ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (485ﾚｽ)
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5: １３２人目の素数さん [] 2025/05/27(火) 23:06:46.40 ID:mVXlvt9d

つづき

2はじめに
このノートでは、最近得られた対数的標準対に対する非消滅定理を解説する。この非消滅定理は、対数的標準対に対する固定点自由化定理と同値であることが示される。
今回の非消滅定理の一番のポイントは、その定式化である。
数学的な内容は固定点自由化定理と同値であるが、非消滅定理として正しく定式化することにより、極小モデル理論の基本定理たちの証明に劇的な簡略化をもたらした

3おわび
80年代前半から現在にいたるまで、極小モデル理論研究の最も重要でよく使われるテクニックは川又–Viehweg消滅定理である。80年代後半から、乗数イデアル層の考え方が持ち込まれ、Nadel型の消滅定理をつかうことも非常に有効であることが分かって来た。いずれにせよ、すべて川又–Viehweg消滅定理の応用として扱うことが出来る話である。今回の一連の発展は、その川又–Viehweg消滅定理の部分を一般化し、新しい道具で極小モデル理論を考え直した、ということである。
ここ数年いろいろと迷走してしまったが、[F7]で古典的な川又のX-論法と乗数イデアル層の理論をミックスした新しい極小モデル理論の基礎と基本的なテクニックを提供することで、今後数十年間の極小モデル理論の土台は完成したと思う。一言で言うと、極小モデル理論の基礎部分が純ホッジ構造の話から混合ホッジ構造に移り変わった、である。興味を持たれた読者は、[F3]、[F4]、[F6]（いずれも短い）を読むことを勧める

4特異点の定義
ここでは特異点の定義について最低限のことだけを述べておく。詳しくは、[K森,§2.3]を見ていただきたい。極小モデル理論の専門家以外には頭の痛くなる話題であろう。

5非消滅定理
以下の定理がこの章の主定理である。対数的標準対に対する非消滅定理である。

7証明のアイデア
ここでは非消滅定理の証明のアイデアについて説明する。

8今後の課題
今回の仕事で、[K森]の2章の後半と3章が完全に一般化されたことになる。
道具である消滅定理が[K森]よりも格段に進歩しているからである。

9勉強の仕方
消滅定理は[F3]がお勧めである。[K森]の消滅定理の証明と全く同じ書き方で書いてある。次に[F6]を読めば極小モデル理論の基本定理（非消滅定理、固定点自由化定理、有理性定理、錐定理）が簡単に学べる。ある意味[K森]の3章より簡単である。消滅定理が強力になったので、川又によるX-論法（広中の特異点解消定理をつかって係数を揺するという有名なテクニック）は不要になったのである。基本定理の証明の途中では広中の特異点解消定理すら必要としなくなったのである。Ambro氏のquasi-logvarietiesの理論に興味がある人には、[F4]をお勧めする。理論の本質的な部分は[F4]で全部理解出来るはずである。技術的な細部まで理解しようとすると、[F5]を読まないと仕方ないであろう。著者の私が言うのもなんだが、[F5]を読むのは大変だと思う。技術的細部に拘りまくったからである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/5

22: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/28(水) 13:37:36.40 ID:vzADU7Bh

前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/991
(引用開始)
>「ガロア群σを体の自己同型写像として見たとき、σ(α)=ζαとなる固有ベクトルαが存在することを示せばいい」
セタさんはそもそも、「べき根であること」とその条件が同値であることが分かってなかったな。
むしろ全力で否定してたはずｗ
(引用終り)

補足します
下記の通り
ラグランジュのレゾルベント は、有力な手法ではあるが、5次方程式では 行き詰ってしまって
詰んでしまったのです

そこで、ガロアは考えた
ラグランジュのレゾルベントを一般化した ガロアレゾルベントを考えよう！
そして、ガロアは ガロアレゾルベントを使った 代数方程式の理論を構築したのです
それが、今に残る 彼の第一論文です

ここが
分からない人は、ガロア第一論文を、読みましょう！
ガロア第一論文を読まず、つっかかる人がいますｗｗ ；ｐ）
（否定しているのは、”ラグランジュのレゾルベントは決して万能ではない”ってところですよ
　付言すれば、”ラグランジュのレゾルベント つかえねぇ〜！”という場面がたくさん あるよということです ；ｐ）

(参考)
https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Resolvente
Lagrange-Resolvente
代数方程式の理論において、ラグランジュのレゾルベントは、多項式の零点（根）と単位元の原始根から形成される補助量であり、別の多項式方程式であるレゾルベント方程式を満たします。ラグランジュのレゾルベントに加えて、他のレゾルベントも存在します。
本編
これは1770年頃にジョゼフ・ルイ・ラグランジュによって導入されたもので[ 1 ]、高次代数方程式が根号、つまり方程式の係数から閉じた表現によって、基本的な算術と根号抽出のみを使用して解けるかどうかを調査するために用いられました。
5 次方程式を扱うとき、ラグランジュは彼の方法の限界に遭遇しましたが、この場合、問題は単純化されませんでした。アベルは後に、一般に根号では解けないことを示した。
一般的に、レゾルベントは多項式、またはより一般的には、初期方程式の根における有理関数であると理解されている。
レゾルベント方程式の下にレゾルベントを決定するための補助方程式が得られる。
ラグランジュによれば、根を置換するときには、解決子はできるだけ少ない値を持つべきである。
これらのより一般的なレゾルベントにより、方程式のガロア群とその部分群を（関連するレゾルベントとともに）調査することができ、 19 世紀の教科書におけるガロア理論の扱いの不可欠な部分でした（この文脈ではガロア レゾルベントと呼ばれます）。[ 3 ]「レゾルベント」という用語は、もともとレオンハルト・オイラー（1738）が4次方程式に関連して作った造語であり[ 4 ]、その名称はラテン語（解決するという意味のresolvere）に由来する。4 次方程式を解くこれらの古典的な方法では、 4 次方程式の 3 次解析と呼ばれる 3 次補助方程式に導かれます。[ 5 ]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/22

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