が関連するのは２つのゾーン、IUT GeometryゾーンとDiophantineゾーンのみ
・で、一番外が[Alien]のさらに外が、従来の数学界ってことなのでしょうね〜ｗ
・”※ We have also found the synthetic and selfcontent [Yam17] to be particularly helpful as a bridge between [Alien] and the “canon”.”
　とあるから、 [Alien] 読むのが良さそうってこと

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E8%8D%BC%E7%BE%85
曼荼羅
密教の経典にもとづき、主尊を中心に諸仏諸尊の集会(しゅうえ)する楼閣を模式的に示した図像[1]。ほとんどの密教経典は曼荼羅を説き、その思想を曼荼羅の構造によって表す[2]ので、その種類は数百にのぼる。古代インドに起源をもち、中央アジア、日本、中国、朝鮮半島、東南アジア諸国などへ伝わった。
日本では、密教の経典・儀軌に基づかない、神仏が集会(しゅうえ)する図像や文字列にも、曼荼羅の呼称を冠する派生的な用法が生じた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/590

591: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/24(土) 22:10:23.94 ID:i6I9Q5ne

純粋・応用数学(含むガロア理論)5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/162
162 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/10/24(土) 20:50:21.67 ID:qKLszrb1 [26/26]
>>156
>The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory.

IUTで度々、ガウス積分が出て来て、なんか唐突だな、と感じてたけど
たまたまウィキペディアのガウス和のページを見て
そこに以下の式が書いてあったので「ああ、これか！」と気づいたんだよね
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ガウス和の別の表現は、次のようなものである：
Σr e^(2πir^2/p)
二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%92%8C
ガウス和

ガウス和（ガウスわ、英: Gauss sum）あるいはガウスの和とは、ある特別な1の冪根の有限和である。

ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。

このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L(s, χ) と L(1 ? s, χ￣) を関連付ける方程式が
G(χ) /|G(χ)|
を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし χ￣ は χ の複素共役である。

歴史
このガウス和の別の表現は、次のようなものである：
Σ{r} e^{2πir^2}/p}
二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/591

592: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 09:22:48.97 ID:eIdDsFH8

>>590
メモ貼る
（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichm¨uller Theory By Shinichi Mochizuki
Received xxxx xx, 2016. Revised xxxx xx, 2020
(抜粋)
Contents
§ 2. Changes of universe as arithmetic changes of coordinates

§ 2.1. The issue of bounding heights: the ABC and Szpiro Conjectures
A brief exposition of various conjectures related to this issue of bounding heights of rational points may be found in [Fsk], §1.3. In this context, the case where the algebraic
curve under consideration is the projective line minus three points corresponds most
directly to the so-called ABC and − by thinking of this projective line as the “λ-line”
that appears in discussions of the Legendre form of the Weierstrass equation for an
elliptic curve − Szpiro Conjectures. In this case, the height of a rational point may
be thought of as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of
the elliptic curve determined by the rational point at the nonarchimedean primes of potentially multiplicative reduction [cf. the discussion at the end of [Fsk], §2.2; [GenEll],
Proposition 3.4]. Here, it is also useful to recall [cf. [GenEll], Theorem 2.1] that, in the
situation of the ABC or Szpiro Conjectures, one may assume, without loss of generality,
that, for any given finite set Σ of [archimedean and nonarchimedean] valuations of the
rational number field Q,
the rational points under consideration lie, at each valuation of Σ, inside some
compact subset [i.e., of the set of rational points of the projective line minus
three points over some finite extension of the completion of Q at this valuation]
satisfying certain properties.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/592

593: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 09:23:08.65 ID:eIdDsFH8

>>592
つづき
In particular, when one computes the height of a rational point of the projective line
minus three points as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of
the corresponding elliptic curve, one may ignore, up to bounded discrepancies, contributions to the height that arise, say, from the archimedean valuations or from the
nonarchimedean valuations that lie over some “exceptional” prime number such as 2.

§ 2.2. Arithmetic degrees as global integrals

§ 2.7. The apparatus and terminology of mono-anabelian transport
Example 2.6.1 is exceptionally rich in structural similarities to inter-universal
Teichm¨uller theory, which we proceed to explain in detail as follows. One way to understand these structural similarities is by considering the quite substantial portion of
terminology of inter-universal Teichm¨uller theory that was, in essence, inspired by
Example 2.6.1:
(i) Links between “mutually alien” copies of scheme theory: One central
aspect of inter-universal Teichm¨uller theory is the study of certain “walls”, or “filters”
− which are often referred to as “links” − that separate two “mutually alien”
copies of conventional scheme theory [cf. the discussions of [IUTchII], Remark
3.6.2; [IUTchIV], Remark 3.6.1]. The main example of such a link in inter-universal
Teichm¨uller theory is constituted by [various versions of] the Θ-link. The log-link also
plays an important role in inter-universal Teichm¨uller theory. The main motivating
example for these links which play a central role in inter-universal Teichm¨uller theory
is the Frobenius morphism ΦηX of Example 2.6.1. From the point of view of the
discussion of §1.4, §1.5, §2.2, §2.3, §2.4, and §2.5, such a link corresponds to a change of coordinates.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/593

594: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 09:23:32.03 ID:eIdDsFH8

>>593
つづき

§ 2.10. Inter-universality: changes of universe as changes of coordinates
One fundamental aspect of the links [cf. the discussion of §2.7, (i)] − namely, the
Θ-link and log-link − that occur in inter-universal Teichm¨uller theory is their incompatibility with the ring structures of the rings and schemes that appear in their
domains and codomains. In particular, when one considers the result of transporting
an ´etale-like structure such as a Galois group [or ´etale fundamental group] across such
a link [cf. the discussion of §2.7, (iii)], one must abandon the interpretation of such
a Galois group as a group of automorphisms of some ring [or field] structure [cf.
[AbsTopIII], Remark 3.7.7, (i); [IUTchIV], Remarks 3.6.2, 3.6.3], i.e., one must regard
such a Galois group as an abstract topological group that is not equipped with any
of the “labelling structures” that arise from the relationship between the Galois group
and various scheme-theoretic objects. It is precisely this state of affairs that results in
the quite central role played in inter-universal Teichm¨uller theory by results in
[mono-]anabelian geometry, i.e., by results concerned with reconstructing
various scheme-theoretic structures from an abstract topological group that “just
happens” to arise from scheme theory as a Galois group/´etale fundamental group.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/594

595: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 09:23:50.10 ID:eIdDsFH8

>>594
つづき

In this context, we remark that it is also this state of affairs that gave rise to the term
“inter-universal”: That is to say, the notion of a “universe”, as well as the use of
multiple universes within the discussion of a single set-up in arithmetic geometry, already
occurs in the mathematics of the 1960’s, i.e., in the mathematics of Galois categories
and ´etale topoi associated to schemes. On the other hand, in this mathematics of the
Grothendieck school, typically one only considers relationships between universes − i.e.,
between labelling apparatuses for sets − that are induced by morphisms of schemes, i.e.,
in essence by ring homomorphisms. The most typical example of this sort of situation
is the functor between Galois categories of ´etale coverings induced by a morphism of
connected schemes. By contrast, the links that occur in inter-universal Teichm¨uller
theory are constructed by partially dismantling the ring structures of the rings in their
domains and codomains [cf. the discussion of §2.7, (vii)], hence necessarily result in
much more complicated relationships between the universes − i.e., between the labelling apparatuses for sets − that are adopted in the Galois categories that occur in the domains and codomains of these links, i.e., relationships that do not respect the various labelling apparatuses for sets that arise
from correspondences between the Galois groups that appear and the respective
ring/scheme theories that occur in the domains and codomains of the links.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/595

596: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 09:24:07.43 ID:eIdDsFH8

>>595
つづき

That is to say, it is precisely this sort of situation that is referred to by the term
“inter-universal”. Put another way,
a change of universe may be thought of [cf. the discussion of §2.7, (i)] as
a sort of abstract/combinatorial/arithmetic version of the classical notion
of a “change of coordinates”.
In this context, it is perhaps of interest to observe that, from a purely classical point of
view, the notion of a [physical] “universe” was typically visualized as a copy of Euclidean
three-space. Thus, from this classical point of view,
a “change of universe” literally corresponds to a “classical change of the coordinate system − i.e., the labelling apparatus − applied to label points in
Euclidean three-space”!
Indeed, from an even more elementary point of view, perhaps the simplest example of the
essential phenomenon under consideration here is the following purely combinatorial
phenomenon: Consider the string of symbols
010
− i.e., where “0” and “1” are to be understood as formal symbols. Then, from the
point of view of the length two substring 01 on the left, the digit “1” of this substring
may be specified by means of its “coordinate relative to this substring”, namely, as the
symbol to the far right of the substring 01. In a similar vein, from the point of view of
the length two substring 10 on the right, the digit “1” of this substring may be specified
by means of its “coordinate relative to this substring”, namely, as the symbol to the far
left of the substring 10. On the other hand,
neither of these specifications via “substring-based coordinate systems”
is meaningful to the opposite length two substring; that is to say, only the
solitary abstract symbol “1” is simultaneously meaningful, as a device
for specifying the digit of interest, relative to both of the “substring-based coordinate systems”.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/596

597: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 09:24:26.06 ID:eIdDsFH8

>>596
つづき

Finally, in passing, we note that this discussion applies, albeit in perhaps a somewhat
trivial way, to the isomorphism of Galois groups ΨηX : GK〜→ GK induced by the
Frobenius morphism ΦηX in Example 2.6.1, (i): That is to say, from the point of view
of classical ring theory, this isomorphism of Galois groups is easily seen to coincide with
the identity automorphism of GK. On the other hand, if one takes the point of view
that elements of various subquotients of GK are equipped with labels that arise from
the isomorphisms ρ or κ of Example 2.6.1, (ii), (iii), i.e., from the reciprocity map of
class field theory or Kummer theory, then one must regard such labelling apparatuses
as being incompatible with the Frobenius morphism ΦηX . Thus, from this point
of view, the isomorphism ΦηX must be regarded as a “mysterious, indeterminate
isomorphism” [cf. the discussion of §2.7, (iii)].
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/597

598: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 10:36:05.31 ID:eIdDsFH8

>>592
"Szpiro Conjectures. In this case, the height of a rational point may
be thought of as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of
the elliptic curve determined by the rational point at the nonarchimedean primes of potentially multiplicative reduction [cf. the discussion at the end of [Fsk], §2.2; [GenEll],”

”q-parameter”：多分下記の楕円テータ関数 「q = e^2πiτ」だろうね（＾＾；
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/
Yuji Tachikawa 立川裕二
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/
List of lectures
(抜粋)
・2016年10月 場の量子論の数学と二次元四次元対応 (第67回「数学との遭遇」中央大) [詳細]
・2012年5月 数学者のための場の理論 (駒場) [講義ノート]
・2012年10月 数学者のための超対称場の理論 (京都大) [講義のページ]
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/2014-butsurisuugaku2/
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/2014-butsurisuugaku2/notes.pdf
物理数学II (2014)講義ノート
(抜粋)
P14
楕円テータ関数
昔は q = e^πiτ
最近は (すくなくとも純粋数学および弦理論では)
q = e^2πiτ。
Mathematica はまだ前者の定義。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
テータ関数
楕円テータ関数の定義
楕円テータ関数（だえんテータかんすう、英: elliptic theta function）は、以下のように定義された関数である[10][9]。 ただし、Im τ >0, q:=e^πiτ である。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/598

602: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 17:08:18.11 ID:eIdDsFH8

>>601
>q-parameters

モジュラー形式のq-展開 q = exp(2πiz) と同様か
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F
モジュラー形式
(抜粋)
モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。

例
格子上の函数としての扱い
重さ k のモジュラー形式は複素数全体の成す集合 C における格子 Λ の集合上の函数 F で条件
1.格子 ?α, z? が定数 α と変数 z で生成されるならば、F(Λ) は z の解析函数である。
2.α が 0 でない複素数で、αΛ を Λ の各元に α を掛けることによって得られる格子とするとき、F(αΛ) = α?kF(Λ) を満たす。
3.F(Λ) の絶対値は、 Λ の 0 でない最小の元の 0 からの距離が有界である限りにおいて、有界である。
をみたすものとして考えることができる。k = 0 のとき、条件 2 は F が格子の相似類にしか依らないことを言っている。条件 3 をみたす重さ 0 のモジュラー形式は定数関数のみである。条件 3 を外して、函数が極を持つことを許せば、荷重 0 の場合の例としてモジュラー函数と呼ばれるものを考 えることができる。

このように定めたモジュラー形式 F を複素一変数の函数に変換するのは簡単で、z = x + iy で y > 0 かつ f(z) = F(?1, z?) とすればよい（y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える）。前節の条件 2 はここでは、（モジュラー群の作用として）整数 a, b, c, d で ad ? bc = 1 を満たすものに対する函数等式
f(az+b / cz+d)=(cz+d)^kf(z)
となる。たとえば
f(-1/z)=F(1,-1/z)=z^kF( z,-1)=z^kF( 1,z )=z^kf(z)
などである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/602

603: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 17:08:33.90 ID:eIdDsFH8

つづき

モジュラー曲線上の函数としての扱い
C の格子 Λ は C 上の楕円曲線 C/Λ を決定する。上で格子の集合上の函数とみなせることを説明したが、同じように楕円曲線の集合の上の函数ともみなすことができる。このようにして、モジュラー形式はモジュラー曲線の上の直線束の切断と考えることができる。たとえば、楕円曲線の j-不変量はモジュラー曲線の有理関数体の生成元である。
直線束の切断としての解釈は次のように説明できる。ベクトル空間 V にたいし射影空間 P(V) 上の函数を考える。V 上の函数 F で V の元 v ≠ 0 の成分の多項式であって、等式 F(cv) = F(v) を 0 でない任意のスカラー c についてみたすようなものを考えると、そのようなものは定数函数しか存在しない。条件をゆるめて多項式の代わりに分母をつけて有理函数を考えれば、F として同じ次数のふたつの斉次多項式の比とすることができる。あるいは F は多項式のままにしておいて、定数 c に関する条件を F(cv) = ckF(v) と緩めれば、そのような函数は k 次の斉次多項式である。斉次多項式の全体は実際には P(V) 上の函数ではないのだから、P(V) の函数が記述する幾何学的な内容を、本当に斉次多項式が記述できるのかと考えるのは自然である。これは代数幾何学において層（この場合は直線束）の切断を考える事に相当する。これは、モジュラー形式についての状況とちょうど対応する話になっている。

例
テータ函数
θ_L(z)=Σ_{λ ∈ L} e^πi|λ|^2 z
は、ポアソン和公式により重さ n/2 のモジュラー形式である。
偶ユニモジュラー格子を構成するのは容易ではないが、次のような構成法がある。n を 8 で割れる整数とし、Rn のベクトル v で、 2v の各成分が全て偶数あるいは全て奇数であり、かつ v の成分の和が偶数、となるようなもの全てを考える。このような格子を Ln とする。n = 8 のとき、これは E8 と呼ばれるルート系のルートによって張られる格子である。 格子 L8 × L8 と L16 は相似ではないが、重さ 8 のモジュラー形式はスカラー倍の違いを除いてただひとつしかないため、
θ_L8ｘ L8(z)=θ_L_16(z)
となることがわかる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/603

604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 17:08:47.06 ID:eIdDsFH8

つづき

モジュラー函数
複素変数複素数値の函数 f がモジュラーである、あるいはモジュラー函数とは、以下の条件

f は上半平面 H 上で有理型である;
モジュラー群 Γ に属する任意の行列 M に対して f(Mτ) = f(τ) を満たす;
f のフーリエ級数は
f(τ )=Σ_{n=-m}-{∞}a(n)e^{2iπ nτ}
の形に表され、これは下に有界、つまり e2iπτのローラン多項式であり、したがって尖点においても有理型である
を満たすものを言う。任意のモジュラー函数がクラインの絶対不変量 j (τ) の有理函数として表され、また j (τ) の有理函数がモジュラー函数となることが示せる。さらに、任意の解析的モジュラー函数はモジュラー形式となるが、逆は必ずしも成り立たないことも示される。モジュラー函数 f が恒等的に 0 でないならば、基本領域 RΓ の閉包における f の零点の個数と極の個数とは一致する。

一般レベルのモジュラー形式
q-展開
モジュラー形式の q-展開 (q-expansion)[note 2] はカスプにおけるローラン級数、あるいは同じことだが（ノーム(nome)の平方）q = exp(2πiz) のローラン級数として表されるフーリエ級数である。実際、複素函数 "exp" はガウス平面上では消えないので q ≠ 0 だが、実軸の負の部分に沿って w → ?∞ とした極限で exp(w) → 0 なので、2πiz → ?∞ すなわち虚軸の正の部分に沿って z → i?∞ とした極限で q → 0 である。したがって、q-展開はカスプにおけるローラン級数になっている。
「カスプにおいて有理型」というは、負冪の項の係数のうち 0 でないものが有限個しかないという意味であり、したがって q-展開
f(z)=Σ_{n=-m}-{∞} c_{n}exp(2π inz)=Σ_{n=-m}-{∞}c_{n}q^n.
は下に有界かつ q = 0 において有理型である。ここに、係数 cn は f のフーリエ係数であり、整数 m は f の i?∞ における極の位数である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/604

606: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/25(日) 19:37:18.79 ID:eIdDsFH8

>>602
>>q-parameters
>モジュラー形式のq-展開 q = exp(2πiz) と同様か

補足
モジュラリティ定理 q=e^{2πiτ}
「N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる）」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E2%80%93%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%88%E6%83%B3
谷山?志村予想
(抜粋)
谷山・志村予想は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーである」という主張であり、アンドリュー・ワイルズとその弟子クリストフ・ブロイル（英語版）、ブライアン・コンラッド（英語版）、フレッド・ダイアモンド（英語版）、リチャード・テイラーらによって証明された。

今日ではモジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれ、数論における一つの帰結と考えられている。ワイルズは半安定楕円曲線における谷山・志村予想を証明することで、フェルマーの最終定理も証明した。

谷山・志村予想の内容
谷山・志村予想とは、任意の Q 上の楕円曲線は、ある整数 N に対する古典的モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve)
X_0(N)
からの整数係数を持つ有理写像（英語版）(rational map)を通して得ることができる。この曲線には明示的に定義が与えられ、整数係数を持つ。Level N のモジュラのパラメタ表示と呼ばれる。N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる）であれば、このパラメタ表示は、Weight 2 とLevel N の特殊なモジュラ形式、すなわち、（必要であれば同種に従い）正規化された 整数のq-展開をもつ新形式（英語版）(newform)の生成する写像として、定義される。

モジュラリティ定理は、次の解析的なステートメントと密接に関連する。Q 上の楕円曲線 E に楕円曲線のL-函数を対応させる。このL-函数は、ディリクレ級数であり、
L(s,E)=Σ _{n=1}-{∞} {a_n}/{n^s}
と表すことができる。
従って、係数  a_n}a_n の母函数は、
f(q,E)=Σ _{n=1}-{∞ } a_n q^n}
である。
q=e^{2πiτ}
を代入すると、複素変数 τ の函数  f(τ ,E) のフーリエ展開の形に書くことができ、従って、q-展開の係数は  f のフーリエと考えることができる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/606

615: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/26(月) 15:28:48.85 ID:QIBqk23Y

>>614
あと、補足しておくと
１．数学屋が、世の中で一番えらいなんてこれっぽちも思っていない
２．と同様に、数学さまさま”なんてことも、思っていない
３．実際、数学だけなら、例えば下記のコロナの富岳のシミュレーション、数学だけではできないよね
　流体力学とか、数理モデルを作って、解析プログラムに載せて、走らせないといけないよね

４．で、下記で、小林よしのり氏が分かったようなことを言っているけど
　所詮本質が分かっていないから、批判は本質を外している
５．マスコミは”富岳”でヨイショしているけど、数理モデルの妥当性とか、実験データとの突合せとか、そっちが本質だよね
　シミュレーションは、多分数例でしかない。条件変えれば、また別の結果と結論になるってことです
６．数学だけしか見てないと、それに気付かないだろうね

（参考）
https://www.gosen-dojo.com/blog/28559/
小林よしのり
富岳のシミュレーションの結果論文を読むと・・ 2020.10.26
(抜粋)
「富岳」のシミュレーションの評価で、理化学研究所がまとめた論文の8月と10月の内容が、ごちゃ混ぜにされて報道されていて、泉美さんとも話し合って、重要な点に気付いてしまった

やはり富岳のシミュレーションの「マスクの防御効果」では、10月の報告で、「大きな飛沫」については、上気道に入る飛沫数を3分の1にする効果があるが・・・
「20?以下の小さな飛沫」に対する効果は、マスクをしていない場合と、ほぼ同数の飛沫が、気管奥まで達するとの結論になっている

一般的には、飛沫の大きさは５?だと様々な文献で説明されている
富岳のシミュレーションは、20?以上の大きな飛沫を設定していたわけで、5?以下のエアロゾルだと、マスクはほとんど効果がないということになる

これは重要な科学的結論なのに、正確な報道がなされていない
あるいは記者が論文を読んでいないか、読めないのかもしれない
科学は科学として、正確に受け入れなければならない
その科学の結果をどう現実に反映するかはまた別の問題である

https://nikkan-spa.jp/1702788
大反響ベストセラー小林よしのり『コロナ論』が投げかけた問い 日刊SPA!取材班 20201004
―［ゴーマニズム宣言SPECIAL　コロナ論］― 「同調圧力」という名の見えない空気

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/615

624: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 16:46:31.63 ID:+YNi1Ynu

>>620-621
レスありがとう
良い説明だ！

だが１点補足するよ

>楕円曲線の方が比較的新しい対象なんだよ。

どの時点を持って新しいとするのか？
下記の足立恒雄先生、読んでたもれ
（文字化けは、原文ご参照）

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf
数理解析研究所講究録 1996
楕円曲線の数論の歴史 早稲田 足立恒雄

本稿は津田塾大学で開催されたシンポジウム $\text{『}20$ 世紀数学 Jl (95 年垣月) における
講演と京大数理解析研究所における研究集会『代数的整数論とフェルマー問題  における講演をまとめ、加筆修正したものである。
楕円曲線の歴史と ?口に言っても膨大・多岐に亙るから、 ここでは (1) $\Gamma^{l}\mathrm{e}1^{\cdot}1\mathrm{I}1_{\mathrm{C}}’\iota \mathrm{t}$ の先駆
的研究、 (2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、 (.3) フェルマー問題の Frey による谷山
予想への還元、 の三つに絞って考察することにする。
(抜粋)
\S 2 楕円曲線論の始祖 Fermat
Fermat が著した有理点に関する著作は、 ギリシャ語原点から Bachet が訳した『算術』
の余白に書き込んだ  (欄外書き込み集) $\rangle\rangle([4])$ の他に、心酔者である神
父 Jacques de Billy に書かせた  Analyticae Inventum $1\backslash ^{1}0\wedge\backslash \cdot \mathrm{u}\mathrm{n}1\rangle\rangle$ ( $[5]$ ; Inv.Nov. と略記する) がある。
この Inv. Nov. は全繍楕円曲線上の有理点の考察に当てられ
た長大な論文である。 Fermat の扱った例をいくつか挙げてみよう。
例 2-1(Obs. 3) 二つの立方数の和である数を他の二つの立方数の和に表せ :

\S 3 群構造の発見
種数 1 の曲線と楕円関数との関係に初めて気が付いたのは Jacobi $([1_{\overline{\mathrm{J}}}.\cdot])$ であろう。 Eu-
$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$ の残した 4 次曲線の有理点問題、 つまり、例えば例 2-5 のような曲線上に、 -つ有理
点が与えられたとき、次々と他の有理点を求める問題を楕円関数を使って (具体的に解
てみせたわけではないが) 一般的に解く原理を説明したのである。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/624

625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 10:46:48.69 ID:cmDP4Gws

>>620 補足

もう一点補足しよう
下記、hiroyukikojima ”「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ”
”数学の専門の言葉では「同一視」という”
下記では、イデアルが例示されているな

（参考）
https://hiroyukikojima.はてなぶろぐ/entry/20140606/1402035822
hiroyukikojima’s blog 20140606
「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ
(抜粋)
『数学は世界をこう見る　数と空間への現代的なアプローチ』PHP新書
この本には、複数のコンセプトが込められているのだけど、その中で非常に大きいのが、「同じと見なす」という数学固有のテクニックをこれでもか、というぐらいに徹底的に解説することだ。「同じと見なす」ということを、数学の専門の言葉では「同一視」という

高校までとはうって変わって、数学科に進学すると、この「同じと見なす」の嵐になる
19世紀にカントールとデデキントが集合論を打ち立ててから、数は「発見されるもの」ではなく「同一視を駆使して創造されるもの」となった。だから、数を扱う分野は、必ず、「同一視」の洗礼を受けることになるのである

(あとがきにも書いたことだが)、数学者の黒川信重先生と共著を作るのに対談している最中、「数学では、この『同じと見なす』という操作がすごく大事で、本質的だよね」という意見が一致したことにあった。そして、「そんなに大事なことなのに、『同じと見なす』を主軸に据えて、きちんと解説した本ってないよね」ということも同じ見解だった
それで、「同じと見なす」ことの徹底解説にトライしたのが本書であった

具体的には、素数周期で数を同一視することで得られる有限体、中身の詰まった単体の'へり'を0と同一視することで図形を分類するホモロジー群、「2つの多項式の差が特定の多項式の倍数になる場合は同じと見なす」ことで得られる剰余体(例えば、ルート2や虚数単位はこの方法で'創造'される)を解説した
全体を貫いているのは、イデアルというアイテムだ。イデアルは、19世紀のクンマーがフェルマーの最終定理を解こうとして端緒を掴み、それをデデキントが集合論を使って実体化させ、さらに、ヒルベルトが代数幾何に応用してその威力を知らしめた。たぶん、20世紀の数学の中で、最も重要な数学概念の一つであろう
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/625

626: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 11:04:59.38 ID:cmDP4Gws

>>625 追加

違いを探せば、違いはある。でも、同一視する。それが、高等数学の流儀

デデキント切断とコーシー列と。どちらも、実数を構成できる
あるときは同一視し、あるときは差を強調する

虚数単位 ”ｉ”。 普通はｉ＝√-1
でも、”実数体 R 上の多項式環 R[X] に対して、X2 + 1 で割った剰余環 R[X]/(X2 + 1) は、複素数体 C と体同型”（下記）
行列表現もあるよ

ここらが、適切に自由自在に、同一視と、差を強調するときと、
その使い分けができるのが良いのだろうね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E5%88%87%E6%96%AD
デデキント切断
リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
実数論において最も基本となる重要な概念の一つである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数

3 実数の様々な構成
3.1 コーシー列を用いた構成
3.2 デデキント切断による構成
3.3 超準解析に基づく構成

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8D
虚数単位
1 定義
2 負の数の平方根を用いない表現
2.1 ハミルトンの定義
2.2 多項式環からの構成
2.3 行列表現

ハミルトンの定義
詳細は「複素数#実数の対として」を参照

多項式環からの構成
実数体 R 上の多項式環 R[X] に対して、X2 + 1 で割った剰余環 R[X]/(X2 + 1) は、複素数体 C と体同型である。
この対応で、虚数単位は同値類 [X] である。

行列表現
詳細は「複素数#行列表現」を参照

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/626

627: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 11:28:57.56 ID:cmDP4Gws

>>619 補足
>https://lemniscus.はてなぶろぐ/entry/20180525/1527257079
>再帰の反復blog 2018-05-25
>楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係についてのメモ
> 2. 楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係
>まず代数関数、リーマン面、代数曲線のいわゆる「三位一体」を考えて、それとの関係で楕円積分、楕円関数、楕円曲線を位置づけると次の図のようになる。

「三位一体」とは？ 父と子と聖霊と
キリスト教の用語らしい（下記ご参照）

で、楕円積分、楕円関数、楕円曲線
この３つ、確かに違いはある！
が、ある見方をすれば、数学的に同一視できる！！

そういうことを、再帰の反復blogは言いたいのでは？
細かい点は
原文を読んでたもれ（＾＾

(参考)
https://dictionary.goo.ne.jp/word/%E4%B8%89%E4%BD%8D%E4%B8%80%E4%BD%93/
goo 辞書
三位一体の解説 - 学研 四字熟語辞典
さんみいったい【三位一体】
キリスト教の用語で、父である神と、神の子であるイエス･キリストと、聖霊の三つは一体のものであり、この三者は、唯一の神がそれぞれの姿で現れたものだという説。転じて、別々の三つが、一つのものとして分かちがたく結びついていることや、三者が一致協力すること。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E4%BD%8D%E4%B8%80%E4%BD%93
三位一体
はニカイア・コンスタンティノポリス信条において
１．父
２．子
３．聖霊
の三つが神であり「一体（＝唯一神・唯一の神）」であるとする教え。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%8B%E3%83%86%E3%82%A3
トリニティ (trinity) は、トライン (trine) の名詞形で、3重、3つ組、3つの部分を意味する。定冠詞付き・大文字始まりの the Trinity は、キリスト教での三位一体のことである。英語圏ではトリニティ・カレッジ (Trinity College) と名乗る大学・研究機関が広くある。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/627

628: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 15:36:36.46 ID:cmDP4Gws

>>624 追加

＜再録＞
（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf
数理解析研究所講究録 1996
楕円曲線の数論の歴史 早稲田 足立恒雄
ここでは (1) $\Gamma^{l}\mathrm{e}1^{\cdot}1\mathrm{I}1_{\mathrm{C}}’\iota \mathrm{t}$ の先駆
的研究、 (2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、 (.3) フェルマー問題の Frey による谷山
予想への還元、 の三つに絞って考察することにする。
\S 2 楕円曲線論の始祖 Fermat
(引用終り)

（全部、上記 足立恒雄先生に書いてあるが）
１．昔昔あるところで、楕円曲線論の始祖 Fermat氏が、楕円曲線の面白い性質を発見して、数論研究を行った
２．その後、”群構造の発見 種数 1 の曲線と楕円関数との関係に初めて気が付いたのは Jacobi氏”だった
３．時代は下って、谷山・志村氏は、いまでいうモジュラリティ定理（ｑ展開）を予想として発表した
４．Frey氏の貢献、楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) ヘレゴーチ・フライ曲線を研究し、谷山・志村予想＋ε予想が、フェルマーの最終定理の反例となることを発表
５．ワイルズ氏が、谷山・志村予想の半安定の場合を解決し、フェルマーの最終定理を証明した
６．つまりは、p > 5で a^p+b^p=c^p→ 楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε予想→フェルマーの最終定理解決
　という流れだったのです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
楕円曲線
(抜粋)
フェルマーの最終定理(FLT)の証明である。素数 p > 5 に対して、フェルマー方程式
a^p+b^p=c^p で
楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) ヘレゴーチ・フライ曲線(Hellegouarch?Frey curves)
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/628

629: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 15:58:46.16 ID:cmDP4Gws

>>628 追加
> ６．つまりは、p > 5で a^p+b^p=c^p→ 楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε予想→フェルマーの最終定理解決
>　という流れだったのです

１．これを、IUTについて見るに
　p = 1で a + b = c → 楕円曲線 y2=x(x-a)(x+b) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε'予想→スピロ予想解決
　となる。そういう流れではないかと（＾＾
２．で、”ε'予想＝IUT1〜4” なのです
３．要は、”p = 1で a + b = c”だけを眺めても、なかなか先が見えない
　同様に、”楕円曲線 y2=x(x-a)(x+b)”だけを 眺めても、なかなか先が見えない
　そこで、望月先生は、”谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋IUT1〜4”という視点で、解決しようとしたのではないかと
　「ε'予想＝IUT1〜4」の前に、膨大な準備論文があると聞いていますが
４．私のこと？ 私は、細かいことはさっぱりです。ミーハーのヤジウマですから
　>>590 PROMENADE IN IUTなどが進むと、また何か解説の情報が入ってくるのではと、期待して待っています（＾＾
　IUTの原論文など、難しすぎ
　私には、とても、とても。まともには 読めませんよ。斜めからか、裏からか、後ろからかですなｗ（＾＾；
５．まあ、競馬の三冠馬同様です
「出遅れていた望月号、さあ、第四コーナーを回って、直線に入ってきた。懸命の追い込みだ。2022 モスクワICMのゴールを目指せ〜！」
　ですよ（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%AD%E4%BA%88%E6%83%B3
スピロ予想
(抜粋)
言明
任意の ε > 0 に対し、定数 C (ε) が存在して、有理数体 Q 上定義された全ての楕円曲線 E に対して、E の極小判別式を Δ で、導手を f で表すと、
｜Δ｜＜＝C (ε) ・f^(6+ε)
が成り立つ。

以上は有理数体における主張であるが、一般の代数体Ver.や関数体Ver.もある。関数体Ver.は、Szpiro の定式化のずっと以前に小平邦彦によって発見されており、その証明は易しい[1]。

ABC予想との関係
スピロ予想より強い以下の主張がABC予想と同値である[2]。
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/629

632: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 21:19:58.88 ID:bN6CRDXK

ほいよ

https://mathematics-pdf.com/column/taniyama_shimura.html
谷山・志村予想について よしいず MATHEMATICS.PDF
(抜粋)
谷山・志村予想とは
　「有理数体上の楕円曲線（注１）はモジュラー関数（modular function）で一意化（uniformization）される」という命題が，谷山・志村予想と呼ばれているものです．このような形で明確に定式化したのは志村五郎です（[11], p. 245）．

円の方程式 x2+y2=1 は x=cos t, y=sin t とパラメータ表示され，tを実数の範囲で動かすと円上のすべての点が得られますが，このことを円が三角関数で一意化されるといいます．楕円曲線とモジュラー関数についても同様のことが成り立つというのが上の命題の意味です．

古典的な結果としてすでに，楕円曲線がワイエルシュトラスのペー関数と呼ばれる楕円関数によって一意化されることが知られています．谷山・志村予想によれば，楕円関数の代わりにモジュラー関数が利用できるというわけです．モジュラー関数のような「良い性質」を持つ関数で一意化できると，楕円関数ではできなかったいろいろなことが証明できます．

予想に谷山の名前が付いているのは，1955年に日光で行われた代数的整数論の国際シンポジウムにおいて谷山豊が楕円曲線と保型形式（automorphic form）との関連について問題の形で言明したことによります．ただし，谷山自身はモジュラー関数だけでは不十分だろうと思っていたようです（[5], pp. 188-189, [11], pp. 248-251）．

数学者サージ・ラングが，この予想に関するヴェイユの発言を徹底的に調べ上げ，その調査結果を「ラング・ファイル」あるいは「谷山・志村ファイル」と呼ばれる文書にまとめたという話は有名です（[5]，pp. 188-191, [8], pp. 137-157）．彼は，ヴェイユが当初予想が成り立つことを信じてはおらず，この予想の成立にはなんの貢献もしていなかったと断定しました．

モジュラー関数や保型形式の定義については，岩波数学辞典第4版を参照してください．ここでは，モジュラー関数，モジュラー形式はそれぞれ保型関数，保型形式の特別なものであるということだけ注意しておきます．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/632

633: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 21:32:53.73 ID:bN6CRDXK

>>628 追加

ご参考
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/yasuda.pdf
平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所)
R = T 定理の仕組みとその応用 安田 正大

この講座では, Fermat 予想の証明のために Wiles, Taylor-Wiles が確立した R = T 定理に関する最近の発展と応用についてお話します.

ここで考えている反例 a^l + b^l = c^l において, 条件 a, b, c の最大公約数が 1 であり, さらに a + 1 が 4
の倍数で b が偶数であると仮定しても一般性を失わないのでそう仮定することにします. このとき楕円曲
線 Ea,b が存在するとすると, 非常におかしなことが起こるということに Frey は気づきました. 一般に有理
数体上の楕円曲線 E が与えられると, E の極小判別式と呼ばれる整数 ?E と E の導手と呼ばれる正の整
数 NE とが定まります. E の導手のほうが E の極小判別式の絶対値よりも小さいのですが, E = Ea,b に
関しては NE が ?E と比べて極端に小さくなります. ところが Szpiro の予想1という予想があって, E の
導手が E の極小判別式と比べて極端に小さくなることはないと思われているので Ea,b が存在するとする
とおかしなことになります.

Fermat 予想は, なぜ式 (1.1) に注目しているのかいまひとつはっきりせず, そういう意味で最近の数学
の立場からはそれほど重要な問題であると思われていないのですが, Szpiro 予想に出てくる ?E と NE と
はともに重要な量であり, そのためこの 2 つの量を比較する Szpiro 予想は重要な問題だと思われます.

16. R = T
Mazur は R を考えるアイデアを創始し, いろんなアプローチによる R の研究方法を提唱しました. その
うちの一つとして, 上の設定とは少し異なるモジュライ問題の下で, 写像 R → T を考え, それが同型である
ことを肥田の変形というものを用いて示しました. Wiles [W] と Taylor-Wiles [TW] は, 上に設定したよう
な状況の下での同型 R → T の証明の基本戦略を開発し, それを用いて特別な場合の谷山-志村予想を解決し
ました.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/633

636: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/30(金) 07:58:16.03 ID:cxWP738x

>>634
ご苦労さん

日本語wikipediaを調べたら、数学では左の言語のリンクから英文サイトに飛んで、チェックしておくのが定跡ですよ
それが下記だな。クロームなどでは、機械翻訳が出る（大概ひどい訳だが、下記はまし）

英 ワイエルシュトラスの楕円関数より
＜google英訳＞
”これらを使用して、複素数の楕円曲線をパラメーター化し、複素トーラスとの同等性を確立できます”
とありますが、何か？ｗ（＾＾

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass%27s_elliptic_functions
Weierstrass's elliptic functions
(抜粋)
In mathematics, Weierstrass's elliptic functions are elliptic functions that take a particularly simple form; they are named for Karl Weierstrass. This class of functions are also referred to as p-functions and generally written using the symbol p (a calligraphic lowercase p). The p functions constitute branched double coverings of the Riemann sphere by the torus, ramified at four points. They can be used to parametrize elliptic curves over the complex numbers, thus establishing an equivalence to complex tori. Genus one solutions of differential equations can be written in terms of Weierstrass elliptic functions. Notably, the simplest periodic solutions of the Korteweg?de Vries equation are often written in terms of Weierstrass p-functions.
＜google英訳＞
ワイエルシュトラスの楕円関数である楕円関数特に単純な形をとります。それらはカールワイエルシュトラスにちなんで名付けられました。このクラスの関数はp関数とも呼ばれ、一般に記号p（カリグラフィの小文字のp）を使用して記述されます。p関数は、トーラスによるリーマン球の分岐した二重被覆を構成し、4点で分岐します。これらを使用して、複素数の楕円曲線をパラメーター化し、複素トーラスとの同等性を確立できます。の属1ソリューション微分方程式は、ワイエルシュトラスの楕円関数で書くことができます。特に、Korteweg?de Vries方程式の最も単純な周期解は、Weierstrassのp関数で記述されることがよくあります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/636

637: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/30(金) 17:22:53.69 ID:ANa+nMVb

>>629 追加
> ６．つまりは、p > 5で a^p+b^p=c^p→ 楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε予想→フェルマーの最終定理解決
>　という流れだったのです

（>>363より再録）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/Galois_fest_ito_200705.pdf
整数論の最前線
楕円曲線の数論幾何
フェルマーの最終定理，谷山-志村予想，佐藤-テイト予想，そして・・・
伊藤 哲史 京都大学理学部数学教室 ガロア祭 2007年5月25日
(抜粋)
楕円曲線とは，3次式
y2 = x3 + ax + b (4a3 + 27b2 ≠ 0)
で定義された曲線のこと

モーデルの定理 (モーデル・ヴェイユの定理)
E : y2 = x3 + ax + bを楕円曲線とする．
このとき，有限個の有理点P1, P2, . . . , Pnが存在して，
Eの全ての有理点をP1, P2, . . . , Pnから作ることができる．
P1, P2, . . . , Pn を生成系という．
Q1, Q2, . . . , Qr から，ねじれ点以外の有理点を全て作ることが
できるようなrの最小値を，Eの階数という．

谷山-志村予想 (谷山豊, 1950年代)
E : y2 = x3 + ax + bを楕円曲線とすると，
重さ2の保型形式 f(q) = Σn=1〜∞ bn q^n *)
が存在して，
ほとんどすべてのpに対して，ap(E) = bpが成り立つ
(引用者注：*) q展開)

リベット :
谷山-志村予想が正しければ，フェルマーの最終定理も正しい．

ここまでのまとめ :
・楕円曲線E : y2 = x3 + ax + bの有理点は，有限個かもしれないし，無限個かもしれない．
・有限個の有理点P1, . . . , Pnをうまく選べば，Eの有理点を全て作ることができる．(モーデルの定理)
・ap(E) = p -(y2 - (x3 + ax + b)がpで割り切れる(x, y)の個数)とおくと，-2√p ≦ ap(E) ≦ 2√p．(ハッセの定理)
・ap(E)は重さ2の保型形式のFourier係数と一致する．(谷山-志村予想)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/637

638: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/30(金) 18:17:27.89 ID:ANa+nMVb

>>629 参考追加
> １．これを、IUTについて見るに
>　p = 1で a + b = c → 楕円曲線 y2=x(x-a)(x+b) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε'予想→スピロ予想解決
>　となる。そういう流れではないかと（＾＾
> ２．で、”ε'予想＝IUT1〜4” なのです

”ｑ(=e^2πiτv)展開”は、IUTの論文内部では、”q-parameter” 又は、”q パラメータ” と称するようですね（下記）（＾＾

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory. PDF NEW !! (2020-04-04)
P3
“elliptic curve” whose q-parameters are the N-th powers “q^N ” of the
q-parameters “q” of the given elliptic curve is roughly equal to the height of the
given elliptic curve, i.e., that, at least from the point of view of [global] heights,
q^N “≒” q
[cf. §2.3, §2.4].

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
星裕一の論文 宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019)
P81
(b) 楕円曲線の q パラメータの (1 より大きい) ある有理数による巾
P92
Ev の q パラメータ (良い還元を持つ有限素点や無限素点では 1) とし
ます. すると, この q パラメータの集まり
略
は F 上の数論的直線束
略
を定める (つまり, L は “qE^-1 から定まる数論的因子に付随する数論的直線束”)

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2019Jul5.pdf
山下剛サーベイA proof of the abc conjecture after Mochizuki.preprint. Go Yamashita last updated on 8/July/2019
P27
(4) l is a prime number l ≧ 5 such that l is prime
略
the q-parameters of EF
P39
where E has bad reduction with q-parameter qE,v
略
where qE,v = e^2πiτv and τv is in the upper half plane.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/638

649: １３２人目の素数さん [sage] 2020/10/31(土) 08:12:35.36 ID:CLm9DCft

やべぇ

ネトウヨのジコチュウ精神に火つけちまったかｗｗｗ

>１．望月IUTは、やはり高木貞治からの歴史ある日本数論の系譜です

なんだそれ？ｗ

別に数論は高木貞治が創始したわけじゃないだろ
高木貞治が留学したのはドイツ
今の数論の源流をたどればガウスにまでさかのぼる
世界に冠たるドイツぅぅぅぅぅｗ
https://www.youtube.com/watch?v=s2IaFaJrmno

>２．その流れでの、京大の伊原スクール
>　伊原スクールで、望月、玉川、中村博明先生の３人が、
>　グロタンディーク予想を解決した

グロタンディークって日本人か？　京大出身か？ｗ

そもそも父親はロシア生まれのユダヤ人だろ
（グロタンディークはオランダ系ドイツ人の母親の姓）
あ、そういや、望月も半分ユダヤ系だよな
ユダヤ人最高ぉぉぉぉぉｗ
https://www.youtube.com/watch?v=6jjVBdplmvY

>３．そして、望月IUTの解説でも、小平スペンサー射が出てくる
>　　小平スペンサー射の数論版が、望月IUTですね

こいつ、愛国のあまり、アタマおかしくなったか？

そもそもタイヒミュラーどこ行ったんだよｗ
彼はドイツ人だろ　しかも筋金入りのナチｗ

ナチのタイヒミュラーと　
ユダヤ人アナーキストの息子であるグロタンディクの
融合がＩＵＴ

>４．さらに、岩澤理論の影響も
>　　谷山志村予想の解決に、ワイルズ先生は岩澤理論を使ったという
>　　望月IUTで使われる
>　　 ”q パラメータ” （＝”ｑ(=e^2πiτv)展開”）にも
>　　ここに、日本人が大きく貢献している

ｑ展開使ったのってそもそもヤコビだろ　テータ関数の定義で
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ついでにいうと、ヤコビもユダヤ人な

どこをどうほじくり返しても
根っこはドイツとユダヤ
縄文遺跡なんか出て来やしねえ

あのさ、ただ自慢したいためだけに日本持ち出すのやめてくれる？
伝統ってそういうもんじゃないだろ

ということで、これでも見て改心しやがれ（マジ）
https://www.youtube.com/watch?v=M4UdGIfA6Mc

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/649

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