Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (914ﾚｽ)
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468: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/29(金) 07:43:37.26 ID:QS2EkFr7

>>442 追加
>10進小数展開を考える。 x=1/10 として a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
>和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
>a0は 任意整数とする
>これで 形式的な冪級数を使った 無限10進少数展開を考えることができる
>これが 従来のコーシー列の収束による実数の定義と一致することは 賢い人は少し考えれば分かるだろう

下記、”形式的冪級数環R[[x]]は、多項式環R[X]の（x）進完備化として見ることができる”
に関連して
有理数環Q(実は体)を係数とする多項式Q[X]で 上記同様に
”x=1/10 として a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
a0は 任意整数とする”ことで
有限小数環（これをUとする）ができる
有理数Qを完備化すると、実数Rを得ると同様に
有限小数環Uを完備化すると、R[X]→R[[x]]同様に 実数Rを得る■

形式的冪級数環R[[x]]を、どうメンタルピクチャー（>>8 加藤文元）として とらえるか？
それは各人自由だが
『形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和』（下記）
と考えるのも ”あり”だろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
（google訳）
形式冪級数
形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。
A formal power series with coefficients in a ring R is called a formal power series over R.
The formal power series over a ring R form a ring, commonly denoted by R[[x]].
(It can be seen as the (x)-adic completion of the polynomial ring
R[x], in the same way as the p-adic integers are the p-adic completion of the ring of the integers.)
環R上の係数を持つ形式的な冪級数Rは、R環上の形式的冪級数環を形成する。
環R上の形式的冪級数は、一般的にはR[[×]]と書かれる。
（これは多項式環R[×]の（x）進完備化として見ることができる、p進整数が整数環のp進完備化であるのと同じです）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/468

493: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 08:27:30.26 ID:jE3Cs7nW

>>491
>そもそも極限を考えるには距離が定義されてないとダメなんだが、集合間の距離をどう定義するの？

"ひろゆき名言「それってあなたの感想ですよね」"(下記)
なお、君は勉強不足
下記 フィルター (filter) とネット（有向点族）を、百回音読してね
距離が定義されていない空間での 極限・収束を扱える■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル（英語版）である。
類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。
例
超積
超積は超準解析の最も簡単なモデルを与えている
位相幾何学におけるフィルター
位相幾何学や解析学において、距離空間での点列の収束の類似として、一般的な収束の概念を定式化するためにフィルターが用いられる。
位相空間論の諸結果は次のように全てフィルターを用いた議論に言い換えられる：
１．X 上の任意のフィルターの極限が高々一つ（つまり、多くても一つの点にしか収束していない）のとき、およびそのときに限って X はハウスドルフ空間になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F
有向点族(ネット (net))
有向点族とその極限
有向点族とその収束の定義は点列とその収束性の定義を自然に有向集合の場合に拡張する事で得られる。
例
・(実数値関数の極限) 同様に実変数関数の極限limx→∞ f(x)も、有向点族
　(f(x))x∈Rの極限ととらえる事ができる。
・(リーマン和) リーマン積分の定義におけるリーマン和も有向点列の極限とみなせる。この例において考える有向集合は、積分区間の全ての分割が成す集合に包含関係が定める順序で向きを入れたものである。リーマン＝スティルチェス積分においても同様のことを考えることができる。

>>453再録
ひろゆき氏、名言「それってあなたの感想ですよね」
https://www.sanspo.com/article/20240513-MVSJEG4GAJGYNALSNLHLBTSMBA/
サンスポ
ひろゆき氏、名言「それってあなたの感想ですよね」を発した理由
2024/05/13

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/493

781: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/06(土) 10:17:22.26 ID:JgP2aXhR

>>777 追加
(引用開始)
実際 下記 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論 （北海道大学 2003年11月）
にあるように、ここのP1 §1 圏のIU幾何(The Inter Universal Geometry of Categories)
§1.1 の二つ目の四角の ”Sheme論(/a!)だけでは不十分。F1上のキカが必要”
とある通りだ。つまり、望月氏は F1（1元体）を構想している
（なお、§1.2 IUキカによる「解消」(resolution)：一言でいうと、宇宙(universe)の拡大を使ってラベルを貼る。 a1∈{a1,b1} = a2∈{a2,b2} = a3∈{a3,b3} = a4∈・・・
そして aiたち→a, biたち→b と同一視する ＝ quotionを作る などと記す。ここが望月氏の”宇宙(universe)の拡大”の原点のようだ）

1^ a b “数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論 （北海道大学 2003年11月）”https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93
一元体
一元体（英: field with one element）あるいは標数 1 の体 (field of characteristic one) とは、「ただひとつの元からなる有限体」と呼んでもおかしくない程に有限体と類似の性質を持つ数学的対象を示唆する仮想的な呼称である。しばしば、一元体を F1 あるいは Fun[note 1] で表す
(引用終り)

ここ ”数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論 （北海道大学 2003年11月）”
P1 §1 圏のIU幾何 ”a∈a” "基礎の公理により 通常の集合論ではありえない" 、”→通常の集合論を拡大する必要がある”
そして 上記 ”宇宙(universe)の拡大を使ってラベルを貼る”が続く

ここらに、望月氏の若干の集合論の用語の混乱がある
反基礎の公理（AFA）による集合論は、下記では 非有基的集合論 であるが、望月氏の構想はそれではない
むしろ、圏論を活用することで、反基礎の公理（AFA）と類似を実現するもの
思うに 通常集合論の宇宙と 圏論による非有基的集合論の宇宙の 二つの宇宙を構想して
それをつなぐ意味で Inter Universal と称している気がする

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/781

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