ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (485ﾚｽ)
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223(2): 暇人 06/28(土)08:34 ID:4S+Arcik(1/23) AAS
【Grokへの質問】
代数方程式の解が係数の四則演算とべき根を使って表せるのは、
その代数方程式のガロア群が可解群、すなわち、順々に正規部分群をとっていったとき、商群が巡回群となり、
最終的に単位群まで縮小できる群であるとき、その時に限る。この定理の証明を示してくれる？。
【Grokからの回答】
この質問は、代数方程式のガロア群が可解群であるとき、かつそのときに限って、
解が係数の四則演算とべき根で表せるという定理（ガロア理論における可解性の定理）の証明を求めるものです。
省3
224(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(2/23) AAS
>>223
定理
代数方程式 f(x)=0（係数が体 K に属する）の解が、K の元を用いた四則演算と
べき根（すなわち、方程式 x^n - a = 0 の解）によって表せる（根号表示可能である）のは、
そのガロア群 Gal(L/K)（ここで ( L ) は ( f(x) ) の分裂体）が可解群であるとき、かつそのときに限る。
証明の概要
証明は以下の2つの方向に分かれます：
省5
235: 暇人 06/28(土)08:48 ID:4S+Arcik(13/23) AAS
>>234
補足
この証明は、ガロア理論の教科書（例：Dummit and Foote, Abstract Algebra や Ian Stewart, Galois Theory）に詳細に記載されています。
より具体的な例（例えば、3次や4次方程式の可解性）については、具体的なガロア群（例：S3,S4）の構造を分析することで理解が深まります。
>>223
質問者が特定の部分（例えば、クンマー拡大や巡回群の詳細）についてさらに知りたい場合、追加の説明を提供できますので、お知らせください。
以上が、ガロア群の可解性と代数方程式の解の根号表示可能性に関する定理の証明です。
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