Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74 (895ﾚｽ)
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119: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 16:57:37.03 ID:+A9mxT/6

>>95
>N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>が読めずに発狂してたじゃん

あたま固そう
それ下記 ja.wikipedia ペアノの公理 ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
だね(未確認飛行 C さんもついでに引用しておく)

さて、ZFC公理として 自然数の集合Nを公理的に構築する立場から批判する
１）素朴集合論では、下記「集合の代数学」ja.wikipedia にあるように
　集合積∩は、基本的な集合演算だが
　下記 ツェルメロ＝フレンケル集合論では、和集合の公理はあるが、集合積∩の公理なし！
　つまり、集合積∩については、他の公理から導く必要がある
２）無限公理 ja.wikipedia にあるように
　「無限集合Iから自然数を抽出する」では、集合積∩を使っていない！
　他の言語 wikipedia 英仏独とも 集合積∩を使っていない
　それで済むならば、わざわざ 集合積∩を使う必要ない
３）もし わざわざ 集合積∩を使いたいならば、ZFC公理系で 集合積∩をZFC上で定義したうえで
　あなたの”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が、下記の 無限公理 ja.wikipedia の
　”無限集合Iから自然数を抽出する”と同様に やれればいいが・・ｗｗｗ
　そのうえで、集合積∩を使う利点を述べよ。利点がないならば、シンプルな方が良いぞ■

<再録> https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/64 より
１）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/171
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す
２）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/185
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
集合の代数学
和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満足する
結合法則:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
分配法則:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
5. 和集合の公理

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/119

120: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 16:58:04.27 ID:+A9mxT/6

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
一階述語論理の原始的な記号だけを用いて、この公理を表記すると
略
集合を構築する記法を用いた場合は
∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
一部の数学者はこのような方法で構築された集合をinductive set（英語: inductive set）と呼ぶ。
自然言語でこの公理を記述すると、「集合𝐈で、𝐈は空集合を要素にもち、任意の𝐈の要素xに対して、x自身とxの各要素を要素とする𝐈の要素yが存在するような集合𝐈が存在する」となる
無限集合Iから自然数を抽出する
無限集合Iはすべての自然数を含んでいるが。自然数全体が集合となることを示すために、分出公理を使って不要な要素を取り除いて、残った集合Nが自然数全体からなる集合である。この集合は外延性の公理により一意である
自然数を抽出するために、どの集合が自然数であるかを定義する必要がある。外延性の公理とaxiom of induction（英語: epsilon-induction）以外の公理を使わずに自然数を定義することが可能である。nが自然数であるとは0であるか何かの後続であり、かつ、nの各要素も0であるかnの要素の後続であることと定める。形式的に書くと
略す
他の方法
以下のような他の方法もある。
Φ(x)を「xは帰納的である」という論理式とする。つまり
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x)))
とする
おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである。これを形式的に書くと、次のような集合
Wが一意に存在することを示したい。
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)) (*)
存在については、無限公理と分出公理を使って証明する
Iを無限公理によって保証された帰納的集合とする。分出公理を使って集合
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}を取り出す。つまり
WはIの要素のうち、あらゆる帰納的集合に含まれているものを集めてきた集合である。明らかに(*)を満たす
なぜなら、x∈Wと仮定すると、xはすべての帰納的集合に含まれているし、
xがすべての帰納的集合に含まれているとすると、もちろんIにも含まれているから
Wにも含まれている
一意性については、(*)を満たす集合はそれ自体帰納的集合であることに注意する

（なお 機械翻訳コマンドが使える）
英語版 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
仏語版 https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
独語版 https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/120

123: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 17:35:48.61 ID:+A9mxT/6

>>117
ご苦労様です

>一階述語論理

多分 ”一階述語論理”しばりなのが、だれも 実務の数学で
ZFCとか公理的集合論を使わなくなった理由だろう
いまどきの数学は、複雑化しているから ”一階述語論理”しばりでといわれてもね　；ｐ）
書く方も 読む方もたまらんでしょ
例えば、「線形代数」の教科書について
自然言語を封印して
ZFC公理系だけで完璧に書くことを考えてみると
∀と∃のお化けになるだろう

>圏論的論理（categorical logic）は、命題論理や述語論理を圏の言葉で表現する試みであり

一方、圏論は 現代数学で多用されているよね、グロタンディークの時代から
自然言語では 表現できない部分を、圏論がうまく補っている気がする
だから、21世紀の数学では 圏論は、ますます使われるようになるだろうね
参考に下記の資料をば ；ｐ）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/category.pdf
圏と関手(2012〜)
千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 (2012〜)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/module.pdf
加群について (2014〜)

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_article/-char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcss/28/1/28_2020.075/_pdf
認知科学 2021 Volume 28 Issue 1 Pages 57-69
特集：圏論は認知科学に貢献できるか
圏論的な〈ものの見方・考え方〉入門
西郷 甲矢人

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/123

133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/24(日) 22:45:35.37 ID:+A9mxT/6

>>130
>高校生に無限級数は無限回の足し算ですって言ってみな？　鼻で笑われるから

>>96より
(引用開始)
「可算無限個ある箱に任意に実数を入れる」のどこにもひと箱ずつとは書かれていない。書かれていないことが見えるのは病気。
上記「」内は ∀s∈R^N を意味しており、無限操作を考える必要はまったく無い。
(引用終り)

さて>>91-92 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
略.そして箱をみな閉じる.

Sergiu Hart
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates).
P2
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.2 Consider the following two-person game game2: • Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}. • Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}. • If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi= ξ then Player 1 wins. By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have: Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 − ε.

Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
(引用終り)

要するにだ、”「可算無限個ある箱に任意に実数を入れる」のどこにもひと箱ずつとは書かれていない”
と君は言ったね

で、この可算無限個ある箱の数において
Sergiu Hart 氏は、有理数の10進小数展開の各桁の数を箱に入れて
without using the Axiom of Choice.2 を考えたんだ
つまり、これは 有理数の無限小数展開だよね
で、”infinite decimal expansion 0.x1x2...xn...,”は
極限ではなく 真の無限小数展開を考えているんだよね
真の無限小数展開とは、無限級数であり それは『無限回の足し算です』よ
ひと箱ずつであろうが、全箱に一度であろうが 同じ
まあ、高校生以下の君にはこの理屈は難しいだろう■ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/133

157: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 11:15:18.22 ID:NbOUr+U1

>>150-154
ご苦労様です

ID:+KvL50n5 >>153 「ともかぎらない」
は、御大か
巡回ご苦労様です

１）「数学者に哲学がわかるものか」by 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
　については、バートランドラッセル が 哲学者謙数学者だったかも https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB
　Alfred Tarski も、数理哲学者だったかも（彼は 文法でも有名）
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski
Alfred Tarski
he also contributed to abstract algebra, topology, geometry, measure theory, mathematical logic, set theory, type theory, and analytic philosophy.
Logical consequence
In 1936, Tarski published Polish and German versions of a lecture, “On the Concept of Following Logically",[41] he had given the preceding year at the International Congress of Scientific Philosophy in Paris.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory

２）「無限回の行為の実行」は、
　21世紀数学では これを否定しない方が 理解が進むだろう
　一例は、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス：1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる
　別に、バナッハ=タルスキーのパラドックス 小澤登高（おざわなるたか）”寄り道. 地獄に囚人が（可算）無限人いる状況を考える”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
パラドックスの内容
無限個の客室があり、「満室」である仮想的なホテルを考える。客室数が有限の場合、「満室であること」と「新たに来た客を泊められないこと」は同値だが（鳩の巣原理）、無限ホテルではそうはならない。
有限人の新たな客
1人の客が来てホテルに宿泊を希望したとする。そこで1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H27-ozawa.pdf
平成27年度(第37回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研
バナッハ=タルスキーのパラドックス
小澤登高（おざわなるたか）
P11
寄り道. 地獄に囚人が（可算）無限人いる状況を考える

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/157

165: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 13:58:23.24 ID:NbOUr+U1

>>163
>数学的に有限（多くは１）ステップを勝手に無限ステップと妄想してるだけ
>そんな妄想してりゃ大学一年四月に授業についていけず落ちこぼれるのも無理は無い

ふっふ、ほっほ
下記 「有限主義者」類似かな？　（＾＾
無限集合は認めるが、操作は有限に限るとねｗｗ

”多くの数学者は厳密な有限主義は制限しすぎていると見なしたが、その相対的な一貫性は認めていた。すなわち、遺伝的（hereditarily）有限集合の領域は、無限公理をその否定と置換したツェルメロ＝フレンケルの公理的集合論のモデルを構成する”
ね。まあ、それでも ”その相対的な一貫性は認められる”かな？

ところで、”＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義 出⼝, 康夫.  哲学論叢. 2002”がヒットしたので貼るね ；ｐ）
さて、いつもお世話になっている 渕野先生 「数学の中の無限—無限の中の数学」百回音読してね
「数学の本質はその自由にある」！
余談ですが、愛媛大学の藤田 博司先生のPDFにはお世話になりました。お礼をば　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
有限集合
基礎付け問題
有限主義者は無限集合の存在を認めず、有限集合にのみ基づいた数学を提唱した。多くの数学者は厳密な有限主義は制限しすぎていると見なしたが、その相対的な一貫性は認めていた。すなわち、遺伝的（hereditarily）有限集合の領域は、無限公理をその否定と置換したツェルメロ＝フレンケルの公理的集合論のモデルを構成する。

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/server/api/core/bitstreams/dbd723b2-e40f-4649-bce6-e1467e10cd64/content
＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義
出⼝, 康夫.  哲学論叢. 2002, 29: 81-104.

https://fuchino.ddo.jp/chubu/infinity-LN.pdf
数学の中の無限—無限の中の数学*1
渕野昌(Saka´e Fuchino) (2021 年10 月29 日 版)

自分としては中学生でも十分フォローできるような内容になるよう十分吟味して準備していたつもりだったので
本稿でも，前半は「中学生でもわかる」というスタンスは保持していますが，後半では高校程度の知識が必要になると感じられるところが二三ヶ所出あるかもしれません．

P8
2 数学の本質はその自由にある

P11
ちなみに，ヒルベルトが集合論擁護派の数学者だったのに対しポワンカレは集合論に対し，懐疑的な立場をとっており，彼の残した言葉には，「Mengenlehre（集合論）は後の世代の人々にとっては，一度かかったがもう治ってしまった病気のようなものと見えるようになるだろう」というものがあるそうです*7．

日本では数学を勉強する学生が現代的な集合論を全く習わない，ということもあり，かなりの数の数学者が，集合論はポアンカレの言ったような意味で「もう治ってしまった病気」になっていると思いこんでいる節があります．集合論はこれらの数学者の考えているように「病気」と言えないこともないのかもしれませんが，もし「病気」という言い方をするなら，その病状は，現在，20世紀の初頭とは比較できないほど複雑怪奇なものに悪化している，と言わざるを得ず，とても「治ってしまった」と言ってすましていられるはずはないのですが...

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/165

191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/25(月) 17:30:19.46 ID:NbOUr+U1

>>168
>＞無限集合は認めるが、操作は有限に限るとね
>カントールは、無限集合を「要素を空集合から１つずつ加える操作を無限回実行したもの」と定義していない

ふっふ、ほっほ
下記の 「＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義 出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002」
で、有限 or 無限操作に関する記述があったので、少し引用しよう
君たち二人の主張は、哲学的には 構成主義？ｗ
だが、21世紀数学は 実無限を認める人多数だろうさ  ；ｐ）

>>165より再録
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/server/api/core/bitstreams/dbd723b2-e40f-4649-bce6-e1467e10cd64/content
＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義
出⼝, 康夫. 哲学論叢. 2002, 29: 81-104.
P83
2.2 「構成」とは何か 古典主義と構成主義の違いを理解するための第二の準備作業として、次に構成主義の名の由来ともなっている「構成(construction)」とは何かを大まかに見ておこう。 現代数学おいて、構成とは、一般的に言って、アルゴリズムに従った一連の操作であると理解されている。(9) 「アルゴリズムに従った操作」については、それを帰納性(recursiveness)と同一視する「チャーチのテーゼ」による数学的な定義が今日広く受け入れられている。しかし、ここでは以下の非形式的な特徴づけで十分であろう。
即ち、それは、離散的なステップを一つ一つ踏み、予め決められていた規則に従って、つまり決定論的に遂行される、有限回の一連の操作である。(10)
例えば超越数 ? n = 1〜∞ 10^− n !は、
このような意味で、リューヴィルによって「構成」された対象であると言えるが、それには若干の解説を要する。
というのも、この超越数の代数的表現に無限和という無限回操作が含まれている以上、その数を有限回の操作で構成することが一見して不可能であるように思えるからである。
しかし、その超越数を求める操作は、n「各々のnに対して? n =1〜n 10^ − n !を求めよ」という有限個のステップからなる計算規則を、無限回適用したものである。
このことは、この有限回ステップとしての規則を定めるだけで、それを無限回繰り返したら得られる極限値として、上の超越数を一意的に特定することが可能であることを意味する。ここで、極限値としての超越数と、それを特定する有限回の操作規則を同一視するという概念操作が施される。このような概念操作によって始めて、超越数の有限回操作による構成可能性が確保されるのである。(11)
有限回操作の規則と、その無限回繰り返しによって得られる極限値とを同一視するという構成主義の方針を踏まえれば、それが実無限としての可算無限や、非可算無限の導入に反対する理由も明らかとなる。
構成主義が受け入れる「無限」とは、結局、「無限回繰り返し可能な有限回操作」に他ならない。
他方、実無限は「その無限回繰り返しが完了した」ことまでも意味する。
また非可算無限に対しては、無限回の繰り返しによってそれを生み出す有限回操作自体が設定できないのである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/191

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