Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (919ﾚｽ)
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566(14): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/31(日)13:40 ID:lylF2dxQ(6/10) AA×
>>539>>539>>119-120

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566: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/08/31(日) 13:40:18.46 ID:lylF2dxQ >>539 戻る １）下記 未確認飛行 Cさんが、面白い 　1つ無限集合 a を選び、「x は無限集合である」という命題 M(x) 　a の「冪集合」P (a)で、無限集合の族 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}を作る 　a^ の全ての元の共通部分 ωa ＝ ∩a^ 　ωa が 自然数の定義だと ２）これと対比して ペアノの公理 　自然数の集合論的構成 　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} 　ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの 　無限公理は (下記のIをAに書き換えて) 　∃A(∅∈A∧∀x(x∈A⇒(x∪{x})∈A)).となるが 　未確認飛行 Cさんとの対比で 1)「冪集合」P (a)使用が無いこと 　2)「x は無限集合である」という命題 M(x)が無いこと 　それと、3)”全ての元の共通部分”の宣言がないこと 　の3点が問題になる ３）いま、>>539 で示したように 無限順序数で 　0, 1, 2, 3, ............, ω, S1=S(ω), S2= S(S(ω)), S3=S(S(S(ω))), .... 　において ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります” 　が、”順序数においても 同様にそれより小さい順序数の集合と（集合として）等しくなります” 　が成り立つから 　S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる 　後続者 S(α) ≔ α ∪ { α } なので ω⊂S(ω)⊂S(S(ω)) 成立 　未確認飛行 Cさん 同様に ”全ての無限集合の共通部分”なら 　∩(ω,S(ω),S(S(ω))=ω={0,1,2,・・・｝ とめでたく 自然数 N=ωが抽出できた 　ところが、もし”全ての”のしばりがないと ∩(S(ω),S(S(ω)) となって 　自然数 N=ωが うまく抽出できない ４）別例で 　S3'=：S(S(S(ω)))-ω＝{0,1,2,・・・,S(ω),S(S(ω))} を考えよう 　ここで S3'の元で 無限集合は S(ω),S(S(ω))のみ 　∩(S(ω),S(S(ω)) では 自然数 N=ωが うまく抽出できない よって、結論として ペアノの公理の 　自然数の集合論的構成 　N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} （Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの） 　が ちょっとまずいってことだ■ (参考) 　>>119-120 より再録 １） https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171 https://ufcpp.net/study/math/set/natural/ Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について 自然数の定義 まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。 そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。 ωa ＝ ∩a^ 証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。 略す つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/566
戻る １下記 未確認飛行 さんが面白い つ無限集合 を選び は無限集合であるという命題 の集合 で無限集合の族 を作る の全ての元の共通部分 が 自然数の定義だと ２これと対比して ペアノの公理 自然数の集合論的構成 ここでは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの 無限公理は 下記のをに書き換えて となるが 未確認飛行 さんとの対比で 集合 使用が無いこと は無限集合であるという命題 が無いこと それと全ての元の共通部分の宣言がないこと の点が問題になる ３いま で示したように 無限順序数で において 各自然数はそれより小さい自然数の集合と集合として等しくなります が順序数においても 同様にそれより小さい順序数の集合と集合として等しくなります が成り立つから となる 後続者 なので 成立 未確認飛行 さん 同様に 全ての無限集合の共通部分なら とめでたく 自然数 が抽出できた ところがもし全てののしばりがないと となって 自然数 が うまく抽出できない ４別例で を考えよう ここで の元で 無限集合は のみ では 自然数 が うまく抽出できない よって結論として ペアノの公理の 自然数の集合論的構成 は無限公理により存在する集合を任意に選んだもの が ちょっとまずいってことだ 参考 より再録 １ 未確認飛行 について 自然数の定義 まず何でもいいのでつ無限集合 を選びます また は無限集合であるという命題を とし 以下のような集合 を作ります は の集合です すなわち は の部分集合のうち無限集合になるようなもの全てを集めた集合です そして の全ての元の共通部分を取ります 証明は省きますがこのようにして得られた無限集合 は 元の無限集合 のとり方によらずただつに定まります 略す つづく

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