ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (489ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/

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244: 暇人 [] 2025/06/28(土) 14:56:26.26 ID:4S+Arcik >>243 ステップXの詳細な再検討 状況の再確認 Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、 ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。 巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。 もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。 原始乗根の添加 １の原始 ni 乗根 ζ‗niは、方程式 x^ni−1=0 の根であり、 Ki(ζ‗ni)/Ki はこの方程式の分裂体への拡大です。 この拡大は、体の標数が ni と互いに素である場合（例えば、Ki⊆Q や標数 0 の体）、ガロア拡大であり、 ガロア群 Gal(Ki(ζ‗ni)/Ki)は (Z/niZ)×（ni 番目の単位根群）に同型です。これはアーベル群であり、したがって可解群です。 例えば、ni=p（素数）の場合、 x^p−1=(x−1)(x^(p−1)+x^(p−2)+⋯+1) であり、 ζ‗pは円分多項式 Φp(x)=xp−1+⋯+1=0 の根です。 この拡大は巡回拡大であり、ζ‗pを添加することで得られます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/244

245: 暇人 [] 2025/06/28(土) 14:57:49.69 ID:4S+Arcik >>244 なぜ循環論法でないか？ ご指摘の「循環論法」の懸念は、ζ‗ni を添加するために ζ‗ni 自身を仮定しているように見える点です。 しかし、以下の理由から循環論法にはなりません： べき根の定義： 「べき根の添加」とは、方程式 x^ni−a=0（a∈Ki）の解を添加することです。 x^ni−1=0 の場合、a=1∈Ki であり、ζ‗ni はこの方程式の解です。 証明の文脈では、Ki に ζ‗ni が含まれていない場合、 Ki(ζ‗ni) を構成することは、Ki の元（ここでは 1∈Ki）を用いた 方程式 x^ni−1=0 の解を追加する操作であり、これは「べき根の添加」の定義に一致します。 つまり、ζ‗ni を添加することは、Ki の元 1 に基づく新しい解を導入するプロセスであり、 ζ_ni 自身を仮定するものではありません。 ガロア理論の枠組み： ガロア理論では、体の拡大 Ki(ζn_i)/Ki は、 x^ni−1=0x^{n_i} - 1 = 0x^{n_i} - 1 = 0 の分裂体への拡大として厳密に定義されます。 この拡大は、Ki の元のみを用いて記述可能であり、ζ_niを「外部から持ち込む」必要はありません。 例えば、Ki=Q、ni=3 の場合、x^3−1=0x^3 - 1 = 0x^3 - 1 = 0 の解は 1,ζ3,ζ3^2 であり、Q(ζ3)/Q は次数 2 の巡回拡大（ガロア群は Z/2Z）です。 このプロセスは、Q の元 1 から方程式を構成し、その解を添加するもので、 循環論法ではありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/245

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