Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (954ﾚｽ)
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281: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 15:14:24.73 ID:nzEtO0b1

>>233 補足
>ω1 は多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。例えば、部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること（例えばボレル階層を見よ）。これは代数（ベクトル空間や群など）における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。なぜならばこれらのケースにおいて有限の操作 - 和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ

”σ-代数”下記だね（演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したもの）
そういえば、箱入り無数目で 測度論オチコボレさんで、大学の確率論テキストが読めない人たちが居たね　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9A%8E%E5%B1%A4
ボレル階層
ボレル集合
→詳細は「ボレル集合」を参照
任意の位相空間においてのボレル代数とは、全ての開集合を含んでいて可算和と補集合を取る操作について閉じている最小の集合族である。ボレル代数は可算交叉についても閉じている

https://wiis.info/math/measure/measure-space/sigma-algebra/
測度空間
σ-代数（完全加法族）の定義と具体例

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
完全加法族（英: completely additive class [of sets], completely additive family [of sets]）とは、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集合である。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。

可算加法族（英: countably additive class [of sets], countably additive family [of sets]）、(σ-)加法族（英: σ-additive family [of sets]）、σ-集合代数（英: σ-algebra [of subsets over a set], σ-set algebra）、σ-集合体（英: σ-field [of sets]）[注 1]ともいうこの概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である

この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。

演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したものになっている

動機付け
望むべくは、互いに素な集合の和の測度が、個々の集合の測度の和になること、特にそれが互いに素な集合の無限列に関してさえも成り立つことである。
σ-集合代数 Σ は、可算無限回の演算まで含めて完備である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/281

301: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 18:25:03.41 ID:nzEtO0b1

>>205 補足
　再録
https://www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index21-4.html
「数学通信」第２１巻（２０１６年度）第４号目次
数学の発展と展望 砂田　利一 ２３
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
Ｐ2
2　無限の概念
P3
高校で習う数列と極限の定義にも，日常的言語で説明した方が理解を容易にするせいか，「可能無限」的表現が使われている．2
注釈
2念のため，数列と収束の現代的定義を述べておく．「数列{an} n=1〜∞ は自然数の集合Nから実数の集合Rへの写像であり，lim n→∞ an = a であるとは，「任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
任意の自然数nについてn≥Nならば| an−a |＜ ϵが成り立つことである」．
ここで注目すべきは，実無限と可能無限の双方を取り入れた形で収束を定義していることである．

さて
＜関連＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
収束
本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。 位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる：
定義 (距離空間における点列の収束) ―  (X,d)を距離空間とする。Xの点列
(xn)n∈NがXの点xに収束するとは以下が成立する事を言う：
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n>n0 : xn∈Bε(x)
ここで、
Bε(x)={y∈X|d(y,x)<ε}
である。
位相空間における収束を定義するにあたり、上述の距離空間における収束の定義に２つの変更を行う：
1.ε-近傍Bε(x)の代わりに一般の近傍を用いる。
2.点列の概念を一般化した有向点族の概念を導入し、有向点族の収束を定義する。
1番目の変更を行うのは、位相空間には距離の概念がないので、そもそもε-近傍を定義できないからである。
一方2番目の変更を行うのは、点列の収束概念だけでは位相空間の諸概念を定式化するのに不十分だからである。
たとえば距離空間の場合には連続性の概念は
lim n→∞ f(xn)=f(lim n→∞ xn)
が収束する任意の点列に対して成り立つ事により定式化できるが、
一般の位相空間の場合は「任意の点列」ではなく「任意の有向点族」に対してこれと類似の性質が成り立つ事により連続性を定義する必要がある。
なぜなら点列の場合は添字集合が可算なので、点列の概念で連続性を捉え切るには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要があり（列型空間を参照）、一般の位相空間の連続性の概念を適切に定義するには点列の概念では不足だからである。
なお、位相空間上ではフィルターの収束という、もう一つの収束概念を定式化できる事が知られているものの、収束する有向点族と収束するフィルターとにはある種の対応関係がある事が知られている。詳細は有向点族#フィルターとの関係を参照

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/301

306: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 21:00:55.16 ID:dSyweoWi

>>304
>君、頭大丈夫？
>添え字集合が有限だろうと可算無限だろうと非可算無限だろうと、無限操作なるものが存在するなんの証拠にもなってないことが分からないの？

ふっふ、ほっほ
１）まず、下記の公理的集合論 集合の公理系 において
　その集合に対する操作は、無限有限の区別なし！
　無限集合を扱うのだから、その公理も 無限を扱えるように設定されているのだよｗ　；ｐ）
２）君は、『加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
　Terence Tao “big picture”』が欠落している
３）つまり、日常の数学の下に素朴集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階が素朴集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階の素朴集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば
　その日常の数学の無限操作は許されるのだよ■　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
集合の公理系
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）
・対の公理　任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
∀x∀y∃A∀t(t∈A↔(t=x∨t=y)) 。
外延性の公理から、x と y に対して対の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを {x,y}で表す。
{x,x} を {x}で表す。これにより順序対の存在が言え、それにより直積集合の存在も言える。
・和集合の公理　任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔∃x∈X(t∈x)) 。
外延性の公理から、X に対して和集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の和集合と呼び、∪Xで表す。
∪{x,y} を x∪y で表す。
・冪集合公理　任意の集合 X に対して X の部分集合全体の集合が存在する：
∀X∃A∀t(t∈A↔t⊆X) 。
外延性の公理から、X に対して冪集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の冪集合と呼び、
P(X)または2^xで表す。
・置換公理　"関数クラス"による集合の像は集合である：
∀x∀y∀z((ψ(x,y)∧ψ(x,z))→y=z)→∀X∃A∀y(y∈A↔∃x∈Xψ(x,y)) 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。

>>8-9より 再録
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
Terence Tao “big picture”
(参考)
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/306

307: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 21:01:27.94 ID:dSyweoWi

つづき

形式化された理論
メンタルピクチャーの対極にあるのは、形式化（formalize）されコード化された理論（FT）だ。
数学の研究論文における形式的●●●議論は、例えばLean4やCoqなどのコンピューター言語による形式化からすれば、まだまだ「非形式的（informal）」なものだろう。人間のやる数学はまだまだインフォーマルであり、行間が広く、とてもとても形式的議論とは言えない。
とはいえ、ここで「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*)　　MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。
形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/307

313: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:37:37.09 ID:dSyweoWi

>>308-312

村田 全先生
「ベールの有限主義は論理的には強固であっても，実際にはかえってやっかい厄介になり，しかも自然数の自然列は誰もが同じ心像をもつ（らしい）のでこれを認めるが・・・」
と記す
まあ、他人が”有限主義”であっても、どうしようもない
個人の自由ですからね
？ 数学科生だって？ そりゃ 君 ”有限主義”やってれば 数学科ではオチコボレは必定だよｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%91%E7%94%B0%E5%85%A8
村田 全（むらた たもつ、1924年3月11日 - 2008年7月6日）は、日本の数学史学者・数理哲学者、立教大学名誉教授
著書
『数学と哲学との間』 玉川大学出版部、1998
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/munehiro/science/scilib.html
科学図書館
村田　全の部屋
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/munehiro/science/Murata/France-keiken.pdf
『数学と哲学との間』所収。フランスの数学者、ボレル、ベール、ルベーグたちのヒルベルトの公理主義のアンチテーゼとしての経験主義を解明する。
フランス経験主義の数学思想 村田　全
付録1　
ゲーデルの決定不能定理
付録2　
帰納的関数と帰納的述語
この論文の原型「数学におけるフランス経験主義」は『科学基礎論研究』（第巻，）に書かれたものだが，
「ボレルのエフェクチブ概念の形成1)」の補足として収録した。
単独で読まれることを考慮した余り「ボレルのエフェクチブ概念の形成」との重複が残ったのは遺憾だが，
多少でも現代的意味があるように大幅な削除と加筆をした。
挿入部分【補注】と章末の【補説】がそれである。
今から見ると，私はボレルたちの数学の本当の内容を離れて「思想」ばかりにこだわり，かえってその数学の本質を失した面もあったかと思うが，【補説】で少しは補ったつもりである。

P4
ボレルは色々な試論のあげく揚句，自然数全体は認め，もう一つの全体は認めぬと言う結論に達するのであるが，その根拠は必ずしも論理的なものでなく，プラグマティックないし心理的なものである。ここにはボアンカレの影響もあったであろう。即ち「ベールの有限主義は論理的には強固であっても，実際にはかえってやっかい厄介になり，しかも自然数の自然列は誰もが同じ心像をもつ（らしい）のでこれを認めるが・・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/313

315: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/26(火) 23:53:10.75 ID:dSyweoWi

>>306
さて
１）昔学部の1〜2年で”リーマン球面と無限遠点”の話を聞いて、えらく感心したのを覚えている
　実関数y=1/x を考えると 原点x＝0 に負側から近づくと-∞で、正の方からなら+∞に発散するところ
　複素平面を球面にして、複素関数y=1/x で x→∞ だと y→∞（プラスやマイナス関係ないのでビツクリ）
２）いまリーマン球面にアキレスが居るとして 原点0 から出発して 実軸上をどんどん＋側に進むと北極点に到達する
　アキレスの足をもってすれば、これは簡単だ
３）ところが、複素平面のままなら そうはいかない。アキレスの足でも無限遠点に到達するのはタイヘンなのです

これは、たとえ話
無限だのへったくれだの言うが、リーマン球面か複素平面かで考え方が大きく変わるのだ
リーマン えらい！！（＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2663
高校数学の美しい物語
リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである
リーマン球面を C^  などと書く
リーマン球面とは，複素数に一点を追加することでより便利に複素数を扱えるようにした集合です。
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto/shikakutimes/s3/bend-image/1657605343.png
位相空間論からの話題：一点コンパクト化
リーマン球面の考え方は一点コンパクト化というトピックに関連します
有界な閉集合はコンパクト集合です
複素平面全体は無限に広がっているため，コンパクトではありません
既に見た通り，リーマン球面は三次元単位球面と見なすことができます。三次元単位球面は，有界で閉なのでコンパクト集合となります。
コンパクトではない複素平面に無限遠点を追加することでコンパクト集合が得られるのです
このようにコンパクトではない集合に一点を追加してコンパクト集合を得ることを一点コンパクト化といいます。無限に広がるものに一点追加することで有限のものとして解釈できることは非常に興味深いことです
実積分を複素積分から見たほうが簡単に計算できるように，複素数も一段階広いリーマン球面から見つめることでシンプルに見えてくることが多いです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
一点コンパクト化の例
・自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元 ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/500px-Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/315

319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 07:28:23.07 ID:6Zc3kOJS

>>315 補足
>https://manabitimes.jp/math/2663
>高校数学の美しい物語
>リーマン球面と無限遠点 2022/07/21
>リーマン球面とは，複素平面 C に無限遠点 ∞ を追加したものである

さて>>306より
”日常の数学の下に素朴集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階が素朴集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階の素朴集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば
　その日常の数学の無限操作は許されるのだ”

話は飛ぶが、初期のパソコンでは（下記） ”当時ディスプレイは キャラクタディスプレイと呼ばれていた”
”画面全体を画像として出力するほどの性能がコンピュータ側になかったため、画面に表示する文字の情報だけをキャラクタディスプレイに渡して、ディスプレイ側が描写を受け持つ仕組み”
だった

『リーマン球面と無限遠点』は、あたかも 3階の日常の数学で グラフィックディスプレイ を使うようなもの
一方、1階の公理的集合論には、グラフィックな情報を扱う機能はありません！ｗ
これだけで、公理的集合論だけでは 日常の数学はできないと すぐわかるｗｗ
（いまの一般の日常は グラフィックディスプレイで 動画があたりまえ なのだ。数学解説動画もあるよ ；ｐ）

(参考)
https://www.rescue-center.jp/elementary/vol52.html
データレスキューセンター
ディスプレイについて
ディスプレイとは、コンピュータなどの機器から出力した情報を表示する装置で、モニターとも呼ばれています。かつては、パソコン用のディスプレイは、大きくて重いブラウン管のCRTディスプレイが主流でした。技術の進歩により液晶ディスプレイ、プラズマディスプレイ、有機ELディスプレイなどの薄型タイプのディスプレイへと移り変わっています。
現在では、省スペースで消費電力が少なく価格も抑えられた液晶ディスプレイが主流となっています。
当時のディスプレイは、キャラクタディスプレイと呼ばれていました。「キャラクタ」は文字という意味で、その名の通り、単色の文字を表示する機能しかありませんでした。
画面全体を画像として出力するほどの性能がコンピュータ側になかったため、画面に表示する文字の情報だけをキャラクタディスプレイに渡して、ディスプレイ側が描写を受け持つ仕組みとなっています。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/319

323: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/27(水) 08:02:58.44 ID:LnNUaNsl

>>301
＞数列と収束の現代的定義を述べておく．
存分に勉強してね

＞「数列{an} n=1〜∞ は自然数の集合Nから実数の集合Rへの写像である」
その通り　「自然数から実数への写像」だよ
「数を無限回並べ切ったもの」なんて定義してない

＞「lim n→∞ an = a であるとは，
＞任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
＞任意の自然数nについてn≥Nならば| an−a |＜ ϵが成り立つことである」．
その通り　よくできました（パチパチパチ）

＞ここで注目すべきは，
＞実無限と可能無限の双方を取り入れた形で
＞収束を定義していることである．

どこを実無限、どこを可能無限、といってる？
自然数の集合Nを使ってるから実無限といってる？
そういう言葉の定義ならそうなるけど
Nを定義するのに自然数を無限回並べるとかしてないよ

数列の各項anとの比較しかしてないから可能無限と言ってる？
そういう言葉の定義ならそうなるけど
ただ、極限aをもろに出してるよね
これって君のいう「無限回の操作の結果」であって
実無限なんじゃない？

実は収束の定義って使えない定義ではあるね
なぜって収束先ａが必要になるだろ？
でも、実際は収束先が分からなくても
収束するかどうか知りたいだろ？

どうすればいい？そのためにコーシー列という概念がある

＞「数列anがコーシー列であるとは
＞任意の正数ϵに対して，ある自然数Nが存在して，
＞任意の自然数n,mについてn,m≥Nならば| an−am |＜ ϵが成り立つことである」．

収束列はコーシー列であるが、実は逆も成り立つ
というか、実は逆も成り立つように実数を定義したんだけどね
実数を有理コーシー列の同値類にしちゃったから

つまり実数列の収束って
「自然数から有理コーシー列への写像が、実数の意味でのコーシー列であり
　したがって、その写像から、収束先となる有理コーシー列が構成できる」
ってことなんだけどね

で、「」内のどこにも無限回の操作の完了なんか使ってないだろ？

これが、◆yH25M02vWFhPが大学時代理解できなかった大学数学の思考だよ！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/323

342: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 10:55:22.30 ID:lxYE416P

>>339
>有限で発狂する馬鹿を●す一言
>「ベクトルは数の並びだ」
>はい死んだ

ほいよ
ブーメラン発生！！
”そもそもベクトルとはなんぞやと聞かれた時その答えは、数の並びです” 【理系東大生による数学解説】
”線型代数学：線型代数学は高々有限次元のベクトル空間の理論である。これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。無限次元の線型代数学は関数解析学と呼ばれる ”

(参考)
google検索：ベクトルは数の並びだ
＜検索結果＞
https://pokeyobi.jp/archives/1741
ポケット予備校
【理系東大生による数学解説】~ベクトル編~
2020年12月15日
結論から言ってしまうと
(少なくとも)高校分野のベクトルは非常に簡単
そもそもベクトルとはなんぞやと聞かれた時その答えは、数の並びです。

https://mathlandscape.com/numerical-vector/
数学の景色
数ベクトルの定義と数ベクトルにおけるノルム・内積
2022.09.06
数ベクトルとは，ざっくりいうと数を並べたものです。数を並べたものを「ベクトル」という一つのかたまりとして扱うことで，いろいろ便利なことがあるわけです。

https://oguemon.com/study/linear-algebra/highschool-vector/
oguemon.com
【ベクトル編】高校のベクトルを基礎から復習！＋α
2018年4月14日作成
ベクトルは、元々はただの数字の並びです。しかし、平面や空間と絡めると性質を直感的に理解できるということで、高校ではそのように教えているのですよね。
そこで、この記事から数回に亘って、「ベクトル × 空間」をテーマに掲げて、高校で習ったことの復習も兼ねながら、ベクトルがもつ幾何学的な意味について改めて解説したいと思います！

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
線型代数学
ベクトル空間とその変換の理論として見るとき、線型代数学は高々有限次元のベクトル空間の理論である。これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。無限次元の線型代数学は関数解析学と呼ばれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/342

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