ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (458ﾚｽ)
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109: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/01(日) 09:55:05.49 ID:SMdueHXd

つづき

上記の https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_functionより
Examples and non-examples
For example, define a two-valued function so that
f(x) is 0 when x^2 is less than 2 but 1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous, since it cannot be extended continuously to R.
On the other hand, any uniformly continuous function on Q must be Cauchy-continuous.
(引用終り)

x<√2 と x^2 is less than 2 とは、同じ意味だ
さらに初心者向け解説をば 追加する

https://wiis.info/math/real-number/function/uniform-continuity-of-functions/
wiis
関数の一様連続性（一様連続関数）
改めて整理すると、関数 f:R⊃X→Rが定義域X上で連続であることは、
∀a∈X,∀ε＞0,∃δ>0,∀x∈X：(|x-a|＜δ→|f(x)-f(a)|＜ε) ・・・(1)
が成り立つことを意味する一方、fが定義域X上で一様連続であることは、
∀ε＞0,∃δ>0,∀a∈X,∀x∈X：(|x-a|＜δ→|f(x)-f(a)|＜ε) ・・・(2)
が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号
∀a∈X
の相対的な位置だけです。連続性の定義(1)において∀a∈Xは∃δ>0よりも前に置かれているため、
(1)を満たすδの水準は点aの位置に依存します。点aの位置が変われば(1)を満たすδの値もまた変化するということです。
例（定数関数は一様連続関数）
(引用終り)

いま、上記 x=√2 の近くの点aを考える
簡単に、 a＜√2 とする （一様連続でない）(1)の場合に
|x-a|＜δ で
点aが √2 に 近づくと δを 小さく √2を超えないように制限することで (1)を満たし、従って 連続が言える
一方、(2)の場合には、δが先に与えられて √2を超えると、(2)を満たせず 一様連続が言えなくなる■

で、最初の 問(5）f(x)’＝f(x)-g(x) ＝0 は、上記 wiis ”例（定数関数は一様連続関数）”が当てはまる■
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/109

148: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/10(火) 23:19:52.73 ID:c+NJ0JxA

>>145-146
ご苦労さまです

ID:equarQsV は、御大か
巡回ありがとうございます

>このことに言及する気にまったくなれない自分は

全くですね
”このこと”とは、>>145の”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”
ですが、私も全く同様で、必要がないと思います

過去にも書いたが >>142の解析概論（高木 2010版）の練習問題
『（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x'に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．』
ここで 有界閉区間[a,b]を 記載しているのは おそらく 教育的配慮で
説明を 簡便にするためでしょう
（>>121の通り 全書式は、入門書としては 配慮に欠けると。簡明さのため 区間[a,b]を入れたのしょう
(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746580795/224
解析概論 第一版緒言
全書式ともいうべきものは，約言すれば数学現状の展覧会で，精粗錯雑，玉石
同架である．それは玄人向きで，解析概論においてはまずは問題外であろう．解析概論におい
て，最も理想的な方法は，理論の大局においては講義式，細節においては教本式にのっとって，
なおその上に慾を言えば，全書式の各部門からなるべく多くのサンプルを取入れて，全体を具
合よく調合するのであろうが，具合よくというところに無限の要求がある．このような理想を
念頭に置きつつ,本書を書きは書いたが，もとより具合よくはいかないで校了の後・・・略す）

また、すでに書いたが >>108-109記載の通りで
wiis https://wiis.info/math/real-number/function/uniform-continuity-of-functions/
「関数の一様連続性（一様連続関数）」
『1変数関数が一様連続であることの意味を定義するとともに、関数が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを判定する方法について解説します。』
これで 「一様連続性は定義域の選び方に依存する」の節がある
”例（一様連続性と定義域）”の記載があるよ
そして、ここにwiisの演習問題で 定義区間が 全実数を渡る 一様連続関数 が出題されている
だから、”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”は 鼻くそ みたいな話だろう

繰り返すが、解析概論（高木）は、教育的配慮から 練習問題(5)と(6)を
”或る区間[a,b]”として、説明が簡潔になることを優先したのだろう
（多分 本文の説明に合わせて 練習問題を簡略にした）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/148

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