純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (437ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:06:57.08 ID:JxJPBISF

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋22
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (過去スレ落ち)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/1

3: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:09:04.24 ID:JxJPBISF

つづき

また、IMUの新総裁 中島啓氏は、”紹介：理論物理学に起源を持つゲージ理論を数学的に研究することを中心テーマと している。また、この研究がカッツ・ムーディー・リー環や、その変形と関係 することから、これらの対象の表現論も同時に研究している。 主要な成果として、次のようなものを得た。(略) 箙多様体と名づけた・・” www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/list/nakajima.html
と記されています

なので、数学隣接分野も取り上げます！
（平たく言えば「なんでもあり」ですｗ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
2022年（オンライン開催[注釈 3]）[21]
ユーゴー・デュミニル＝コパン（Hugo Duminil-Copin, 1985年 - ）フランスの旗 フランス
For solving longstanding problems in the probabilistic theory of phase transitions in statistical physics, especially in dimensions three and four.

マリナ・ヴィヤゾフスカ（Maryna Viazovska, 1984年 - ） ウクライナ
For the proof that the E_{8} lattice provides the densest packing of identical spheres in 8 dimensions, and further contributions to related extremal problems and interpolation problems in Fourier analysis.
球充填問題を８次元と24次元で解決したことや，フーリエ解析における極値および補間問題への更なる貢献が評価[22]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/3

5: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:09:56.84 ID:JxJPBISF

つづき

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/923 より
”「ガロア理論 昭和で分からず 令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/5

6: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:10:27.99 ID:JxJPBISF

つづき
（スレ19の838より）
>受験数学でゆがんだプライドもっちゃうならマセマでも真面目にやってた方がマシ

ID:PjxCDrCZさん、ありがとうございます
スレ主です
下記を あっちのスレに書いておきましたが
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744330968/77
「マセマはなぜ批判されるのか」
>マセマぐらいのことしかやってないアメリカの学部卒に院であっというまに追い抜かされるのが日本の高等教育。
従来の日本の数学高等教育は、厳密病だった
米では、Terence Taoなどが 「3.The “post-rigorous” stage」を提唱している
「3.The “post-rigorous” stage」を意識して成長するか
それとも レベル2の”厳密”(rigorous”)で成長が止まるか
の違いでは？
(参考)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(引用終り)

で、そのおサル(>>5)は、某私立ｗ大数学科へ30年以上前に入学して
そこで、従来の日本の数学高等教育の厳密病による冷や水を浴びせられて
オチコボレさんになって、それがトラウマになっているのです

で、そしてヒネクレてしまって
その一方で、「おれは 数学科で数学を”ゲンミツ”に学んだぁ〜！」というプライドだけが高い

本当は、Terence Taoのように レベル3.The “post-rigorous” stageを目指して
精進すれば良いと思うのですが、どうも厳密病が重症化しているようですね

そして、だれかれなく 噛みつく
カミツキ亀みたいな サルに成り下がったのですｗ ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/6

7: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:10:56.09 ID:JxJPBISF

つづき

（スレ19 の 555より）
追加 (参考)渕野語録 下記
https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1581243504/l3-
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
スレ56より （なお、「イメージ」〜「ビジョン」〜「哲学」かも（＾＾ ）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/178-
渕野先生は、”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”を書いている(下記)（＾＾
「イメージ」がお気に召さなければ、「ビジョン」といっても良い
”アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観”が無いピエロは
数学では落ちこぼれの劣等生ということだ

ただ単に、厳密性のみを追い求めるのはピエロだ
だから、だからおまえは数学で落ちこぼれるんだよ（＾＾
ニュートン、ライプニッツ、オイラー、ガウス、コーシー、アーベル、ガロア、リーマン、デデキント・・・
みんな各人、数学に対する明確なビジョンがあって、彼らの数学的業績がある
（しばしば、厳密性な証明は後から与えられることも多くあった）

＜渕野語録＞
(引用開始)
スレ24 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/654-
（抜粋）
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.アマゾン
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える

多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)

さらに
スレ56より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/180
別に厳密性を犠牲にしろとは言っていない
厳密性のみを追い求めて、”記号列として記述された「死んだ」数学”で終わらずに
自分なりのイメージやビジョンを持つこと
佐藤幹夫先生はそんな人だと思うよ
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/7

15: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/20(日) 22:46:31.98 ID:JxJPBISF

前スレ が、もうすぐ1000到達なので
こちらに

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/975
　>>967 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理） https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
　>>964 独 de.wikipedia Infinity axiom https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
　どちらも 記号∩ は、使わない
(引用終り)

さらに
英 en.wikipedia Axiom_of_infinity https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
ここでも Extracting the natural numbers from the infinite set の節で
記号∩ は、使わない

さて、wikipediaでは しばしば 出典の裏付けのある記述が ”よし”とされる
出典の裏付けのない 正しいかもしれないが 独自の証明などは 「独自研究」とされ 忌避される
（それは、必ずしもプロ数学者でない人たちが 執筆するからなのだ）

だから、上記のように Axiom of infinity（無限公理）で
無限集合たる自然数Nを ”Extracting”する手法についても、同様に
なにか 専門書の裏付けある記述が是とされる

そのような背景で、英仏独の Axiom of infinity（無限公理）で
無限集合たる自然数Nの記述で 「記号∩ は使わない」ということは
そういうタネ本が多いということだよね

「記号∩を使う」は、「独自研究」かな？
「独自研究」なら それでも構わない
100年間 「記号∩を使う」人が居なかったならば、それはそれで面白いだろう
（もし、それが正しければだがねｗ。100年間 そういう人が居なかった？
　それは 間違っている確率高いかも・・・ｗ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/15

18: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 14:22:04.50 ID:60RWf/A5

>>16-17
ありがとうございます

さて、補足すれば
ことの起こりは、下記

前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/563 2025/06/15 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
Inter-universal geometry とABC 予想57
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/988
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)

1）ペアノ公理の自然数の集合論的構成で、ノイマンによるものの説明が下記です
　ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　とあるので、集合の積∩は 任意A つまり 全てのA と読めます
　ノイマンの最初の論文がこうだったという都市伝説がある（私は原論文は未確認）
2）で、wikipediaの記載は こうだとしても・・
　任意Aあるいは全てのAの 集合の積∩を考えるというのは 当然突っ込みどころであります
3）下記の 筑波大 Akito Tsuboi 先生は、下記 数理論理学IIでは
　ここは、少し技巧的な記述をしています
（ここの式を手で写すのは面倒なので（どうせ原文見る方がいいしｗ）、各人原文をご覧あれ）
以上

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては、
・N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである。
これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。

https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi 筑波大
学部（数学類）関連
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II

P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/18

19: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 14:24:20.15 ID:60RWf/A5

>>18
さて 上記を受けて 下記がある
前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/588 2025/06/16 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
1）すっきりの度合いが違うだろ？
　即ち、和記号Σや積記号Πならば、普通その範囲を明示するべきだろ？
　Σ n=1〜∞とか Σ m,n=1〜∞とかね
　では問う 記号∩について 同じことを要求する
　きちんと、記号∩の定義を書け！
　ここ、ツッコミどころだねｗ
2）”実質同じ”？ 証明は？ 上記1）項のあと 証明やってみてｗ ；ｐ）

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/949-957 2025/07/20 ID:2Jr4cGNB
>>588
>2）”実質同じ”？ 証明は？
定義１
　論理式φ(x)を下記で定義する。
　φ(x):={}∈x∧∀y(y∈x→y∪{y}∈x)
　φ(x)を満たすxを帰納的集合と呼ぶ。
以下略

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/964-965 2025/07/20 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
>>949-950
>補題１
>　ωは任意の帰納的集合の共通部分である。

うむ
１）その結論は、正しい。下記の独 de.wikipediaの英訳
　Infinity axiomで、”The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.”
　とある通りだ
２）ところで 下記の 独 de.wikipedia Infinity axiom では
　記号∩ 使ってないよ？
　記号∩ は、使わなくてもいいの？
　記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）

(参考)
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
（google翻訳 独→英）
Infinity axiom
The axiom of infinity is an axiom of set theory that postulates the existence of an inductive set . It is called the axiom of infinity because inductive sets are also infinite sets .

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/19

20: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 14:24:56.15 ID:60RWf/A5

つづき

formulation
There are a lot A, which is the empty set ∅ and with each element
x∈A also the amount x∪{x}contains.
∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))
The infinity axiom does not merely postulate, as the name might suggest, the existence of any infinite set. It postulates the existence of an inductive set and thus, consequently, the existence of the set of natural numbers according to John von Neumann's model .

Significance for mathematics
Natural numbers
By the existence of at least one inductive set
I together with the exclusion axiom, the existence of natural numbers as a set is also ensured:
N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)}
The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.

Infinite quantities
Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. The infinity axiom, together with the power set axiom , ensures that there are also uncountable sets, such as the real numbers.

下記 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理）も
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
（google翻訳 仏→英）
Axiom of infinity
Statement of the axiom
略
・let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/20

21: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 14:26:19.63 ID:60RWf/A5

>>20

＜まとめ＞
１）fr.wikipedia にあるように、Axiom of infinity（無限公理）→ 集合 Natural numbers "ω(=N)" の存在を 示すこと
　このために ”by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality”などと、ZFCで使える公理は制限があるのです
２）さて、下記にZFCで『5. 和集合の公理』がある
　"この式は、∪F の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合 ∪F を A から構築することができる"
　とある。見れば、たかが和集合∪で 面倒なことをしているのです
３）で、和集合∪でこれなのですが、では積集合∩について ZFC公理系でどうか？
　中途半端に 積記号∩ を使うと、そこからメンドクサイことになるのでは？ｗ ；ｐ）
　だから、基礎論屋さんは 積記号∩を使わないと思うがどうよｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される
5. 和集合の公理
→詳細は「和集合の公理」を参照
集合の元に対する和集合が存在する。たとえば、集合
{{1,2},{2,3}}の元に対する和集合は{1,2,3}である。
和集合の公理は、任意の集合の集合
F について、 F の元の元であるすべての元を含む集合
A が存在することを主張する：
∀F∃A∀Y∀x[(x∈Y∧Y∈F)⇒x∈A]
.この式は、∪F の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合
∪F を A から構築することができる：
∪F={x∈A:∃Y(x∈Y∧Y∈F)}.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/21

30: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 23:44:45.96 ID:60RWf/A5

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/984
>sphere packingは何年前の数学かな？

うむ
・sphere packing 17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラーの予想
・ガウスは球が規則配置を取る場合についてケプラー予想が正しいことを証明し[5]、問題の解明に一歩近づいたが
・21世紀にコンピュータによる証明で決着したことは有名（本が出版され 日本でもその訳本が出た）
・別に、8次元と24次元における証明は2016年にマリナ・ヴィヤゾフスカによって得られた
　彼女は、2022年 フィールズ賞受賞
・24次元は、リーチ格子（英語版）で、モンスター群のムーンシャインで有名
　ボーチャーズ は、ムーンシャイン予想の解決により、数学のノーベル賞と言われているフィールズ賞を1998年に受賞

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E4%BA%88%E6%83%B3
ケプラー予想（ケプラーよそう、英: Kepler conjecture ）とは、17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラーに由来する、三次元ユークリッド空間における球充填に関する数学的な予想である。それによると、等しい大きさの球で空間を充填（パッキング）するとき、平均密度が立方最密充填配置（面心立方）ならびに六方最密充填配置を越えることはない。これらの配置の密度はおよそ74.05%である。

1998年にトーマス・C・ヘイルズ（英語版）はラースロー・フェイェシュ＝トート（英語版）が提案した方法[1]に従ってケプラー予想を証明したと発表した。多数のケース一つ一つを複雑なコンピュータシミュレーションでチェックするしらみつぶし法（英語版）であった。査読者は証明が正しいことを「99%確信している」と評した。よってケプラー予想は定理として受け入れられる寸前に来ている。2014年、ヘイルズに率いられたフライスペック・プロジェクト（英: the Flyspeck project）のチームは、定理証明支援ツールであるIsabell（英語版）およびHOL Light （英語版）を組み合わせて用いることにより、ケプラー予想の形式的証明を完了したと発表した。

発端
ケプラーが球の配置を研究し始めたのは、1606年におけるイギリス人数学者・天文学者、トーマス・ハリオットとの文通がきっかけである。ハリオットは友人で雇い主のウォルター・ローリーから船倉に砲弾を効率的に積み込む方法の問題を与えられていた。ハリオットは1591年に様々な積み上げパターンの研究を出版し、さらに進んで初歩的な原子論を発展させた。

19世紀
ケプラー本人は予想を証明できなかったが、ガウスは球が規則配置を取る場合についてケプラー予想が正しいことを証明し[5]、問題の解明に一歩近づいた。

つまり、ケプラー予想の反証となる充填配置があるとすれば不規則配置でなければいけない。しかし、実現可能な不規則配置をすべてチェックするのは非常に困難で、それこそケプラー予想をここまで証明困難なものにした理由である。

ガウス以降、19世紀の間はケプラー予想の証明に向けた進展はなかった。1900年にダフィット・ヒルベルトが数学における23の未解決問題を提起したとき、ケプラー予想は関連する問題とともに第18問題に挙げられた

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/30

31: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 23:46:01.72 ID:60RWf/A5

つづき

20世紀
解決に向けて次のステップを踏み出したのはラースロー・フェイェシュ＝トートである。彼は、規則・不規則を問わずあらゆる配置の最大密度を求める問題が、有限個の（しかし非常に多数の）計算に還元されることを示した[1]。これはしらみつぶし法による証明が原理的に可能だということである。フェイェシュ＝トートも気づいていたように、十分高性能なコンピュータがあればここからケプラー予想解決への現実的なアプローチが得られる可能性があった。

他方では、あらゆる可能な球配置の最大密度の上界を見つけようという試みがなされていた。イギリスの数学者クロード・アンブローズ・ロジャーズは一つの上界として約78%の値を得た[6]。それに続く数学者の努力によりこの値はわずかに引き下げられたが、立方最密充填の約74%には程遠かった。

1990年にウ＝イ・シアン（項武義）はケプラー予想を証明したと発表した。この成果は「エンサイクロペディア・ブリタニカ」および「サイエンス」誌で好意的に取り上げられ、シアンはAMS-MAAジョイントミーティングに招待される栄誉を得た[7]。シアンの主張は幾何学的な手法でケプラー予想を証明したというものだった[8][9]。しかしながら、ガボル・フェイェシュ＝トート（ラースローの息子）は論文のレビューで「細部に目を向ければ、重要な言明の多くが容認できるような証明を欠いている」と述べた。ヘイルズはシアンの仕事を詳細に批判し[10]、シアンはこれに反論した[11]。現在ではシアンの証明は不完全なものだったと認められている[12]。

ヘイルズの証明
ミシガン大学に在籍していたトマス・ヘイルズは、ラースロー・フェイェシュ＝トートが提案したアプローチ[1]にならい、150個の変数を持つある関数を最小化することによって最大密度配置を見出せると考えた。1992年、大学院生のサミュエル・ファーガソンを助手としたヘイルズは、系統的な線型計画法により、すべての異なる配置の集合に含まれる5000種以上の配置一つ一つについて関数値の下界を求める計画に着手した。すべての配置で関数の下界が立方最密配置の関数値を超えるならば、それがケプラー予想の証明になる。可能なすべてのケースについて下界を求めるには、10万個ほどの線形計画問題を解く必要があった。

1996年に研究プロジェクトを公表するに際して、終結は目前ながら完了まで「1・2年」かかるかもしれない、とヘイルズは述べた。1998年の8月にヘイルズは証明の完了を発表した。この時点で証明は250ページの手稿と3ギガバイトのプログラム、データ、計算結果から構成されていた。

証明の形式が異例だったにもかかわらず、Annals of Mathematics誌の編集者は掲載に同意したが、12人の専門家による査読を条件とした。2003年、四年間の作業を経て、査読者団の筆頭であったガボル・フェイェシュ＝トートは証明が正しいことに「99%の確信を持っている」と報告した。しかし、コンピュータによる計算がすべて正しいと保証することはできなかった。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/31

32: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 23:46:44.45 ID:60RWf/A5

つづき

形式的証明
2003年1月、ヘイルズはケプラー予想の完全な形式的証明を求める共同プロジェクトを開始した。その目標は、証明の妥当性に一切の疑問を残さないため、HOL LightやIsabelleなどの自動証明検証（英語版）[訳語疑問点]プログラムにかけられるような形式的証明を構築することであった。プロジェクトは「Flyspeck」と名付けられた。そのうちの3文字、F、P、Kは「Formal Proof of Kepler」（ケプラーの形式的証明）から取ったものである。ヘイルズは完全な形式的証明を構築するのには20年ほどの作業が必要だと見積もっていた。2014年8月10日にプロジェクトの終結が発表された[15]。2015年1月、ヘイルズと21人の共同研究者は「ケプラー予想の形式的証明」と題された論文を公開した[16]

高次元における球充填
最適球充填の問題は1、2、3、8、24次元を除いて未解決である。8次元と24次元における証明は2016年にマリナ・ヴィヤゾフスカによって得られた[22]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%83%8A%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A4%E3%82%BE%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AB
マリナ・セルヒイウナ・ヴィヤゾフスカ（ウクライナ語: Марина Сергіївна В'язовська、英語: Maryna Sergiivna Viazovska、1984年12月2日 - ）は、ウクライナの女性数学者。球充填問題を8次元と24次元において解決した業績で知られる

業績
2016年に、ヴィヤゾフスカは球充填問題を8次元で[7][8] [9]そして、他の人と協力して24次元で解決した[10] [11]。以前は、問題は3次元以下でしか解決されておらず、3次元での証明（ケプラー予想）にはコンピューターを用いて50,000行のプログラムコードを使用して300ページのテキストで提示されていたが[12]、対照的に、8次元と24次元でのヴィヤゾフスカの証明は、わずか23ページ程で「驚くほど単純」であった [11]。

受賞歴
2022年 フィールズ賞受賞[23]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E5%85%85%E5%A1%AB
球充填
超球充填
2016年、マリナ・ヴィヤゾフスカは8次元空間において正規・非正規を問わない最適充填がE8格子（英語版）だと証明した。さらにその直後、共同研究者とともに、24次元における最適充填がリーチ格子（英語版）だという証明を発表した。どちらの格子もその次元における既知の配置の中でもっとも稠密なものであった[10]。ヴィヤゾフスカの証明では、慎重に選ばれたモジュラー関数のラプラス変換を用いて球対称な関数 f を構築する。
f はそれ自身およびフーリエ変換 f^ がどちらも原点で1となるように構築される。さらに、充填の中央にある球の外では
f が負となる一方、f^は常に正となるようにすることで、原点以外のすべての格子点で
f および f^ がゼロになることを示せる。その上で
f に関するポアソン和公式を用い、想定される最適格子の密度をほかのあらゆる格子の密度と比較する[11]。査読論文の中ではないが、ピーター・サルナックはこの証明を「驚くほど簡潔」と評し、「論文の冒頭を読むだけで証明が正しいと分かるだろう」と述べた[12]。[訳語疑問点]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/32

33: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 23:47:20.72 ID:60RWf/A5

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
Leech lattice
In mathematics, the Leech lattice is an even unimodular lattice Λ24 in 24-dimensional Euclidean space, E24. It is one of the best models for the kissing number problem. It was discovered by John Leech (1967). It may also have been discovered (but not published) by Ernst Witt in 1940.
Applications
The vertex algebra of the two-dimensional conformal field theory describing bosonic string theory, compactified on the 24-dimensional quotient torus R24/Λ24 and orbifolded by a two-element reflection group, provides an explicit construction of the Griess algebra that has the monster group as its automorphism group. This monster vertex algebra was also used to prove the monstrous moonshine conjectures.

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine
Monstrous moonshine
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3
モンストラス・ムーンシャイン（英: monstrous moonshine）もしくはムーンシャイン理論（英: moonshine theory）とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイとサイモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズにより、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra; VOA)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%BA
リチャード・ユーウェン・ボーチャーズ (Richard Ewen Borcherds, 1959年11月29日 - ) は、南アフリカ共和国ケープタウン出身のイギリスの数学者である。父は物理学者
ムーンシャイン予想の解決により、数学のノーベル賞と言われているフィールズ賞を1998年に受賞した
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/33

54: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/23(水) 11:09:07.87 ID:wMoU4wX9

>>53
>>初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|￢x∈x}を構成可能。
>>そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。
>これは豆知識としてよい

ID:gP8zJ0yp は、御大か
巡回ご苦労様です
まあ、いつも引用させてもらっている 渕野 Dedekindの無限証明（下記）
20世紀の公理的集合論が、数十年の歳月をかけて 作り上げられてきたことが良く分かります

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
数理解析研究所講究録 2011
R. Dedekind の数学の基礎付け と集合論の公理化 神戸大 渕野昌
1 「数の理論を扱かう論理学」の基礎付け
R. Dedekind は，19 世紀的視点からの数学の基礎付けという枠組の中で大きな貢献をはたした．

P170
もちろん，無い物ねだり的な指摘をすることはたやすい．彼の時代には，現
代の我々が識るような形式論理はまだ生れてすらいなかった(彼とほぼ同時代
のFrege の研究には形式論理学の萌芽のようなものが見られるが，[3] の第2 版
の前書き(1893)では，Dedekind は，Frege の仕事を後になってからはじめて
知ることになったと書いている). いわんや，形式的推論の体系や，その体系の
完全性，そして不完全性定理に基づく知見は，どう頑張ったとしてもDedekind
の行なった考察の背景にはなり得なかったはずのものである(2).

P172
現代の記法を用いると，自然数の全体は，[3] では，(a) 無限集合Xを1 つとり，
(b) それがDedekind の意味で無限集合となっていることのwitness となっている略
(e)このベースの上で，現在では，デデキント=ペアノの公理系と呼ばれている
自然数の体系(5) の満たすべき基本性質が成り立つことを示し
(特に完全帰納法や再帰法が成り立つことを厳密に示している）
単純無限的体系Nが導入された後，[3] での(d), (e), (f) に関する議論は，
今日の数学のスタンダードから見ても十分に厳密なものといえる．だが，その
前に，ここでまず問題とすべきなのは，そもそも，なぜこのような定義による
単純無限的体系を，Dedekind が，自然数の全体の集合の基礎付けとなると考
えたのかということであろう．

P173
3 無限の存在証明
単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには，
そもそも無限集合の存在が大前提となる．しかも，これが，「数の理論を扱かう
論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件
に証明できなくてはならない．

晩年のDedekind が，無限の存在証明([3] の66.) の残った
ままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，
無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研
究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/54

62: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/23(水) 23:59:24.90 ID:jUNIihmc

>>60-61
まだ、ぶつぶつ言っているよ、この人ｗ ；ｐ）

１）>>18の ペアノ公理の自然数の集合論的構成で
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　問題は、これが 公理的集合論として 自然数の集合Nになっているか
　それについて どの公理を使ったかを明示しながらの証明が必要だよね 公理的集合論としては
２）さて、下記 独仏英wikipedia と Akito Tsuboi 筑波大と 渕野 昌の５者は、∩を使わない。∩を使わないで済ましているよ
　i)独wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
　　Natural numbers N :={x ∈ I ｜∀z(z inductive → x∈ z)}}
　ii)仏wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
　　The set of natural numbers
　　that's to say :
　　The class of natural numbers is a set .
　　Indeed :
　let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
　iii)英wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
　　Extracting the natural numbers from the infinite set
　　In formal language, the definition says:
　　∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])).
　iv)Akito Tsuboi 筑波大 数理論理学II https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　　P8 無限公理
　　無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　　とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/62

72: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/24(木) 11:16:01.44 ID:4LVoLOK4

さて 本題に戻る

>>64
(引用開始)
>>63
>分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．
それだめｗ
自然数を構成するのに自然数を使ったらダメでしょｗ　君、いつも循環論法やらかすね　頭悪いね
Onとは？
(引用終り)

そこは、渕野先生からの引用部分だ。再録すると
”　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
　　P10（無限公理） 集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
　　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
　　P48 補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．
　　補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．”

渕野先生が、間違っている？ まあ、あるかもよｗｗｗ
渕野先生にお手紙書いてね。その返事を公開してたもれｗ　；ｐ）

>>56
(引用開始)
>まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
・分出公理で 記号∩が導けるか まあそうかな
　だとして、上記渕野先生は、上記で『無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照』とされています
　p.48 も引用しておいた
　で、渕野先生の言われる通り 無限公理で存在の保証された集合 x から 0, 1, 2,. . .
　を ”分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる”ならば、それで終わりだ■

詰んだな

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/72

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