Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
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417: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 18:37:00.79 ID:lxYE416P

多項式環は、可算無限次元だが
”形式的べき級数の空間は実数体上で可算無限次元を持つと予想していました しかし、そうではないようです”by reddit.com

(参考)
https://researchmap.jp/read0140796
都築 暢夫 ツヅキ ノブオ  (Nobuo Tsuzuki)
所属東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 教授
博士(数理科学)(東京大学)
https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/tsuzuki-j.html
広島大都築暢夫
2006年度
代数学1:講義ノート
第1回(4/14), 第2回(4/21), 第3回(4/28), 第4回(5/12), 第5回(5/19), 第6回(6/2), 第7回(6/9), 第8回(6/16), 第9回(7/7),
https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I (第2回)都築暢夫4 月21 日（金） 広島大
1. 線形空間
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である。F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか。a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する。
略

https://www.reddit.com/r/math/comments/6ezomi/where_do_the_extra_dimensions_in_the_vector_space/?tl=ja
reddit.com
r/math
8 年前
（形式的な）べき級数のベクトル空間における「余分な」次元はどこから来るのでしょうか？
直感的には、形式的べき級数の空間は実数体上で可算無限次元を持つと予想していました。

しかし、そうではないようです。私の論理はこうです。空間の次元は、その空間上の任意の線形演算子の固有値の数よりも大きいため、任意の実数 [;a;] に対して[; e^{ax} ;] の（テイラー級数）を微分して、空間内に線形独立な非可算個の固有ベクトルを得ることができるため、空間は非可算無限次元を持たなければなりません。

一方、任意のべき級数には可算個の項しかなく、それらの各々に単一の実数を割り当てることができるため、可算個の次元に到達します。

上記のどちらかが明らかに間違っていますが、どちらなのかわかりません。答えは、xr（rは実数）を級数として表現することに関係があるかもしれませんが、これでは矛盾は解決しません。次元が非可算である場合、これがそうである直感的な理由はありますか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/417

422: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 20:44:49.99 ID:6Zc3kOJS

>>420
>そして線形空間の基底とは、線形空間のいかなる元も、それに属する元の有限個の線形結合で表せるもの
>素人は「有限個」を見落として無限和を考えるが、代数的には無限和は定義されないので不可
>形式的べき級数は無限和なので、各次数の項だけでは基底にならない

傍観者さん、ありがとうござんす
スレ主です
補足で下記をば
”ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）”
では、『基底ベクトルの無限線型結合までを許す』場合があるってことですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
基底（英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である[1]。
基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数（濃度）は次元と呼ばれる。基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される。

定義
体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う[1]
略
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
略
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述

（後述から下記へ飛ぶ）
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメル（英語版）に由来[6]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/422

429: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 23:12:21.49 ID:6Zc3kOJS

>>425-428
>収束の定義があるから、「無限和」が許される
>も・ち・ろ・ん、無限回足し算するわけではない
>そりゃプロの数学者が形式的冪級数環の次元がわからないなんてことはないわな

１）「無限和」から、わざと形式的冪級数 ないし 形式的冪級数環を外したの？
　下記”形式級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和”とあるけどｗ
　（分っていると思うが、形式的冪級数のXには 値は代入しない前提だ）
２）形式的冪級数環の次元は、多項式環を含むから 有限ではない
　つまり無限次元だ。あとは 可算か非可算かだ
　そのとき問題になるのは、>>422 の有限和のハメル基底か
　あるいは、”基底ベクトルの無限線型結合までを許す”かだ
　ハメル基底の有限和のしばりだと、非可算
　”基底ベクトルの無限線型結合までを許す”なら、可算

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
In mathematics, a formal series is an infinite sum that is considered independently from any notion of convergence, and can be manipulated with the usual algebraic operations on series (addition, subtraction, multiplication, division, partial sums, etc.).
（google訳）
数学において、形式級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。

<仏語>
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle
Série formelle
（google訳）
代数学において、形式級数は多項式の無限和を許容する一般化であり、解析学において冪級数が多項式関数を一般化するのと同様である。ただし、代数的枠組みにおいては、収束問題はアドホック定義によって回避される

https://www.idcf.jp/words/adhoc-processing.html
アドホック処理とは | クラウド・データセンター用語集 株IDCフロンティア
アドホック（ad hoc）とは、ラテン語で「特定の、特別の」「限定目的のための」を意味する語句です

<独語>
https://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Potenzreihe
Formale Potenzreihe
（google訳）
数学における形式的冪級数は、多項式環の多項式の一般化である。後者と同様に、形式的冪級数は環論的性質に焦点を当てているのに対し、解析冪級数は解析的（極限的）性質に焦点を当てている
これらに共通するのは、係数が環で構成されていることだ
Rこれはここでは非常に任意であるが、解析学においてはそれは完全に完備な 環、通常は体である R実数かC複素数の変数です。もう一つの違いは、「変数」が不定値であり、大文字で表記されることが多いことです
X（または Tであり、形式的冪級数において「値」が割り当てられていない
多くの共通の性質と概念を持つため、本稿では形式ローラン級数についても解説します

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/429

442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/28(木) 11:10:15.93 ID:BOT/TM68

>>438-441
ご苦労様です

>無限線型結合なるものを認めるのは線形位相空間
>形式級数は実は和をとってない
>自然数から各項の係数への写像があればいい
>写像の値同士を足すことで、級数同士の和が定義できる

さて (参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間、線型空間（英: linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である
導入
ベクトル空間の概念について、特定の二つの場合を例にとって簡単に内容を説明する
平面上の有向線分
略
数の順序対
略
定義
集合 V が、その上の二項演算 + と、体 F の V への作用 ◦ をもち、これらが任意の u, v, w ∈ V; a, b ∈ F[nb 1]に関して次の公理系を満たすとき、三組 (V, +, ◦) は「体 F 上のベクトル空間」と定義される[1][2]。
公理： 加法の結合律、可換律、逆元の存在・・
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された。その当時、代数学と新しい研究分野であった関数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた
(引用終り)

「形式級数は実は和をとってない
　自然数から各項の係数への写像があればいい」
という メンタルピクチャー（加藤文元>>8）を否定はしない
複雑な対象は、多面的な切り口で見るべしが、私の流儀だから

だが、形式的冪級数環>>429は 上記のja.wikipedia ベクトル空間の公理を満たすよ
だから、形式的冪級数環は ベクトル空間の一種であり
収束を考えないのが 形式的冪級数の根本なのだから
素朴かつ単純に無限和と考えても 収束を考えない以上 矛盾は生じない

>有理数の無限列Q^Nにおけるコーシー列の全体は部分線形空間をなす

余談だが、Formal power series 下記 "形式的な冪級数を関数として解釈する"
がある
f(x)= Σ n >= 0 a_n*x^n ＝a0 + a1 x +a2 x^2 +a3 x^3 +・・・
で 10進小数展開を考える。 x=1/10 として  a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
a0は 任意整数とする
これで 形式的な冪級数を使った 無限10進少数展開を考えることができる
これが 従来のコーシー列の収束による実数の定義と一致することは  賢い人は少し考えれば分かるだろう
（私は 賢くないので略しますｗ ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
(google訳)
形式冪級数
形式的な冪級数を関数として解釈する
数学解析において、すべての収束する冪級数は、実数または複素数の値を持つ関数を定義します。特定の特殊環上の形式的な冪級数も関数として解釈できますが、定義域と余域には注意が必要です
f(x)= Σ n >= 0 a_n*x^n (nは自然数全体を渡る)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/442

443: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/28(木) 12:09:19.66 ID:BOT/TM68

形式的冪級数環は なんの役に立つ？
あれ、山下剛先生がいる　（＾＾

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/ohnosan.pdf
p進多重ゼータ値,p進多重L値,次元予想
2005年3月東京大学大学院数理科学研究科　
山下　剛(GoYAMASHITA) GraduateSchoolofMathematicalSciences,UniversityofTokyo
P6
ABを変数に持つCp係数の非可換形式的冪級数環をCp<<A,B>>で表す.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/msj05.pdf
共形場理論と作用素環，頂点作用素代数
河東泰之(かわひがしやすゆき)東京大学大学院数理科学研究科 2005年3月30日
P4
Diff(S1)に関する共変性はVirasoro 元と呼ばれるV の特別な元ω に関する条件として公理化される．このω に対応する形式的べき級数の係数たちが，Virasoro 代数の関係式を満たすというのが公理である．
ここに自然にcentral charge c が現れる．さらに局所性の公理について説明しよう．V の元v,wに対する形式的べき級数v(z),w(z)は本来作用素値超関数だったはずなので，・・・

http://yuyamatsumoto.com/index_j.html
松本雄也
東京理科大学 創域理工学部 数理科学科 講師（2023年4月―）
http://yuyamatsumoto.com/ed.html
授業資料
代数幾何 http://yuyamatsumoto.com/ed/alggeom1.pdf
代数幾何入門コース [2021/01/26] 138 pages. スキームを定義してエタール基本群やエタールコホモロジーの話をします．証明の肝心なところは書いていません． 目次：【導入／（可換）環と素イデアル／層／スキーム／スキームの射に関する諸性質
代数学
環論入門コース [2023/03/05]
http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
環論講義ノート 松本雄也(matsumoto.yuya) 2023年03月05日
目次
B環の例 . . .66
B.1多項式環の亜種：モノイド環，群環. . .. 66
B.2形式冪級数環と収束冪級数環. . .. . . . 67

P67
B.2 形式冪級数環と収束冪級数環
本小節では環は可換とする．
B.2.1 形式冪級数環
P68
B.2.2 収束冪級数環
Aに適切な構造が入っていれば，冪級数の収束や収束半径を考えることができる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/443

447: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/28(木) 14:38:05.20 ID:BOT/TM68

>>443 補足
>https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/msj05.pdf
>共形場理論と作用素環，頂点作用素代数
>河東泰之(かわひがしやすゆき)東京大学大学院数理科学研究科 2005年3月30日

これは、もとをいろいろ調べると
下記 日本数学会，企画特別講演， 日本大学，2005年3月 関連ですね
なお、河東泰之の論文リスト から
”[45] Y. Kawahigashi, R. Longo, Local conformal nets arising from framed vertex operator algebras”
を貼っておきます

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/talks.htm
河東泰之の講演リスト
171. 共形場理論と作用素環，頂点作用素代数
日本数学会，企画特別講演， 日本大学，2005年3月．

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1507-7.pdf
数理解析研究所講究録
1507 巻2006 年75-87
共形場理論と作用素環, 頂点作用素代数
河東泰之(Yasuyuki Kawahigashi)
東京大学大学院数理科学研究科
この原稿は, 日本数学会2005 年企画特別講演の予稿[24], 作用素論作用素環論
研究会の報告集[25] が元になっていることを最初にお断りしておく.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/bib.htm
河東泰之の論文リスト
[45] Y. Kawahigashi, R. Longo, Local conformal nets arising from framed vertex operator algebras,
Adv. Math. 206 (2006), 729-751. PDF file math.OA/0407263 ScienceDirect MathSciNet
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/framed6.pdf
2004年春にローマでやった．2005年春にローマで改良して自己同型群が本当にモンスターであることを示せてよかった． かなり役に立つ結果だ．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/447

458: １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 18:04:36.40 ID:kP4qetJ1

大学卒（特に数学科以外）の人が理解できて、かつ有用で難しい数学を考えるとき、以下の点を考慮します：

理解可能性: 数学科以外の人が学ぶには、抽象的すぎず、直感的な応用例や現実世界とのつながりがある分野が適しています。
高度な数学的背景がなくても、努力次第で理解可能な領域が望ましいです。
有用性: 科学、工学、経済、データサイエンスなど、現代社会で広く応用されている分野が候補になります。
難しさ: ある程度の挑戦性があり、大学レベルの基礎知識（例えば微積分や線形代数）を前提に、さらに一歩進んだ内容であること。

これらを踏まえると、確率論・統計学（特に確率過程やベイズ統計）と離散数学（特にグラフ理論や組み合わせ論）が、バランスの取れた候補として挙げられます。
その中でも、確率過程（例：マルコフ連鎖やブラウン運動）は、難しいが有用で、理解しやすい直感的な応用例が多いため、特に推薦したいと思います。

理由
確率過程の特徴:
内容: 確率過程は、ランダムに変化する現象を時間軸上でモデル化する数学です。
マルコフ連鎖（状態が次の状態にのみ依存するモデル）やブラウン運動（ランダムな動きを記述）は、比較的直感的な概念から始まりますが、
理論を深めると高度な数学（例えば確率微分方程式）に繋がります。
理解可能性: 大学で学んだ微積分や基本的な確率・統計の知識があれば、マルコフ連鎖の基本（遷移確率行列など）は理解可能です。
視覚的な例（天気予報モデルやGoogleのページランクアルゴリズム）を通じて、直感的に学べます。
有用性: 確率過程は、以下のような分野で広く応用されています：
金融工学: 株価やオプション価格のモデル（ブラック・ショールズモデルなど）。
データサイエンス: 機械学習（例：隠れマルコフモデルや時系列分析）。
物理学・工学: ランダムな信号処理や分子運動のモデル化。
社会科学: 感染症モデル（SIRモデルなど）や経済の動態解析。

難しさ: 基本的なマルコフ連鎖は理解しやすいですが、定常分布の計算や確率微分方程式（例：伊藤の公式）になると、数学的に挑戦的です。
数学科以外の人がこれをマスターするには努力が必要ですが、不可能ではありません。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/458

468: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/29(金) 07:43:37.26 ID:QS2EkFr7

>>442 追加
>10進小数展開を考える。 x=1/10 として a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
>和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
>a0は 任意整数とする
>これで 形式的な冪級数を使った 無限10進少数展開を考えることができる
>これが 従来のコーシー列の収束による実数の定義と一致することは 賢い人は少し考えれば分かるだろう

下記、”形式的冪級数環R[[x]]は、多項式環R[X]の（x）進完備化として見ることができる”
に関連して
有理数環Q(実は体)を係数とする多項式Q[X]で 上記同様に
”x=1/10 として a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
a0は 任意整数とする”ことで
有限小数環（これをUとする）ができる
有理数Qを完備化すると、実数Rを得ると同様に
有限小数環Uを完備化すると、R[X]→R[[x]]同様に 実数Rを得る■

形式的冪級数環R[[x]]を、どうメンタルピクチャー（>>8 加藤文元）として とらえるか？
それは各人自由だが
『形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和』（下記）
と考えるのも ”あり”だろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
（google訳）
形式冪級数
形式冪級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。
A formal power series with coefficients in a ring R is called a formal power series over R.
The formal power series over a ring R form a ring, commonly denoted by R[[x]].
(It can be seen as the (x)-adic completion of the polynomial ring
R[x], in the same way as the p-adic integers are the p-adic completion of the ring of the integers.)
環R上の係数を持つ形式的な冪級数Rは、R環上の形式的冪級数環を形成する。
環R上の形式的冪級数は、一般的にはR[[×]]と書かれる。
（これは多項式環R[×]の（x）進完備化として見ることができる、p進整数が整数環のp進完備化であるのと同じです）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/468

478: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/29(金) 15:39:07.34 ID:qJbWNB4x

>>474-475
>凡庸な学生に数学を教える教授の人生は無駄ですか？
>読売新聞を構うほどではない

ID:8hn3mZ12 は、御大か。巡回ご苦労様です
囲碁プロ棋士でも、アマ指導碁を打つことはある
非凡な将来プロ棋士になりそうな人とは別に
昔は財界の大物とか 政治家もいた。後者は お客さんでもあった

数学も いつから プロ化したかは不明だが
ニュートンあたりですかね
もっとも、ニュートンが数学者か物理学者かは 議論のあるところだろう

さて 21世紀 現在のプロ数学者は だいたいが アカデミックポストないし
数学研究所のポストを得て、プロとして成り立っている
（日本では、文科省の予算で成り立つ面も多い）

大学で、凡庸な学生もいれば たまに非凡な学生もいる
凡庸な学生が、数学科に紛れ込んだ以上 それなりに 数学を教えるのも仕事のうち
一般社会は、天才だけで成り立っているわけではない

例えば、下記 気象庁の天気予報に使う コンピュータシステムと予報プログラムなど
眞鍋 淑?ｶ氏が、2021年ノーベル物理学賞受賞を受賞したことを思い出す人もいるだろうが
天気予報のコンピュータシステム 担当者が 「数学はさっぱり分からない」では つらいだろう

そういう人に、「そも (流体の)偏微分方程式とは何か？」から教えること
これは、将来数学研究者をめざす 非凡な学生とは 別だね
その人たちが、何年度かにまた 新しい 気象予報コンピュータシステムを更新するのです

そういえば、ミレニアム懸賞問題で、流体の偏微分方程式が出されていたな（下記）

(参考)
https://scj2025.supercomputing-japan.org/wp-content/uploads/SCJ2025/A-3-Katsuhiko_Gantsu.pdf
気象庁の新スーパーコンピュータシステムについて
令和7年2月3日
気象庁情報基盤部数値予報課プログラム班
雁津克彦
本日は以下の紹介を予定している– 気象庁でのHPCの利用 〜数値予報について〜– 気象庁のスーパーコンピュータについて– スーパーコンピュータ上でのプログラムの実行について• 特に昨年令和6年3月に導入した第11世代スーパーコンピュータシステムを中心に紹介する

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%9E%E9%8D%8B%E6%B7%91%E9%83%8E
眞鍋 淑?ｶ（まなべ しゅくろう、新字体：真鍋 淑郎、英語: Syukuro "Suki" Manabe、1931年（昭和6年）9月21日 - ）は、日系アメリカ人一世の地球科学者（気象学[1]・気候学[1]）
2021年ノーベル物理学賞受賞

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%93%E3%82%A8%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E8%A7%A3%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%A8%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%95
ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
Clay Mathematics Institute（クレイ数学研究所）は2000年5月にこの問題を、数学の 7つのミレニアム懸賞問題の一つとした。最初にこの問題の解を与えたものに$1,000,000を賞金として進呈すると約束した[1]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/478

480: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 16:34:54.40 ID:qJbWNB4x

ICM2026 Plenary Lectures Dennis.Gaitsgory
へー

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Langlands_correspondence
Geometric Langlands correspondence

Status
The geometric Langlands conjecture was proved for
GL(1) by Pierre Deligne and for
GL(2) by Drinfeld in 1983.[6][7]
Laurent Lafforgue proved the geometric Langlands conjecture for
GL(n,K) over a function field
K in 2002.[2]

A claimed proof of the categorical unramified geometric Langlands conjecture was announced on May 6, 2024 by a team of mathematicians including Dennis Gaitsgory.[8][9]
The claimed proof is contained in more than 1,000 pages across five papers and has been called "so complex that almost no one can explain it". Even conveying the significance of the result to other mathematicians was described as "very hard, almost impossible" by Drinfeld.[10]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%BA%E5%AF%BE%E5%BF%9C
幾何学的ラングランズ対応

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%8B%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%82%A4%E3%83%84%E3%82%B4%E3%83%AA
デニス・ゲイツゴリー (Dennis Gaitsgory、1973年10月31日 - )はユダヤ系アメリカ人の数学者。現在はマックス・プランク数学研究所に所属[1]。専門は代数、表現論、代数幾何学。
幾何学的ラングランズ対応に関するベイリンソン・ドリンフェルドのプログラムにおける貢献で著名である。博士論文において保型形式の幾何学化プログラムに対する貢献。アファイングラスマン多様体上に同変偏屈層の畳み込みの理論を構成し、ある種の表現の作用がグラスマン多様体に反映することを示した。
受賞歴
2000年 ヨーロッパ数学会賞
2025年 数学ブレイクスルー賞[2]

https://en.wikipedia.org/wiki/Dennis_Gaitsgory
Dennis Gaitsgory
Honors and awards
In 2025, he received the Breakthrough Prize in Mathematics.[3]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/480

483: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 23:10:01.20 ID:QS2EkFr7

追加
川崎徹郎
”集合の議論では無限個のものの合併や共通部分が、
極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。
無限個の集合の合併や共通部分を、
有限個の集合の合併や共通部分の極限として扱うことは無理があり、
正しくない結論を導くことがある。”

https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
川崎研究室文庫
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/html-16isou-nyuumon-enshuu.html
位相入門テキスト(演習問題)
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/16isou-nyuumon-text.pdf
位相入門 川崎徹郎2016

P11
集合の議論では無限個のものの合併や共通部分が、
極限の操作を経ずに、いっぺんに定まる。
無限個の集合の合併や共通部分を、
有限個の集合の合併や共通部分の極限として扱うことは無理があり、
正しくない結論を導くことがある。

1.5 集合族
集合族に対してもそれらの共通部分、合併集合が定義できる。

P26
3 距離空間の開集合、閉集合

P40
5 連続写像
写像または関数の連続性を厳密に定義し、それを用いて厳密な証明を組み立てることは、なかなか難しいことであった。
高校数学では、「限りなく近づくとき」という言葉を用いて表現された。
すなわち、yがxに限りなく近づくとき、f(y)がf(x)に限りなく近づくならば、関数f は連続である、と定義したのである。
この定義は十分に厳密なのであるが、大規模な一般論を展開するには不便である。
たとえば、連続関数の極限が連続関数になるための条件、一様収束性を、このような論法で述べるのは困難であろう。
そこで登場するのが、いわゆる、ε-δ論法である。
略

P42
定理5.13
2つの距離空間[X,dX],[Y,dY]の間の写像f : X →Y に関する条件(A)〜(D) はすべて同値である。
(A) f は連続である。
(B) U をY の開集合とすると、f^−1(U)はXの開集合である。
(C) F を Y の閉集合とすると、f^−1(F)はX の閉集合である。
(D) X の任意の部分集合Aに対して、f(A^-)⊂f(A)^-である。

https://researchmap.jp/read0049674
川崎 徹郎
カワサキ テツロウ  (Tetsuro Kawasaki)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/483

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