純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (437ﾚｽ)
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63(2): 07/23(水)23:59 ID:jUNIihmc(3/3) AAS
つづき
v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 外部ﾘﾝｸ[pdf]:fuchino.ddo.jp
P10（無限公理） 集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
P48 補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．
補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．
３）だから、公理的集合論において、無限公理から自然数Nを、どの公理を使って きちんと定義できるか これは極めて重要な課題なのだ
上記 ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は、まずいよね。どの公理を使っているかが 不明確だ
そもそも この式 ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”で きちんと自然数Nが定義できているかどうか。特に 自然数以外の余計な元を含んでいないかどうかが問題だと思う。すなおに 上記の５者同様に ∩を使わずに済ませるのが 賢明でしょ！■
以上
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