Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
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458: １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 18:04:36.40 ID:kP4qetJ1

大学卒（特に数学科以外）の人が理解できて、かつ有用で難しい数学を考えるとき、以下の点を考慮します：

理解可能性: 数学科以外の人が学ぶには、抽象的すぎず、直感的な応用例や現実世界とのつながりがある分野が適しています。
高度な数学的背景がなくても、努力次第で理解可能な領域が望ましいです。
有用性: 科学、工学、経済、データサイエンスなど、現代社会で広く応用されている分野が候補になります。
難しさ: ある程度の挑戦性があり、大学レベルの基礎知識（例えば微積分や線形代数）を前提に、さらに一歩進んだ内容であること。

これらを踏まえると、確率論・統計学（特に確率過程やベイズ統計）と離散数学（特にグラフ理論や組み合わせ論）が、バランスの取れた候補として挙げられます。
その中でも、確率過程（例：マルコフ連鎖やブラウン運動）は、難しいが有用で、理解しやすい直感的な応用例が多いため、特に推薦したいと思います。

理由
確率過程の特徴:
内容: 確率過程は、ランダムに変化する現象を時間軸上でモデル化する数学です。
マルコフ連鎖（状態が次の状態にのみ依存するモデル）やブラウン運動（ランダムな動きを記述）は、比較的直感的な概念から始まりますが、
理論を深めると高度な数学（例えば確率微分方程式）に繋がります。
理解可能性: 大学で学んだ微積分や基本的な確率・統計の知識があれば、マルコフ連鎖の基本（遷移確率行列など）は理解可能です。
視覚的な例（天気予報モデルやGoogleのページランクアルゴリズム）を通じて、直感的に学べます。
有用性: 確率過程は、以下のような分野で広く応用されています：
金融工学: 株価やオプション価格のモデル（ブラック・ショールズモデルなど）。
データサイエンス: 機械学習（例：隠れマルコフモデルや時系列分析）。
物理学・工学: ランダムな信号処理や分子運動のモデル化。
社会科学: 感染症モデル（SIRモデルなど）や経済の動態解析。

難しさ: 基本的なマルコフ連鎖は理解しやすいですが、定常分布の計算や確率微分方程式（例：伊藤の公式）になると、数学的に挑戦的です。
数学科以外の人がこれをマスターするには努力が必要ですが、不可能ではありません。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/458

480: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 16:34:54.40 ID:qJbWNB4x

ICM2026 Plenary Lectures Dennis.Gaitsgory
へー

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Langlands_correspondence
Geometric Langlands correspondence

Status
The geometric Langlands conjecture was proved for
GL(1) by Pierre Deligne and for
GL(2) by Drinfeld in 1983.[6][7]
Laurent Lafforgue proved the geometric Langlands conjecture for
GL(n,K) over a function field
K in 2002.[2]

A claimed proof of the categorical unramified geometric Langlands conjecture was announced on May 6, 2024 by a team of mathematicians including Dennis Gaitsgory.[8][9]
The claimed proof is contained in more than 1,000 pages across five papers and has been called "so complex that almost no one can explain it". Even conveying the significance of the result to other mathematicians was described as "very hard, almost impossible" by Drinfeld.[10]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%BA%E5%AF%BE%E5%BF%9C
幾何学的ラングランズ対応

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%8B%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%82%A4%E3%83%84%E3%82%B4%E3%83%AA
デニス・ゲイツゴリー (Dennis Gaitsgory、1973年10月31日 - )はユダヤ系アメリカ人の数学者。現在はマックス・プランク数学研究所に所属[1]。専門は代数、表現論、代数幾何学。
幾何学的ラングランズ対応に関するベイリンソン・ドリンフェルドのプログラムにおける貢献で著名である。博士論文において保型形式の幾何学化プログラムに対する貢献。アファイングラスマン多様体上に同変偏屈層の畳み込みの理論を構成し、ある種の表現の作用がグラスマン多様体に反映することを示した。
受賞歴
2000年 ヨーロッパ数学会賞
2025年 数学ブレイクスルー賞[2]

https://en.wikipedia.org/wiki/Dennis_Gaitsgory
Dennis Gaitsgory
Honors and awards
In 2025, he received the Breakthrough Prize in Mathematics.[3]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/480

515: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 15:35:34.40 ID:fr4NlS//

>>483
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/16isou-nyuumon-text.pdf

>p11
>”集合の議論では無限個のものの合併や共通集合が、極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。

いきなりここからはじまってるけど、
その前の”無限個のものの合併や共通集合”の定義が
見つけられなかったのかな？
それは、ここ↓だよ

p10
M1, M2, . . . を集合の列とする。
すなわち，各 i ∈ N に対して，集合 Mi が定まっているものとする。
そのときすべての Mi の共通集合が
∩(i=1〜∞)Mi = {m | ∀i∈N.m ∈ Mi（すべての i に対して m ∈ Mi）}
によって定義される。
同様に，すべての Mi の合併集合は
∪(i=1〜∞)Mi = {m | ∃i∈N.m ∈ Mi（ある i に対して m ∈ Mi）}
により定義される。　
∩(i=1〜∞)Mi の代わりに∩(n∈N)Mn または，単に ∩(n)Mnもよく用いられる。
これに似た記号は有限個の集合の列の共通集合，合併集合に対しても使われる。

>>484
>無限合併・交叉は、無限回の演算ではく一回の演算。

然り　無限個の共通集合∩と合併集合∪は
それぞれ述語論理の限量子∀と∃によって
一回で定義される

>>485
>話は真逆だよ　わざわざそこを引用した意図は真逆

君の意図が、ってことね

>AとBの合併集合はA∪B＝{x|x∈A ⋁ x∈B}
>AとBの共通集合はA∩B＝{x|x∈A ⋀ x∈B}
>このように、∪と∩とを 2項演算として定義しているよ

そう、２つの集合の∪と∩は
それぞれ⋁と⋀を使って定義されるね

>そのうえで、集合の無限列の共通部分と合併集合を・・・定義している

上でわざわざコピペしたように
集合の無限列の共通部分と合併集合も
それぞれ述語論理の限量子∀と∃によって
一回で定義される

で、述語論理が分かってない人は
∀を無限回の⋀の適用
∃を無限回の⋁の適用
と勝手に思い込んでるけど、そうではないよ

特に∀xP(x)を証明するのに
無限個存在し得る各対象aについて、それぞれP(a)が正しいと示す
なんてことは述語論理では一切してないよ

これ肝心ね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/515

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