Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (978ﾚｽ)
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500: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/30(土) 09:56:01.82 ID:jE3Cs7nW

>>119 戻る
(引用開始)
１）
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
２）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
(引用終り)

この ペアノの公理らにおいて 自然数で 集合積∩を使う点を >>485 位相入門 川崎徹郎2016 の立場から批判する
まず 下記無限公理の”無限集合Iから自然数を抽出する”において
『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである』
とあって、”無限公理と分出公理を使って証明”している
この場合は、無限集合Iの具体的な性質として ”Iは 帰納的な(無限集合N(自然数))集合を含む”
という無限公理から N(自然数)を 分出公理を取り出している

で、上記 集合積∩を使う問題点を >>485 位相入門 川崎徹郎2016 の立場からは
集合積∩を使うには、集合の無限列が必要なのだ
いま、下記無限公理に規定された無限集合として 非可算の集合I（つまり上記ペアノの公理ではA）
を取ると、この集合積∩を使う集合の無限列は、非可算の長さの列になるだろう

つまり、ZFC公理系のごく最初の部分で さあ いまから最初の可算集合N(自然数)を定義しようとするにあたって
非可算の集合積∩を使うのは、いかにも大袈裟でまずいってことだ
分出公理で簡単に済む話に わざわざ 集合積∩ね
繰り返すが 『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたい』
なのだが それに とらわれて集合積∩を使うのは まずい■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
である

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/500

678: １３２人目の素数さん [] 2025/09/02(火) 14:35:41.82 ID:SkBP9bZ4

つづき

>「{}に0,1,2,・・・を順次追加していき、無限回の追加が完了してNが出来上がる」
>とはなっていないことは、ペアノの公理を一階述語論理上で形式化した場合に
>超準的自然数を持つモデルが生じてしまうことからも明らかである

そうですな ここで重要ポイントは、一階述語論理は 綺麗だが 弱くて不便
普段の数学は、一階述語論理しばりは うれしくないってことですね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
公理
この公理は、数学的帰納法の原理である[注釈 3]。
これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない[5]。
注釈3
^ 任意の部分集合に関する量化を行っているので、これは一階述語論理では形式化できない。
範疇性
集合 ℕ^ と定数 0^ と関数 S^ がペアノの公理を満たすとき組 (ℕ^, 0^, S^) をペアノ構造（Peano structure）という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる[注 1]、つまりペアノの公理は範疇的（categorical）であることがわかる。
一方で後述するペアノ算術はレーヴェンハイム＝スコーレムの定理から超準モデルをもつので範疇的ではない。
注釈１
^ すなわち全単射 φ: ℕ → ℕ^ で φ(0) = 0^ かつ φ ∘ S = S^ ∘ φ を満たすものが存在する。
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
次の3つの公理は、自然数に関する一階の命題であり、後続演算の基本的な性質を表現する。9番目の最後の公理は、自然数に対する数学的帰納法の原理に関する二階の命題であり、この定式化は二階算術に近い。
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic
Second-order logic
(google訳)
表現力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現力に富んでいます。例えば、定義域がすべての実数の集合である場合、一階述語論理では、各実数の加法逆数が存在することを次のように主張できます。
略
しかし、実数集合の最小上界性、すなわち、すべての有界かつ空でない実数集合には上限が存在することを主張するには、二階述語論理が必要である
第二階論理では、「定義域は有限である」または「定義域は可算 濃度である」という形式文を書くことができます。
History and disputed value
In recent years[when?] second-order logic has made something of a recovery, buoyed by Boolos' interpretation of second-order quantification as plural quantification over the same domain of objects as first-order quantification (Boolos 1984).
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/678

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