Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (896ﾚｽ)
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651: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/01(月) 17:46:38.38 ID:gg6LcAZV

>>645
>>aから直接 M(x)’を 分出公理で 部分集合として取り出せば それで終わりでしょ！
>それで終わりなら、なんでやらないの？

既出だが
中高一貫生も来る可能性があるので、下記を再録しておく ；ｐ）

>>531 再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限集合Iから自然数を抽出する
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり、
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする。おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである
これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である
明らかに(*)を満たす
以下略

再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/271
(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人 筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ 坪井明人(2014年)
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1 集合論の公理 5
1.1.9 無限公理 8
P8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/651

660: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/02(火) 07:26:02.45 ID:Xe3fp6ug

>>656-657
>>繰り返し無限に取る
>そんなアホなこと言ってると中高一貫生に笑われますよ
>iutでも、set theoretic formulasを扱うのに、
>本気で人が集合を操作できると思ってるヨーダし、

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから 赤ペン先生をしておくよ
下記の”極限　松田茂樹 千葉大学大学院理学研究科”を見てちょ
これは、圏論を使った 極限の話だ
1980年代の数学科では教えなかったろう　；ｐ）
要するに、” Z^ := lim ←−Z/nZ
ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くはPrüfer (プリュファー)環と呼ばれており, 数論では様々な場面に現れる”
これが、下記 星裕一郎 宇宙際 Teichmüller 理論入門 の冒頭
”§1. 円分物”に出てくる

要するに、日常語での”繰り返し無限”は、圏論の極限で正当化される場合がある
（集合論で正当化される場合もある 例：形式的べき級数）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限　松田茂樹 千葉大
1 序
この文章は千葉大の学生向けに書いた極限についての紹介文です。主に[Ta78], [Ka76] および[Mac98], を参考にしています
集合論における, 部分集合の族の共通部分, 和集合, 直積や非連結和, ファイバー積, また, 加群の理論における核, 余核, 直積, 直和, 整数論に出てくるp進整数環や, より一般に可換環の線形位相についての完備化, これらはすべて, (圏における) 極限と呼ばれる概念を用いて定義することができる。従って, 極限を学ぶことで様々な概念を統一的に理解し, 扱えるようになる。またそれだけでなく,それらの間の関係を調べたり, これまでの手段では表現が難しかった対象をわかりやすく表現できるようになる
Ｐ10
2.4 擬順序集合上の極限の例
(2.4.11) 例 ( Z^). 自然数の集合 N に n | mなる関係で順序関係を入れ, 擬順序集合とみなす。位相環の圏(TopRng) におけるN上の逆系(Z/nZ)n を考える
略
Z/nZには離散位相を入れる。この逆極限は,
略
こうして定まる逆極限を
(2.4.11.1) Z^ := lim ←−Z/nZ
と書き, ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くはPrüfer (プリュファー)環と呼ばれており, 数論では様々な場面に現れる

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/papers.html
星 裕一郎 の ホームページ 論文
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
宇宙際 Teichmüller 理論入門 RIMS 2019,79-183.
P83
§1. 円分物
円分物とは何でしょうか. それはTate 捻り“Z^(1)” のことです. 広義には, Z^(1) の商や, あるいは,“(Q/Z)(1)” という可除な変種も円分物と呼ばれます. 遠アーベル幾何学において, この円分物の “管理” は非常に重要です. この点について, もう少し説明しましょう
一言で“Z^(1)” と言っても, 数論幾何学には様々な“Z^(1)” が登場します. 例えば,以下が“Z^(1)” の例です:
(a) (標数 0 の) 代数閉体Ωに対するΛ(Ω) def = lim ←n µn(Ω)　　ここで, n≥1に対して, µn(Ω) ⊆Ω は, Ω の中の 1 のn乗根のなす群を表す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/660

678: １３２人目の素数さん [] 2025/09/02(火) 14:35:41.82 ID:SkBP9bZ4

つづき

>「{}に0,1,2,・・・を順次追加していき、無限回の追加が完了してNが出来上がる」
>とはなっていないことは、ペアノの公理を一階述語論理上で形式化した場合に
>超準的自然数を持つモデルが生じてしまうことからも明らかである

そうですな ここで重要ポイントは、一階述語論理は 綺麗だが 弱くて不便
普段の数学は、一階述語論理しばりは うれしくないってことですね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
公理
この公理は、数学的帰納法の原理である[注釈 3]。
これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない[5]。
注釈3
^ 任意の部分集合に関する量化を行っているので、これは一階述語論理では形式化できない。
範疇性
集合 ℕ^ と定数 0^ と関数 S^ がペアノの公理を満たすとき組 (ℕ^, 0^, S^) をペアノ構造（Peano structure）という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる[注 1]、つまりペアノの公理は範疇的（categorical）であることがわかる。
一方で後述するペアノ算術はレーヴェンハイム＝スコーレムの定理から超準モデルをもつので範疇的ではない。
注釈１
^ すなわち全単射 φ: ℕ → ℕ^ で φ(0) = 0^ かつ φ ∘ S = S^ ∘ φ を満たすものが存在する。
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
次の3つの公理は、自然数に関する一階の命題であり、後続演算の基本的な性質を表現する。9番目の最後の公理は、自然数に対する数学的帰納法の原理に関する二階の命題であり、この定式化は二階算術に近い。
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic
Second-order logic
(google訳)
表現力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現力に富んでいます。例えば、定義域がすべての実数の集合である場合、一階述語論理では、各実数の加法逆数が存在することを次のように主張できます。
略
しかし、実数集合の最小上界性、すなわち、すべての有界かつ空でない実数集合には上限が存在することを主張するには、二階述語論理が必要である
第二階論理では、「定義域は有限である」または「定義域は可算 濃度である」という形式文を書くことができます。
History and disputed value
In recent years[when?] second-order logic has made something of a recovery, buoyed by Boolos' interpretation of second-order quantification as plural quantification over the same domain of objects as first-order quantification (Boolos 1984).
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/678

683: １３２人目の素数さん [] 2025/09/02(火) 17:26:29.28 ID:SkBP9bZ4

>>678 補足

>>306より
　日常の数学の下にカジュアル集合論があり、その下に 公理的集合論がある
　三階建で、3階が日常の数学、2階がカジュアル集合論、1階が公理的集合論だ
　それで、3階の日常の数学で 何か無限操作を考えるとき
　それを 2階のカジュアル集合論 なり 1階の公理的集合論に翻訳できれば いい
（元は、カジュアル集合論は 素朴集合論だったが 語感が悪いので変えた）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階論理とメタ論理学の成果
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
・（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
・（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
・（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。
上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
(引用終り)

要するに、いまどき 複雑化した 21世紀 現代数学を まともに全部を 1階の公理的集合論で数学を する人はいない
（一部にフォーマルな1階論理が向いている議論があるとしても）
カジュアル集合論や圏論をまじえて
日常の数学が遂行されている気がする

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/683

694: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/02(火) 21:01:51.06 ID:Xe3fp6ug

>>693
>一階述語論理では形式化できないseta数学なんでしょ
>iutとお似合いなんじゃねーの

IUTは 圏論使っていると宣言しているでしょ
そして 圏論は、一階述語論理しばりではない（下記）
https://www.utp.or.jp/book/b305702.html
圏論による論理学 (冊子版)
高階論理とトポス
発売日 2007/12/14 清水義夫 著

>>692
>論理式はもちろん自然言語で書き直せる

話は逆だよ
正しい数学理論は、大体は 形式論理で書けて
よって、自動証明なども適用できる
しかし、現状では 数学定理の自動証明の敷居は高い
全部の投稿論文の証明には適用できない
（が、いまのAIや LLM が発達すれば 全部自動証明の適用可能かもよ）

>具体的には∀と∃に関する推論が分かってない
>ナイーブに⋀と⋁を無限回使えばいいと思ってる

話は逆
人の書いた数学論文で 自然数を使わない論文は おそらくは皆無
∀と∃などの記号論理だけの推論で進めると 人は読めない
それに近いのが IUTであり 最近では 幾何学的ラングランズ予想の証明かも
https://www.reddit.com/r/math/comments/1i4x1m9/drinfelds_comment_on_the_geometric_langlands/?tl=ja
reddit.com
r/math
8 か月前
ドリンフェルドの、ラスキンの幾何学的ラングランズ予想の証明に対するコメント： 「この結果の重要性を非数学者に説明することは不可能だ。正直言って、数学者に説明するのも非常に難しく、ほとんど不可能だ。」
New Scientist の記事から。

>>691
(引用開始)
>>686のハンパなコピペのつづき
「V で作業する代わりに、可算推移モデル M と (P,≤,1) ∈ Mを考える。
略
もし G が M の要素なら P\G も M の元となるから G は Mの元にはならない。」
(引用終り)

これも 話は逆
上記を ∀と∃などの記号論理だけで表現してみな
強制法の核心部分の説明をよｗｗｗ
出来ないだろ？
自然言語を使う方が、圧倒的に分かり易いんだよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/694

712: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/03(水) 14:39:54.01 ID:hNzKNOFY

>>711
>いずれにしろ数学には無限回操作なるものは存在しない
>無限集合、無限列、無限級数・乗積、無限小数、無限合併・交叉、形式的冪級数はいずれも無限回操作の産物ではない

アタマ 堅そうｗ
　>>8-9 加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
＜“big picture”＞ Terence Tao

まあ、言い方はなんでもいい
下記のPeriod-Mathematics氏は
”大学数学（数学科標準）を生き抜くために　〜作法、知恵、勉強法〜
（現代）数学の全体像を大雑把に把握しておく”
という

現代数学から ”無限”に関する部分をすべて消したら？
ニュートン、ライプニッツ以前になるだろうか？

下記の 松本雄也 東京理科大 環論講義ノート
”B.2形式冪級数環と収束冪級数環” 可算無限の項を持つ級数の環
収束するとき、”Cの原点上の近傍での正則関数”

これが、”メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」”じゃね？ｗ　；ｐ）

(参考)
http://yuyamatsumoto.com/ed.html
松本雄也
東京理科大学 理工学部 数学科 助教（2018年4月―）
代数学
環論入門コース [2023/03/05] 111 pages

http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
環論講義ノート
松本雄也  2023年03月05日
B環の例　66
B.1多項式環の亜種：モノイド環，群環.. . . . . . . 66
B.2形式冪級数環と収束冪級数環. . . . . . . . . 67

B.2.1 形式冪級数環
定義 B.6. Aを環とする．直積集合A[[X]] := AN に対し，多項式環と同様に加法と乗法を定める：
この環をA上の1変数の形式冪級数環(formal power series ring) という．
A((X)) := A[[X]][X−1] は形式冪級数に有限個の負冪の項を加えた級数からなる環であり，1元X による局所化でもある．この環の元を形式ローラン級数 (formal Laurent power series) という．Aが体ならばA((X)) = FracA[[X]] でありこれは体である．
B.2.2 収束冪級数環
Aに適切な構造が入っていれば，冪級数の収束や収束半径を考えることができる．ここではA=Cの場合のみ考える．Cの原点上の近傍での正則関数を考えると，そのTaylor展開が考えられ，収束半径は正の実数または無限大である．r>0に対し，Br :={ n≥0anzn |収束半径はr以上である} とする

（追加(参考)）
https://period-mathematics.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2022/02/11/192336
Period-Mathematics
2022-02-11

写像の像より逆像の方が和集合だけでなく共通部分も保つなど良い性質を持つ理由は圏論的な”説明”が出来ます。詳細が気になる方はこちらhttp://yuyamatsumoto.com/ed/adjoint.pdf。一言でいうと像を取る関手は右随伴しか持たないのに対し逆像を取る関手は左随伴も右随伴も持つことに由来します。

大学数学（数学科標準）を生き抜くために　〜作法、知恵、勉強法〜
（現代）数学の全体像を大雑把に把握しておく
これはとても重要だと考えています。具体的にはその後の勉強の（心理的な）しやすさが圧倒的に変わります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/712

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