Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/
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64: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/23(土) 17:38:54.14 ID:XQOxXTSd >>60 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86 二階述語論理 ■意味論 二階述語論理では2種類の意味論 standard semantics と Henkin semantics がある。 どちらの意味論でも、一階述語論理の範囲内の意味論（一階の量化、論理和や論理積など）は一階述語論理と同じである。 異なるのは、二階の変項への量化の解釈である。 standard semantics では、その種の集合や関数すべてに対しての量化と捉える。 従って、一階の変項のドメインが明確化されれば、全ての量化の意味が固定される。 これにより、二階述語論理の表現能力がもたらされる。 Henkin semantics では、二階の変項にはそれぞれの種ごとにドメインがあり、その種の集合や関数全体の真部分集合の場合がある。 ヘンキン(1950) がこの意味論を定義し、一階述語論理で成り立つゲーデルの完全性定理とコンパクト性定理が、 Henkin semantics と組み合わせた二階述語論理でも成り立つことを証明した。 これは Henkin semantics が多種の一階述語論理とほぼ等価であるためである。 Henkin semantics を伴った二階述語論理は、一階述語論理と同等の表現能力しかない。 Henkin semantics は主に二階算術の研究で使われている。 ■推論体系 論理の推論体系（あるいは演繹体系）とは、推論規則と論理公理の集合であり、論理式の並びが妥当な証明となっていることの根拠となる。 二階述語論理には、いくつかの推論体系があるが、standard semantics に対して完全と言えるものは存在しない。 どの体系も健全であり、証明に使える全ての文は適当な意味論において論理的に妥当である。 最も弱い推論体系は、一階述語論理の標準の推論体系（例えば自然演繹）に二階の項の置換規則を加えたものである[2]。 この推論体系は二階算術の研究で主に使われている。 Shapiro (1991) と ヘンキン(1950) が検討した推論体系は、内包公理と選択公理を追加したものである。 これら公理は二階述語論理の standard semantics に対して健全である。 Henkin semantics の場合は、それら後置を満足するよう考慮した Henkin モデルであるときだけ健全と言える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/64
166: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/08/25(月) 13:58:56.14 ID:NbOUr+U1 つづき P18 4 無限の彼方へ P22 カントルの「数学の本質はその自由にある」という立場は「存在する可能性のあるものは数学的存在として（つまり集合として）存在する」というふうにも解釈でき，そのような立場からは，様々な巨大基数は，それらが集合論と抵触しないかぎりにおいてすべて存在する，と考えるべきで，その意味では巨大基数公理は「正しい」公理と考られます． P23 最後に，ここでお話ししたことに関連する文献について触れておくことにします．集合論をじっくり勉強するための標準的な教科書としては，[13] や[10] があげられます．[13]は愛媛大学の藤田 博司氏が翻訳中のようですが*21，[13] や [10]のレベルの日本語の教科書は今のところ存在しないのではないかと思います．ただし，古典的な集合論を中心に述べた日本語の教科書で最近出版されたものには[15], [18] などがあり，これらよりもう少し本格的なものとしては，少し古い本ですが，[16] があります． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/166
345: １３２人目の素数さん [] 2025/08/27(水) 11:45:16.14 ID:SKcxMCpo 数学の対象が何らかの形で表しえるというのと 数学の対象が何らかの形で表されなければならないというのは 全然違う思想 両者をごっちゃにするのが論理を理解せぬ馬鹿であり●違い http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/345
481: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 17:41:47.14 ID:GHf0Hyq9 コピペは続くよどこまでも http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/481
501: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/08/30(土) 09:56:26.14 ID:jE3Cs7nW つづき 一部の数学者はこのような方法で構築された集合をinductive set（英語: inductive set）と呼ぶ。 自然言語でこの公理を記述すると、「集合𝐈で、𝐈は空集合を要素にもち、任意の𝐈の要素 xに対して、x自身とxの各要素を要素とする𝐈の要素yが存在するような集合𝐈が存在する」となる。 無限集合Iから自然数を抽出する 他の方法 以下のような他の方法もある。 Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり、 Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))) とする。おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである。 これを形式的に書くと、次のような集合 Wが一意に存在することを示したい。 ∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*) 存在については、無限公理と分出公理を使って証明する。 Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合 W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である。 明らかに(*)を満たす。なぜなら、 x∈Wと仮定すると、 xはすべての帰納的集合に含まれているし、 xがすべての帰納的集合に含まれているとすると、もちろん Iにも含まれているから、 Wにも含まれている。 一意性については、(*)を満たす集合はそれ自体帰納的集合であることに注意する。なぜなら、0はすべての帰納的集合に含まれているし、xがすべての帰納的集合に含まれているとすると、その後続もすべての帰納的集合に含まれている。よって W′を別の帰納的集合とすると、 Wが帰納的であるため W′⊆Wが成り立ち、 W′が帰納的であることから W⊆W′も成り立つ。よって W=W′。この集合をωと書く。 この定義は数学的帰納法を容易に導けるため便利である (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/501
737: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 13:44:37.14 ID:pL0/SMxR サルは会話が成立しない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/737
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