大学数学の質問スレ Part1 (243ﾚｽ)
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1(3): 05/26(月)10:57 ID:MW0NRypB(1/2) AAS
無くなってたので立て直し
163(3): 07/26(土)17:48 ID:/Z199esI(1/4) AAS
SQLで数独を解いています
1～9の数字が重複しないようにデータを
作成し用意します(362880行)
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,2,3,4,5,6,7,9,8
1,2,3,4,5,6,8,7,9
・
省12
164: 07/26(土)18:01 ID:/Z199esI(2/4) AAS
例えば、ある列が
1
1
3
4
5
6
省8
165: 07/26(土)18:10 ID:kngNR0q7(1) AAS
>>163
よせでやれ
166: 07/26(土)18:36 ID:5Tx1q8wa(2/2) AAS
例えば、いきなりTuさんの多様体論の本や松本さんの多様体論の本を読むのと、SpivakさんやMunkresさんの多様体上の微分積分の本を読むのではどちらがおすすめですか？
なんかSpivakさんの本やMunkresさんの本の多様体の部分よりもより抽象的なTuさんの本のほうが分かりやすいように感じます。
167: 07/26(土)21:30 ID:UMxclgow(2/2) AAS
何でもよいと思います
168: 07/26(土)22:35 ID:QYGwtTdO(1/2) AAS
１２３４５６７８９
４５６７８９１２３
７８９１２３４５６
３１２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
省13
169: 07/26(土)22:52 ID:QYGwtTdO(2/2) AAS
②①３４５６７８９
⑤④６７８９１２３
７８９１２３４５６
①③２６４５９７８
６４５９７８３１２
９７８３１２６４５
２３１５６４８９７
省3
170: 163 07/26(土)23:01 ID:/Z199esI(3/4) AAS
ありがとうございます
あらかじめ、ダブりのない
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,2,3,4,5,6,7,9,8
1,2,3,4,5,6,8,7,9
・
・
省10
171: 163 07/26(土)23:36 ID:/Z199esI(4/4) AAS
よく見たら、169は
タテヨコボックスすべて合計45ですが
1列目と2列目、数字のダブりがありますね
というわけで、私の仮説は完敗でした
（合計45方式だとSQL文をおもいっきり簡単にできるんです）
172(1): 07/27(日)11:56 ID:l07VtkZb(1/3) AAS
V を n 次元ベクトル空間とする。
V* を V の双対空間とする。
a1, …, an を V* の基底とする。
ai(vi) = 1 for i ∈ {1, …, n}
ai(vj) = 0 for i, j ∈ {1, …, n} such that i ≠ j
となるような V の基底 v1, …, vn が存在することを V と V* の双対性を使わずに証明せよ。
173: 07/27(日)11:58 ID:l07VtkZb(2/3) AAS
双対という考え方が重要であることが分かるいい問題ですかね？
174: 07/27(日)12:49 ID:1NymgaJg(1) AAS
>>172
(ai(vj)(cj)=0
(ai(Σvjcj))=0
Σcjvj=0
cj=0
rank(ai(vj))=n
(ai(vj))(bjk)=(eik)
省2
175(2): 07/27(日)17:07 ID:6gFXRl6Z(1/4) AAS
>>2
それ本当？
何ページに書いてあるの？
176: 07/27(日)18:16 ID:l07VtkZb(3/3) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
p.62 「以後、 (U, φ) という定式化から来る煩わしさを避けるため、 (U, φ) には上のようにして、局所座標系 (x_1, x_2, …, x_m) が描かれていると考えることにしよう。」
↑これがこの本の最大の欠点だと思います。
φ をちゃんと陽に使って説明したほうがクリアで分かりやすいはずです。
177: 07/27(日)19:21 ID:w+91Ip6O(1/3) AAS
>>175
これ成り立たないの？
普通に成り立ちそうだけど
178: 07/27(日)20:29 ID:dnfSDs4w(1/3) AAS
ヨコだけど |x| を原点との距離として
f(x) = -4exp(-2|x|^4) + 2exp(-|x|^2) + cos(|x|^2) exp(-|x|^2)
とかでだめだと思う。f(x) = 0 となるのは |x| = 0.86.. ぐらいだけど f^(-1)((-ε,ε)) となる x は |x| がいくらでも大きいところまで続いてしかも増減を無限にくりかえす。
179(1): 07/27(日)20:35 ID:dnfSDs4w(2/3) AAS
まぁ M 本体そのものがコンパクトなら反例はないけど。どうせメインはその仮定はいるから筆が滑っただけだとは思う。
180: 07/27(日)20:39 ID:6gFXRl6Z(2/4) AAS
f(x)の臨界値が0に集積する場合とか無いのか？
x*sin(1/x)の様に0の近くで激しく振動するばあいとか
181(1): 07/27(日)20:45 ID:6gFXRl6Z(3/4) AAS
>>175
>>179が言うように、Mがコンパクトとか何か良い仮定が無いとダメだと思う
182: 07/27(日)21:13 ID:w+91Ip6O(2/3) AAS
たしかに
183: 07/27(日)21:44 ID:w+91Ip6O(3/3) AAS
Mがコンパクトのときは、背理法使うと臨界点の列p_nでKの点pに収束するものが取れるけど、pの近傍には臨界点ないから矛盾するな
もうちっと丁寧にやりたいな…
184(1): 07/27(日)22:06 ID:VBdwsvAc(1) AAS
数列{a[n]}wo、a[1]=a(>1), a[n+1]=S[n]/(S[n]-1) (n=1,2,3,…)_で定めます。ただし
S[n]=a[1]+…+a[n] です。
このとき n→∞ のとき a[n]→1に収束すると思うんですがどう示せますか。
また、a[n]-1 はどのくらいのレベルで0に近づきますか。
185(1): 07/27(日)22:11 ID:6gFXRl6Z(4/4) AAS
>>181だけど、>>2は「関数fがモース関数」という仮定が抜けていると思われる。
モース理論をするなら、モース関数という仮定が無いとダメだろう。
モース関数なら、臨界点は孤立するから、集積するようなことが起こらない。
186(1): 07/27(日)22:42 ID:dnfSDs4w(3/3) AAS
モース関数でもだめでしょ。
いくらでも小さい値の臨界値をもつが、M 本体がコンパクトでもなんでもなければ P_n で臨界値、| f(P_n) | < 1/n、 lim P_n は無限遠点に逃げていくモース関数の例なんていくらでもありそうな。
187: 07/28(月)10:56 ID:w6CEDhLN(1/2) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
germというのが出てきますが、なぜこれを考える必要があるんですか？
実際、Tuさん自身も v 方向の方向微分を点 p の近傍で C^∞ であるような関数 f に対しては定義していますが、germの元に対しては定義していません。
ですが、突然、germの元に対して、その v 方向の方向微分を対応させる関数を考えています。
もちろん代表元を使って定義するというのは分かるのですが、正式には定義していません。
これはgermという概念が不要であることを意味しませんか？
例えば、 Z/(m*Z) という環など知らなくても、modだけで十分な場合が多いですよね。
省1
188: 07/28(月)12:59 ID:w6CEDhLN(2/2) AAS
Tuさんは都合の良いときにだけ、同値類として扱います。
189: 07/28(月)13:21 ID:rsmqEGIP(1) AAS
>>184 定義からつねにa[n]>1だからS[n]→∞。
なので a[n+1]=S[n]/(S[n]-1)=1/(1-1/S[n])→1 (n→∞)であきらか。
190: 07/28(月)13:58 ID:b3lcNN0d(1/3) AAS
>>185-186
つまり、M:コンパクト、f:モース関数と2つ仮定しないと成り立たないんですね
191: 07/28(月)15:09 ID:BO4Bo9lp(1/2) AAS
モース関数はいらなくない？
本にはコンパクトでモース関数だと臨界点は有限個ってもっと強いこと書いてあるよ
192(1): 07/28(月)15:17 ID:BO4Bo9lp(2/2) AAS
モース関数の定義にf^-1((-∞,a])がコンパクトが入ってるから、この問題だとモース関数だけでよくないかな
f^-1((-∞,1])がコンパクトだから、Mがコンパクトなのとたいして変わらなさそう
193: 07/28(月)16:21 ID:b3lcNN0d(2/3) AAS
>>192
通常、モース関数の定義は「臨界点がすべて非退化」だけだと思う。
もし、f^-1((-∞,a])がコンパクトも仮定するなら、Mのコンパクト性ははずせるが、特殊な定義の様に思う。
194: 07/28(月)16:23 ID:b3lcNN0d(3/3) AAS
退化した臨界点も許すボット式モース理論もあるが、私はよう知らん
195(1): 07/28(月)21:26 ID:Oyr8TCkw(1) AAS
初歩的な質問ですがお願いします
杉浦さんの解析学入門Ⅰで実数の公理として17個の性質を挙げています
その実数から自然数、整数、有理数を構成しています
この公理を満たす物が存在するかどうか分からないので、厳密に実数を定義するなら自然数の定義から始めないといけないというのをネットで見かけます
自然数の定義にしろ前述の実数の定義にしろ、公理だからそこに疑問を持つ必要はないのではと思います
196: 07/28(月)22:05 ID:hIzCVexn(1) AAS
>>195
よく分からんけど
実数の公理とやらで
我々の知る実数がそのモデルになるんじゃ無いの？
んでその公理を満たす集合が先に出来て
そこからその部分集合として自然数とかを定義するのは
そうおかしくもないような
197: 07/28(月)22:43 ID:YuDI7wQm(1) AAS
べつに実数の公理を定めてそこからスタートしてもいいよ。
198(1): 07/29(火)08:42 ID:i5a4Qo4s(1/4) AAS
自然数と実数はどちらがprimitiveなものなのかは決めることはできないですよね。
199(1): 07/29(火)18:57 ID:i5a4Qo4s(2/4) AAS
f : U → R を C^∞ 関数とする。
1-form df を以下で定義する。
(df)_p(X_p) = X_p f
(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。
T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、
なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？
200(2): 07/29(火)19:08 ID:i5a4Qo4s(3/4) AAS
(df)_p への入力は X_p です。
T_p(R^n) の全ての元を得るには、 X を動かす必要があります。
ここで気持ちの悪いことが起こります。
X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。
201: 07/29(火)19:22 ID:fRK0B8AG(1/2) AAS
何も気持ち悪くないし何を問題にしようとしてるのか全くわからん
202(1): 07/29(火)20:16 ID:i5a4Qo4s(4/4) AAS
T_p(R^n) から R への写像を定義するのに、異質な X など使う必要がありません。
203: 07/29(火)20:23 ID:TQJw0m2i(1) AAS
仮引数なんだから変数1個で受け止めるのは普通やろ…
204: 07/29(火)21:46 ID:fRK0B8AG(2/2) AAS
>>202
なら何だったらいいの？x(小文字)とかaとかならいい？
それともベクトル空間の基底が与えられたら任意の元を表すのに一々その一次結合で書かないと気が済まないの？
205: 07/29(火)21:47 ID:CExXJBAc(1/2) AAS
vで
206(1): 07/29(火)22:16 ID:gfm8pxP0(1) AAS
>>198
個々の数では比較しようがないが、全体なら実数の方が高級である。
実数全体のなす集合は、極限操作で閉じているから。
207: 07/29(火)22:21 ID:CExXJBAc(2/2) AAS
>>206
その意味なら整数でも閉じてるんでは？
208(2): 07/30(水)08:34 ID:5T+RajIt(1/5) AAS
>>199-200
例えば、 g : [-1, 1] ∋ x → x^2 ∈ R を定義することを考えます。
この関数は、 g(sin(x)) という形でのみ使用することを考えています。
このときに、 g を g(sin(x)) = (sin(x))^2 と定義しているようなものですか？
209(2): 07/30(水)09:20 ID:cBIP43FE(1) AAS
>>208
df_pのpがその説明のxに当たるものよ
210(1): 07/30(水)14:45 ID:J31VdO3g(1/6) AAS
>>209
pはこの話に関係ないと思ってたけど違うんか？
引数は変数1個で受けるという基本を無視しようとする松坂君の主張が意味不明な話ではなくって
211(1): 07/30(水)16:24 ID:Owbf1GR5(1/6) AAS
>>210
彼の違和感の根源は
X_pがpの「関数」だってところから来てるんだと思ったからね
なぜそれが根源だと思ったかというと
>>200
>X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。
と書いているから
212: 07/30(水)16:32 ID:J31VdO3g(2/6) AAS
>>211
あーその発想はなかったわ
確かに2つ目のレス単独で見るとそうなるな
今度は1つ目の線型結合でなんたらとか言ってたのはなんだったんだろうってなるが…
213: 07/30(水)16:38 ID:J31VdO3g(3/6) AAS
X_pみたいなのが単独の記号なのか、1つ変数かなんて柔軟に読まないと
f(x_1,...,x_n)なんて出てきただけで松坂君発狂すんじゃね
214: 07/30(水)16:39 ID:J31VdO3g(4/6) AAS
❌1つの変数か→関数の値か
215(2): 07/30(水)17:20 ID:5T+RajIt(2/5) AAS
For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
と書いてあるので、 X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。
216(1): 07/30(水)17:23 ID:Owbf1GR5(2/6) AAS
>>208
>>209に書いたのは
pがその説明のxにあたり
g(x)を定義しようとしているのではなくて
f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを
理解すべきだということ
217: 07/30(水)17:24 ID:5T+RajIt(3/5) AAS
From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
218(1): 07/30(水)17:26 ID:Owbf1GR5(3/6) AAS
>>215
>X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。
X_pはT_p Uの元だからただのベクトルよ
pごとに別々のベクトル空間のベクトルを考えることになるので
X_pと書いているけれど
219: 07/30(水)17:27 ID:Owbf1GR5(4/6) AAS
なんならdf_p(v)=v(f)でもいい
220: 07/30(水)17:29 ID:J31VdO3g(5/6) AAS
>>215
どう見ても1つの変数じゃん
221: 07/30(水)17:30 ID:Owbf1GR5(5/6) AAS
>>218
>ただのベクトルよ
ただの接ベクトルよ
か
222: 07/30(水)17:33 ID:Owbf1GR5(6/6) AAS
>>216
>f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを
同じ記号f使ったので混乱させたかも知れんスマン
φ(x)に対してg(x,φ)を定義しようとしているようなものよ
223: 07/30(水)17:36 ID:J31VdO3g(6/6) AAS
nとかkとか書いたら整数と解釈するのと同じように、_pをつけた変数は点pに紐づいたベクトル空間を動く変数ですよって明示するために付けてるんだよ
ハンガリアン記法みたいなもんだ
224: 07/30(水)17:46 ID:5T+RajIt(4/5) AAS
X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。
確かにそう解釈するのが正しそうですね。
>(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。
>T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、
>なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？
そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて
(df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^1 * ∂/∂x^1 |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^1 * ∂f(p)/∂x^n
省2
225: 07/30(水)17:50 ID:5T+RajIt(5/5) AAS
訂正します：
X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。
確かにそう解釈するのが正しそうですね。
>(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。
>T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、
>なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？
そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて
省3
226: 07/30(水)18:01 ID:UzKE/KGY(1) AAS
そもそも標準的な基底(∂/∂x^j)と言ってるけどUの座標系は1つ固定して考えているのだろうか
∂/∂x^jという記号の定義を勘違いしてはないだろうか
227: 07/31(木)14:29 ID:5t/NXspK(1/9) AAS
あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。
From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
X_p のが単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。
(df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。
これは明らかにおかしなことです。
228: 07/31(木)14:30 ID:5t/NXspK(2/9) AAS
訂正します：
あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。
From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
X_p が単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。
(df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。
省1
229: 07/31(木)14:34 ID:5t/NXspK(3/9) AAS
あ、 X_p はやっぱり p の関数ではないですね。ただし、点 p での derivation であるという情報はもっていますね。
230: 07/31(木)14:46 ID:5t/NXspK(4/9) AAS
Tuさんの本ですが、言葉での説明が足らないですね。
例えば、 (df)_p は方向ベクトルを入力として、 f の点 p での方向微分の値を返す関数ですが、このような説明が全くありません。
ただ、定義だけを書いています。
231: 07/31(木)16:21 ID:5t/NXspK(5/9) AAS
(df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かれば、
df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。
(df)_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。
X f は点 p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。
色々な関数が登場しますが、それらが何なのかがはっきりと分かります。
232: 07/31(木)16:29 ID:bu4D4TmA(1/4) AAS
>For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
この文章読めば普通に分かるだろ
For p ∈ U and X(p) ∈ T_p U
で、動くのは関数Xなんて文章は英語としておかしいんだよ
233: 07/31(木)17:13 ID:5t/NXspK(6/9) AAS
Tuさんは (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かっていれば自明な
df = Σ ∂f/∂x^i dx^i
という等式を長々とした見通しの悪い議論で証明しています。
df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数です。
ですので、
dx^i は点 p には依存しない方向ベクトルにのみ依存する関数です。具体的には、方向ベクトルを入力としてその x^i 成分を返すような関数です。
df_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の方向微分を返す関数です。
省3
234(1): 07/31(木)17:38 ID:bu4D4TmA(2/4) AAS
d(x_i)を座標で書くのに証明しようとしてる定理が必要だろ
235(1): 07/31(木)17:46 ID:5t/NXspK(7/9) AAS
>>234
ちょっと何を言っているのか分かりませんが、いいたいことは、
Tuさんは、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということさえ分かっていれば自明なことを色々と無駄に証明しているということです。
そして、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということをはっきりと書いていません。
一体何がしたいんだという感じです。
236: 07/31(木)18:10 ID:bu4D4TmA(3/4) AAS
>>235
分かっていればの前に書いてあることを証明しろよ
237(1): 07/31(木)18:27 ID:bu4D4TmA(4/4) AAS
彼が何を証明しようとして、どう証明できたと主張しているのか1ミリも分からない
238: 07/31(木)19:28 ID:H1SJ8SaT(1) AAS
>>237
同感ｗ
239(1): 07/31(木)19:32 ID:5t/NXspK(8/9) AAS
微分形式について初めて勉強していますが、深い話はなさそうだという印象です。
単なる非常に単純な代数的な話を抽象的でややこしく議論しているという印象です。
行列式の理論に深い話がないのと似ているという印象です。
240: 07/31(木)19:33 ID:5t/NXspK(9/9) AAS
訂正します：
微分形式について初めて勉強していますが、深い話はなさそうだという印象です。
非常に単純な代数的な話を抽象的にややこしく議論しているという印象です。
行列式の理論に深い話がないのと似ているという印象です。
241: 07/31(木)21:13 ID:sBGfMEXB(1) AAS
えぇ……あれだけ本読んでやっと初めて微分形式に辿り着いたの？？？
242: 07/31(木)21:46 ID:0xl8lSxV(1) AAS
>>239
書いてた話読んでみたけど
定義の意味が分かった程度じゃ無いの？
まあそこまでしか行けなければ
別にそれでもいいのでは？
243: 08/01(金)11:35 ID:BgSH8qMi(1) AAS
テンソル代数ですが、Tuさんの本でのテンソル代数と佐武一郎さんの本でのテンソル代数って同じものなんですか？
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