Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (956ﾚｽ)
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931: 09/11(木)07:29 ID:RbyHG7kc(3/5) AAS
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外部ﾘﾝｸ:detail.chiebukuro.yahoo.co.jp
chiebukuro.yahoo
lD非公開さん
2025/7/12
微分可能な関数のクラスや、連続関数のクラス、というのは、なぜ集合ではなくクラスというのでしょうか？
集合の集合は、ZF公理系のもとでは集合ではないことが、以下のサイトに書かれていました。
外部ﾘﾝｸ:wiis.info
上記のクラスや、他にもベクトル空間のクラスや群のクラス、環のクラスなどもありますが、これらも公理系を満たさないことが証明されるのでしょうか？
ベストアンサー
ナブラさん
2025/7/13
それが集合であるかどうかは議論に影響を与えないからです。
もしそれらのクラスが「自明に」集合であるならば、「連続関数全体の集合」と表すのが自然でしょう。しかし、もしもそれが集合でないならば嘘をつくことになりますし、大抵の場合は自明ではないでしょうから、集合であることを証明せざるを得なくなります。
しかしながら、ここでの「クラス」の使われ方は、それが「クラスであること」というよりも、「このクラスの要素であると主張すること」という意味合いが強いはずです。
これらのクラスが「クラスであることは」その定義より自明であり、これ以上の詮索は本来の議論に全くもって貢献してくれないので、ここでこの考察を止めているということです。
ちなみに、ZF(C)公理系において、ある集合からもう一つの集合への写像全体の集まりが集合になることが示せるので、そのいかなる部分集合も集合であることがわかります。ですから、「ℝ上の微分可能な実数値関数全体のあつまり」はZFCにおいて集合になります。
群、環またはベクトル空間全体のクラスはZFCにおいて全て真のクラスだったと思います（証明は忘れてしまいました）。

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限公理
独立性
ZFCが無矛盾であるかぎり、無限公理はほかのZFCの公理からは導けない(ZFCはZFC − Infinityの無矛盾性を導き、ゲーデルの第2不完全性定理に注意せよ)。
ZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。
無限公理はときおり最初の「巨大基数公理」とみなされる。逆に巨大基数公理は強い無限公理と呼ばれる[誰によって?]
(引用終り)
以上

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