ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (437ﾚｽ)
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108: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/01(日) 09:54:24.18 ID:SMdueHXd

>>107
ご指摘ありがとう

＜まず >>105の訂正版＞
問(5）において、f(x)’＝f(x)-g(x) とおくと
f(x)’が、稠密点x'で f(x')’=0のとき
　　↓
f(x)’が、恒等的に0 即ち f(x)’=0 at ∀x∈[a,b]
を証明すれば良いだけであって
(訂正版終り)

さて 下記が参考になる
https://math.stackexchange.com/questions/3177651/example-of-a-continuous-function-that-dont-have-a-continuous-extension
stackexchange.com
Example of a continuous function that don't have a continuous extension
asked Apr 7, 2019 AnalyticHarmony

Answers
Another reason: continuous in the whole line implies locally bounded near every point.
And another counterexample based in a different idea: Q is dense in R
with the usual topology. The function
f:Q⟶R
f(x)={0: x<√2,
　　={1: x>√2.
is continuous (check it) and can't be extended continuously to R.
answered Apr 7, 2019 Martín-Blas Pérez Pinilla

ここは、前スレでも扱った通り、下記です
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/447 より
理由は、簡単で 下記の通り
　記
　>>427の はてなブログ Branched Evolution で
”2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．”
で、「一様連続関数」とあるから、この命題では 「一様連続」は外せないと読んだ
（なお、今見ると >>207にも 完備距離空間 ja.wikipedia で
”完備距離空間は、完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。”とある（同様の記述が >>173にもあるね））

感心するほどではなく
”完備距離空間での 完備化の普遍性”として ”一様連続”は 覚えておくべき そして 理解しておくべきことだね

もし ”一様連続”という条件を外すと、>>432の通りで
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_function
の”Examples and non-examples”の記載の通り non-exampleの存在が示せる ってこと だね
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/108

148: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/10(火) 23:19:52.73 ID:c+NJ0JxA

>>145-146
ご苦労さまです

ID:equarQsV は、御大か
巡回ありがとうございます

>このことに言及する気にまったくなれない自分は

全くですね
”このこと”とは、>>145の”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”
ですが、私も全く同様で、必要がないと思います

過去にも書いたが >>142の解析概論（高木 2010版）の練習問題
『（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x'に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．』
ここで 有界閉区間[a,b]を 記載しているのは おそらく 教育的配慮で
説明を 簡便にするためでしょう
（>>121の通り 全書式は、入門書としては 配慮に欠けると。簡明さのため 区間[a,b]を入れたのしょう
(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746580795/224
解析概論 第一版緒言
全書式ともいうべきものは，約言すれば数学現状の展覧会で，精粗錯雑，玉石
同架である．それは玄人向きで，解析概論においてはまずは問題外であろう．解析概論におい
て，最も理想的な方法は，理論の大局においては講義式，細節においては教本式にのっとって，
なおその上に慾を言えば，全書式の各部門からなるべく多くのサンプルを取入れて，全体を具
合よく調合するのであろうが，具合よくというところに無限の要求がある．このような理想を
念頭に置きつつ,本書を書きは書いたが，もとより具合よくはいかないで校了の後・・・略す）

また、すでに書いたが >>108-109記載の通りで
wiis https://wiis.info/math/real-number/function/uniform-continuity-of-functions/
「関数の一様連続性（一様連続関数）」
『1変数関数が一様連続であることの意味を定義するとともに、関数が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを判定する方法について解説します。』
これで 「一様連続性は定義域の選び方に依存する」の節がある
”例（一様連続性と定義域）”の記載があるよ
そして、ここにwiisの演習問題で 定義区間が 全実数を渡る 一様連続関数 が出題されている
だから、”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”は 鼻くそ みたいな話だろう

繰り返すが、解析概論（高木）は、教育的配慮から 練習問題(5)と(6)を
”或る区間[a,b]”として、説明が簡潔になることを優先したのだろう
（多分 本文の説明に合わせて 練習問題を簡略にした）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/148

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