Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
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858: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/07(日) 21:12:20.02 ID:hvfvmXnW

>>857
>グロタンディクの数学だから
>グロタンディク宇宙使ってるというのは
>典型的な高卒ド素人の妄想

これだから、無知なド素人には困るｗ
といっても、私も似たようなもので 圏論は 2冊かじっただけだが ；ｐ）
グロタンディクの数学＝圏論 で
グロタンディークが圏論好きで 圏論の名手であることは有名だが
彼は、ZFCでは満足出来なかったんだ
圏論のために 宇宙を創造したのだよ（神の如くにｗ）

但し、用語”宇宙”に ２種ある
グロタンディークの50年くらい前の定義と（下記 Streicher, Thomas (2006)ご参照）
最近のは 下記の 薄葉 季路 (早大理工)らの 21世紀 基礎論・集合論屋さんの定義と（池上大祐>>850もこれ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
圏論
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが真のクラスを用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
The concept of a Grothendieck universe can also be defined in a topos.[1]
Notes
1 https://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/NOTES/UniTop.pdf
Streicher, Thomas (2006). "Universes in Toposes" (PDF). From Sets and Types to Topology and Analysis: Towards Practicable Foundations for Constructive Mathematics. Clarendon Press. pp. 78–90. ISBN 9780198566519.
Ｐ3
Grothendieck who introduced this notion for the purpose of a convenient and exible set-theoretic foundation of category theory. More precisely, he suggested to use ZFC together with the requirement that every set A be contained in some Grothendieck universe guaranteeing at least^5 an infinite sequence
U0∈U1∈・・・Un-1∈Un∈Un+1∈・・・
of Grothendieck universes.

Note 5
Actually, postulating choice for classes gives rise to a class function Un that assigns to every set a a Grothendieck universe Un(a) with a Un(a). Then by trans nitely iterating the function Un one obtains incredibly big hierarchies of Grothendieck universes.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/858

885: １３２人目の素数さん [] 2025/09/09(火) 07:14:38.72 ID:DOqIl8q0

>>880
>存在しない！
>が、仮に存在する（！！）と仮定しよう」とか
>「しかし、今度は次のような突拍子もない（！）ことを考えたくなる。

それ、高等数学では 普通の考え
・方程式とは？ もし解があるとして それを未知数として文字xで表すと・・ こうなるという
　そこから、方程式論が始った
・n次代数方程式で、実数の範囲には解がないとき
　もし、実数の外に解があるとしたら？ それは複素平面上の解だと ガウスは考えた
・微分方程式の解法では
　”あったらいいな”を 『弱解』と称する
・射影幾何：あったらいいなの「無限遠点」
　平行線は交わらない！！　が ユークリッドの定義なのだがｗ　（＾＾

まあ、こういう高等数学のメンタルピクチャーは
オチコボレさんには 理解できないだろう・・　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B1%E8%A7%A3
弱解
常微分方程式あるいは偏微分方程式の弱解（じゃくかい、英: weak solution、一般解とも呼ばれる）とは、その微分は存在しないかもしれないが、ある正確に定義できる意味において方程式を満たすと見なされるような関数のことを言う。方程式の異なるクラスに対して、それぞれ異なる弱解の定義が多く存在する。最も重要な定義の一つは、シュワルツ超函数の概念に基づくものである。

超函数の用語を避けて、微分方程式からはじめて、それを解の微分が現れない形で書き直す（その新しい形式は弱形式と呼ばれ、その解が弱解と呼ばれる）。少し驚くことに、微分方程式は微分可能でない解を持つこともあり得る。そのような解を見つけるために、弱形式は用いられる。

実世界の現象をモデル化するために用いられる多くの微分方程式において、十分に滑らかな解が得られる訳ではなく、そのような方程式を解くために弱形式が用いられる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
射影幾何学
直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/885

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