Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (976ﾚｽ)
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8: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/21(木) 23:03:36.75 ID:/FwGOxIP

つづき
＜厳密だけが、数学ではない＞
＜数学と厳密＞
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである

加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
IUTに欠落しているのは、メンタルピクチャー＆形式化図式か
(参考)
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。

形式化された理論
メンタルピクチャーの対極にあるのは、形式化（formalize）されコード化された理論（FT）だ。
数学の研究論文における形式的●●●議論は、例えばLean4やCoqなどのコンピューター言語による形式化からすれば、まだまだ「非形式的（informal）」なものだろう。人間のやる数学はまだまだインフォーマルであり、行間が広く、とてもとても形式的議論とは言えない。
とはいえ、ここで「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*)　　MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。

形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/8

315: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:53:10.75 ID:dSyweoWi

>>306
さて
１）昔学部の1〜2年で”リーマン球面と無限遠点”の話を聞いて、えらく感心したのを覚えている
　実関数y=1/x を考えると 原点x＝0 に負側から近づくと-∞で、正の方からなら+∞に発散するところ
　複素平面を球面にして、複素関数y=1/x で x→∞ だと y→∞（プラスやマイナス関係ないのでビツクリ）
２）いまリーマン球面にアキレスが居るとして 原点0 から出発して 実軸上をどんどん＋側に進むと北極点に到達する
　アキレスの足をもってすれば、これは簡単だ
３）ところが、複素平面のままなら そうはいかない。アキレスの足でも無限遠点に到達するのはタイヘンなのです

これは、たとえ話
無限だのへったくれだの言うが、リーマン球面か複素平面かで考え方が大きく変わるのだ
リーマン えらい！！（＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2663
高校数学の美しい物語
リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである
リーマン球面を C^  などと書く
リーマン球面とは，複素数に一点を追加することでより便利に複素数を扱えるようにした集合です。
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1657605343.png
位相空間論からの話題：一点コンパクト化
リーマン球面の考え方は一点コンパクト化というトピックに関連します
有界な閉集合はコンパクト集合です
複素平面全体は無限に広がっているため，コンパクトではありません
既に見た通り，リーマン球面は三次元単位球面と見なすことができます。三次元単位球面は，有界で閉なのでコンパクト集合となります。
コンパクトではない複素平面に無限遠点を追加することでコンパクト集合が得られるのです
このようにコンパクトではない集合に一点を追加してコンパクト集合を得ることを一点コンパクト化といいます。無限に広がるものに一点追加することで有限のものとして解釈できることは非常に興味深いことです
実積分を複素積分から見たほうが簡単に計算できるように，複素数も一段階広いリーマン球面から見つめることでシンプルに見えてくることが多いです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
一点コンパクト化の例
・自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元 ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/500px-Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/315

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