Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (896ﾚｽ)
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566(14): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/31(日)13:40 ID:lylF2dxQ(6/10) AAS
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１）下記 未確認飛行 Cさんが、面白い
1つ無限集合 a を選び、「x は無限集合である」という命題 M(x)
a の「冪集合」P (a)で、無限集合の族 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}を作る
a^ の全ての元の共通部分 ωa ＝ ∩a^
ωa が 自然数の定義だと
２）これと対比して ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの
無限公理は (下記のIをAに書き換えて)
∃A(∅∈A∧∀x(x∈A⇒(x∪{x})∈A)).となるが
未確認飛行 Cさんとの対比で 1)「冪集合」P (a)使用が無いこと
2)「x は無限集合である」という命題 M(x)が無いこと
それと、3)”全ての元の共通部分”の宣言がないこと
の3点が問題になる
３）いま、>>539 で示したように 無限順序数で
0, 1, 2, 3, ............, ω, S1=S(ω), S2= S(S(ω)), S3=S(S(S(ω))), ....
において ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
が、”順序数においても 同様にそれより小さい順序数の集合と（集合として）等しくなります”
が成り立つから
S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
後続者 S(α) ≔ α ∪ { α } なので ω⊂S(ω)⊂S(S(ω)) 成立
未確認飛行 Cさん 同様に ”全ての無限集合の共通部分”なら
∩(ω,S(ω),S(S(ω))=ω={0,1,2,・・・｝ とめでたく 自然数 N=ωが抽出できた
ところが、もし”全ての”のしばりがないと ∩(S(ω),S(S(ω)) となって
自然数 N=ωが うまく抽出できない
４）別例で
S3'=：S(S(S(ω)))-ω＝{0,1,2,・・・,S(ω),S(S(ω))} を考えよう
ここで S3'の元で 無限集合は S(ω),S(S(ω))のみ
∩(S(ω),S(S(ω)) では 自然数 N=ωが うまく抽出できない
よって、結論として ペアノの公理の
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの）
が ちょっとまずいってことだ■
(参考)
>>119-120 より再録
１）
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:ufcpp.net
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
つづく
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