Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (903ﾚｽ)
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417: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 18:37:00.79 ID:lxYE416P

多項式環は、可算無限次元だが
”形式的べき級数の空間は実数体上で可算無限次元を持つと予想していました しかし、そうではないようです”by reddit.com

(参考)
https://researchmap.jp/read0140796
都築 暢夫 ツヅキ ノブオ  (Nobuo Tsuzuki)
所属東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 教授
博士(数理科学)(東京大学)
https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/tsuzuki-j.html
広島大都築暢夫
2006年度
代数学1:講義ノート
第1回(4/14), 第2回(4/21), 第3回(4/28), 第4回(5/12), 第5回(5/19), 第6回(6/2), 第7回(6/9), 第8回(6/16), 第9回(7/7),
https://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I (第2回)都築暢夫4 月21 日（金） 広島大
1. 線形空間
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である。F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか。a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する。
略

https://www.reddit.com/r/math/comments/6ezomi/where_do_the_extra_dimensions_in_the_vector_space/?tl=ja
reddit.com
r/math
8 年前
（形式的な）べき級数のベクトル空間における「余分な」次元はどこから来るのでしょうか？
直感的には、形式的べき級数の空間は実数体上で可算無限次元を持つと予想していました。

しかし、そうではないようです。私の論理はこうです。空間の次元は、その空間上の任意の線形演算子の固有値の数よりも大きいため、任意の実数 [;a;] に対して[; e^{ax} ;] の（テイラー級数）を微分して、空間内に線形独立な非可算個の固有ベクトルを得ることができるため、空間は非可算無限次元を持たなければなりません。

一方、任意のべき級数には可算個の項しかなく、それらの各々に単一の実数を割り当てることができるため、可算個の次元に到達します。

上記のどちらかが明らかに間違っていますが、どちらなのかわかりません。答えは、xr（rは実数）を級数として表現することに関係があるかもしれませんが、これでは矛盾は解決しません。次元が非可算である場合、これがそうである直感的な理由はありますか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/417

422: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 20:44:49.99 ID:6Zc3kOJS

>>420
>そして線形空間の基底とは、線形空間のいかなる元も、それに属する元の有限個の線形結合で表せるもの
>素人は「有限個」を見落として無限和を考えるが、代数的には無限和は定義されないので不可
>形式的べき級数は無限和なので、各次数の項だけでは基底にならない

傍観者さん、ありがとうござんす
スレ主です
補足で下記をば
”ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）”
では、『基底ベクトルの無限線型結合までを許す』場合があるってことですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
基底（英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である[1]。
基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数（濃度）は次元と呼ばれる。基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される。

定義
体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う[1]
略
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
略
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述

（後述から下記へ飛ぶ）
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメル（英語版）に由来[6]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/422

429: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/27(水) 23:12:21.49 ID:6Zc3kOJS

>>425-428
>収束の定義があるから、「無限和」が許される
>も・ち・ろ・ん、無限回足し算するわけではない
>そりゃプロの数学者が形式的冪級数環の次元がわからないなんてことはないわな

１）「無限和」から、わざと形式的冪級数 ないし 形式的冪級数環を外したの？
　下記”形式級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和”とあるけどｗ
　（分っていると思うが、形式的冪級数のXには 値は代入しない前提だ）
２）形式的冪級数環の次元は、多項式環を含むから 有限ではない
　つまり無限次元だ。あとは 可算か非可算かだ
　そのとき問題になるのは、>>422 の有限和のハメル基底か
　あるいは、”基底ベクトルの無限線型結合までを許す”かだ
　ハメル基底の有限和のしばりだと、非可算
　”基底ベクトルの無限線型結合までを許す”なら、可算

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
In mathematics, a formal series is an infinite sum that is considered independently from any notion of convergence, and can be manipulated with the usual algebraic operations on series (addition, subtraction, multiplication, division, partial sums, etc.).
（google訳）
数学において、形式級数は収束の概念とは独立して考えられる無限和であり、級数に対する通常の代数演算（加算、減算、乗算、除算、部分和など）で操作することができます。

<仏語>
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle
Série formelle
（google訳）
代数学において、形式級数は多項式の無限和を許容する一般化であり、解析学において冪級数が多項式関数を一般化するのと同様である。ただし、代数的枠組みにおいては、収束問題はアドホック定義によって回避される

https://www.idcf.jp/words/adhoc-processing.html
アドホック処理とは | クラウド・データセンター用語集 株IDCフロンティア
アドホック（ad hoc）とは、ラテン語で「特定の、特別の」「限定目的のための」を意味する語句です

<独語>
https://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Potenzreihe
Formale Potenzreihe
（google訳）
数学における形式的冪級数は、多項式環の多項式の一般化である。後者と同様に、形式的冪級数は環論的性質に焦点を当てているのに対し、解析冪級数は解析的（極限的）性質に焦点を当てている
これらに共通するのは、係数が環で構成されていることだ
Rこれはここでは非常に任意であるが、解析学においてはそれは完全に完備な 環、通常は体である R実数かC複素数の変数です。もう一つの違いは、「変数」が不定値であり、大文字で表記されることが多いことです
X（または Tであり、形式的冪級数において「値」が割り当てられていない
多くの共通の性質と概念を持つため、本稿では形式ローラン級数についても解説します

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/429

442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/28(木) 11:10:15.93 ID:BOT/TM68

>>438-441
ご苦労様です

>無限線型結合なるものを認めるのは線形位相空間
>形式級数は実は和をとってない
>自然数から各項の係数への写像があればいい
>写像の値同士を足すことで、級数同士の和が定義できる

さて (参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間、線型空間（英: linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である
導入
ベクトル空間の概念について、特定の二つの場合を例にとって簡単に内容を説明する
平面上の有向線分
略
数の順序対
略
定義
集合 V が、その上の二項演算 + と、体 F の V への作用 ◦ をもち、これらが任意の u, v, w ∈ V; a, b ∈ F[nb 1]に関して次の公理系を満たすとき、三組 (V, +, ◦) は「体 F 上のベクトル空間」と定義される[1][2]。
公理： 加法の結合律、可換律、逆元の存在・・
歴史
ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された。その当時、代数学と新しい研究分野であった関数解析学とが相互に影響し始め、 p-乗可積分函数の空間 Lp やヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる。そうして無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた
(引用終り)

「形式級数は実は和をとってない
　自然数から各項の係数への写像があればいい」
という メンタルピクチャー（加藤文元>>8）を否定はしない
複雑な対象は、多面的な切り口で見るべしが、私の流儀だから

だが、形式的冪級数環>>429は 上記のja.wikipedia ベクトル空間の公理を満たすよ
だから、形式的冪級数環は ベクトル空間の一種であり
収束を考えないのが 形式的冪級数の根本なのだから
素朴かつ単純に無限和と考えても 収束を考えない以上 矛盾は生じない

>有理数の無限列Q^Nにおけるコーシー列の全体は部分線形空間をなす

余談だが、Formal power series 下記 "形式的な冪級数を関数として解釈する"
がある
f(x)= Σ n >= 0 a_n*x^n ＝a0 + a1 x +a2 x^2 +a3 x^3 +・・・
で 10進小数展開を考える。 x=1/10 として  a1 ,a2,a3,・・が 0〜9の整数で
和や積では 各項の演算は 通常算術の通り繰り上がり 繰り下がりを導入して
a0は 任意整数とする
これで 形式的な冪級数を使った 無限10進少数展開を考えることができる
これが 従来のコーシー列の収束による実数の定義と一致することは  賢い人は少し考えれば分かるだろう
（私は 賢くないので略しますｗ ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
(google訳)
形式冪級数
形式的な冪級数を関数として解釈する
数学解析において、すべての収束する冪級数は、実数または複素数の値を持つ関数を定義します。特定の特殊環上の形式的な冪級数も関数として解釈できますが、定義域と余域には注意が必要です
f(x)= Σ n >= 0 a_n*x^n (nは自然数全体を渡る)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/442

443: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/28(木) 12:09:19.66 ID:BOT/TM68

形式的冪級数環は なんの役に立つ？
あれ、山下剛先生がいる　（＾＾

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/ohnosan.pdf
p進多重ゼータ値,p進多重L値,次元予想
2005年3月東京大学大学院数理科学研究科　
山下　剛(GoYAMASHITA) GraduateSchoolofMathematicalSciences,UniversityofTokyo
P6
ABを変数に持つCp係数の非可換形式的冪級数環をCp<<A,B>>で表す.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/msj05.pdf
共形場理論と作用素環，頂点作用素代数
河東泰之(かわひがしやすゆき)東京大学大学院数理科学研究科 2005年3月30日
P4
Diff(S1)に関する共変性はVirasoro 元と呼ばれるV の特別な元ω に関する条件として公理化される．このω に対応する形式的べき級数の係数たちが，Virasoro 代数の関係式を満たすというのが公理である．
ここに自然にcentral charge c が現れる．さらに局所性の公理について説明しよう．V の元v,wに対する形式的べき級数v(z),w(z)は本来作用素値超関数だったはずなので，・・・

http://yuyamatsumoto.com/index_j.html
松本雄也
東京理科大学 創域理工学部 数理科学科 講師（2023年4月―）
http://yuyamatsumoto.com/ed.html
授業資料
代数幾何 http://yuyamatsumoto.com/ed/alggeom1.pdf
代数幾何入門コース [2021/01/26] 138 pages. スキームを定義してエタール基本群やエタールコホモロジーの話をします．証明の肝心なところは書いていません． 目次：【導入／（可換）環と素イデアル／層／スキーム／スキームの射に関する諸性質
代数学
環論入門コース [2023/03/05]
http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
環論講義ノート 松本雄也(matsumoto.yuya) 2023年03月05日
目次
B環の例 . . .66
B.1多項式環の亜種：モノイド環，群環. . .. 66
B.2形式冪級数環と収束冪級数環. . .. . . . 67

P67
B.2 形式冪級数環と収束冪級数環
本小節では環は可換とする．
B.2.1 形式冪級数環
P68
B.2.2 収束冪級数環
Aに適切な構造が入っていれば，冪級数の収束や収束半径を考えることができる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/443

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