大学数学の質問スレ Part1 (163ﾚｽ)
上下前次1-新
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
1(1): 05/26(月)10:57 ID:MW0NRypB(1/2) AAS
無くなってたので立て直し
81: 07/19(土)12:23 ID:CS5dgjr3(3/6) AAS
n ≠ m であるとき、 R^n の開集合 U と R^m の開集合 V は同相ではない。
この基本的な事実を示すことが既に難しいということです。
そして、位相多様体の定義では、この事実が重要です。
多様体論の最初のところで既にこのような困難があります。
82(2): 07/19(土)12:41 ID:CS5dgjr3(4/6) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
この本に以下のような説明があります。（多変数の実関数の場合に。）
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
省8
83: 07/19(土)17:38 ID:YEzC606F(1/3) AAS
>>79
あ
そ
84: 07/19(土)17:41 ID:YEzC606F(2/3) AAS
>>80
各点のまわりにR^nとR^mと両方置いてみたら
両立しないことは自明に思えるはず
自明でも証明はあっていいけれど
どっちかっていうと不毛な作業
85(1): 07/19(土)17:43 ID:3WbaItSK(1/3) AAS
これ証明して
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
86(1): 07/19(土)18:05 ID:YEzC606F(3/3) AAS
>>82
C^∞とC^ωの違いは？
87: 07/19(土)19:29 ID:3WbaItSK(2/3) AAS
>>80
そもそもこの本は位相多様体の教科書ではない
88(2): 07/19(土)21:05 ID:CS5dgjr3(5/6) AAS
>>85
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
は収束円内でいくらでも微分可能です。よって、 f は点 a の近傍である収束円の内部で C^∞ です。
89: 07/19(土)21:13 ID:CS5dgjr3(6/6) AAS
>>86
それは有名な反例がありますよね。
x = 0 でいくらでも微分可能で、その任意階数の微分係数の値がすべて 0 であるけれども 0 の任意の近傍で恒等的には 0 にならないような関数が存在します。
この関数が x = 0 の近傍でテイラー展開可能であれば、その近傍で恒等的に 0 でなければなりません。
90(2): 07/19(土)21:18 ID:3WbaItSK(3/3) AAS
>>88
これを証明してよ
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
91: 07/20(日)00:45 ID:POdAWOhH(1/3) AAS
この馬鹿こんな簡単な文章も理解できんのか。
92(1): 07/20(日)01:27 ID:QfhTigbA(1/3) AAS
>>90
自明ですよね。
f は点 a で任意階の微分係数をもつとする。
k を任意の自然数とする。
f は点 a で k + 1 階の微分係数をもつので、点 a の近傍で f の第 k 階の導関数が存在する。
したがって、 f は C^∞ である。
93(2): 07/20(日)01:29 ID:QfhTigbA(2/3) AAS
>>90
自明ですよね。
f は点 a で任意階の微分係数をもつとする。
k を任意の自然数とする。
f は点 a で k + 1 階の微分係数をもつので、点 a の近傍で f の第 k 階の導関数が存在する。
したがって、 f は点 a の近傍で C^∞ である。
94: 07/20(日)02:45 ID:ryVuvhht(1) AAS
>>82
ある点で微分可能と近傍で微分可能の違いすら分からないのかよwww
馬鹿すぎるだろwwww
95: 07/20(日)02:47 ID:Q/QxpLXs(1) AAS
>>92
思い込みと証明の区別がついてないwww
96: 07/20(日)03:59 ID:MKMFqF1/(1) AAS
>>93
それらの近傍はkに依存するかもしれない
97(1): 07/20(日)07:06 ID:POdAWOhH(2/3) AAS
収束べき級数は収束円内において項別微分可能であるから、実解析的関数は必然的に C^∞ である。
f がある点で実解析的
→収束円内のすべての点で何回でも項別微分可能
→収束円内のすべての点で C^∞
なんでこんなことわからないのかがわからん
「俺以外の人間はバカだから当たり前のことをしかも変な文章で書いていい気になってる」
とでも考えてるんやろな。
98: 07/20(日)07:13 ID:n3B3EMBb(1) AAS
>>93
その最後のaの近傍はいくつ？
99(1): 07/20(日)11:35 ID:QfhTigbA(3/3) AAS
>>97
それは
>>88
に書いたことです。
100(1): 07/20(日)19:14 ID:cOZ+oUY1(1) AAS
たまにネット見てる引退済みの老人ですよ。
関数fが一点で無限回微分可能でも、近傍でC^{\infty}にはならない例はあったと思う。
易しくはないかな。大昔、大きな大学でも数学の修士院生を数名しか取れなかった時代、
強烈な倍率のあった院試で、例をあげて院試で聞いたことがあった。
関数fが解析的なら、収束半径>0なことを暗黙の内に仮定してて、それなら近傍まで
滑らか(解析的)と考えるくらいでいいかな。
子供の頃から、五月蠅く細かい話を言わない現在となっては、
省3
101: 07/20(日)19:19 ID:22mJ/gC/(1) AAS
年寄りの冷や水
102: 07/20(日)19:24 ID:N157az0Y(1/2) AAS
「オワコン」とは、「終わったコンテンツ」の略で、流行が過ぎ去り、多くの人の興味を引かなくなったコンテンツを指します。主にアニメや漫画、ゲームなどのサブカルチャーに使われますが、ファッションや音楽など、さまざまなジャンルにも適用されることがあります。ネガティブな意味合いを持つこの言葉は、特に人気があったものが飽きられた際に使われることが多いです。
103: 07/20(日)19:26 ID:N157az0Y(2/2) AAS
ヒパチアが殺されてからルネサンスまで
西洋では数学はオワコンだった
104(4): 07/20(日)20:42 ID:n17RkDCH(1) AAS
そんなに難しいか？
|x-1/k|^kを適度な係数で足し合わせればいいんじゃないの？
105: 07/20(日)20:46 ID:POdAWOhH(3/3) AAS
>>99
まだわからんのか能なし。もう消えろゴミ
106: 07/20(日)22:11 ID:01A+kgWh(1) AAS
死ぬほど難しくはないけど、院試の面接で出したら鬼だな
107(2): 07/21(月)05:57 ID:Y5n8TluJ(1) AAS
>>100
exp(-1/x^2) (x not in Q)
0 (x in Q)
とかでよいのでは？
108(4): 07/21(月)07:20 ID:FNiifGED(1/15) AAS
それだと全ての点でC^∞
話題に上がってるのは x=0 で無限回微分可能だけど x=0 が { a | f は x=a で無限回微分可能ではない } の閉包に入る例。>>104 で行ける
109: 07/21(月)07:32 ID:l1OzVRQ7(1/3) AAS
>>108
>それだと全ての点でC^∞
x≠0で不連続よ
110: 07/21(月)07:57 ID:FNiifGED(2/15) AAS
じゃあ全然だめ
111: 07/21(月)09:07 ID:zKS37biS(1/7) AAS
原点で無限回微分できるだろ
112(2): 07/21(月)09:09 ID:zKS37biS(2/7) AAS
>>108
微分可能は原点のみで、原点では無限回微分可能で満たしてるだろ
113: 07/21(月)09:11 ID:FNiifGED(3/15) AAS
だから話の流れで求められてるものじゃない
>>108で書いてるやつがもとめられててすでに答えが>>104ででてる。
なのに求められてる条件満たさない例あげてなにがしたいん？
114(2): 07/21(月)09:12 ID:FNiifGED(4/15) AAS
>>112
exp(-1/x^2) は原点以外のとこでは明らかに無限回微分できるやろ？
115(2): 07/21(月)09:45 ID:zKS37biS(3/7) AAS
>>114
で？
もしかして107読めないのかよ
116(1): 07/21(月)09:47 ID:FNiifGED(5/15) AAS
>>115
だから>>107の例は原点以外全部無限回微分できるやん？どっか無限回微分できないとこあるん？
117: 07/21(月)09:47 ID:zKS37biS(4/7) AAS
>>115
適当な係数で足し合わせ面倒だから微積の初歩みたいな関数の例上げただけなのに意味すら通じないとはwwww
118: 07/21(月)09:48 ID:zKS37biS(5/7) AAS
>>116
原点以外不連続なのに微分できるのかよ
119(1): 07/21(月)09:48 ID:FNiifGED(6/15) AAS
exp(x)はすべてのxで無限回微分できるよな？
-1/x^2は原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
じゃあ合成しても原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
120(1): 07/21(月)09:49 ID:FNiifGED(7/15) AAS
ああ、Qか、すまん。
121: 07/21(月)09:49 ID:zKS37biS(6/7) AAS
>>119
107読めないのかよwww
122(1): 07/21(月)09:49 ID:zKS37biS(7/7) AAS
>>120
今頃？
123: 07/21(月)09:56 ID:FNiifGED(8/15) AAS
>>122
ああ、すまん
124: 07/21(月)11:30 ID:+XuY0woP(1/5) AAS
>>114
1回しか出来ないよｗ
125: 07/21(月)11:31 ID:+XuY0woP(2/5) AAS
ああ言い間違い
原点でも1回しか微分できないよ
126: 07/21(月)11:32 ID:+XuY0woP(3/5) AAS
>>112
こっちにレスするつもりで
127: 07/21(月)12:05 ID:FNiifGED(9/15) AAS
結局>>107は不連続な点が稠密に発生するから原点回りで f'(x) が定義できない点が無限に発生して原点での 2 回目の微分すら存在しない。ので求められてる条件みたしてない。補正すれば >>108 の条件満たすように直せるかもしれんけどこのままじゃだめですな。
128(1): 07/21(月)12:54 ID:fw99j+XX(1/2) AAS
そもそも一点で微分可能とはその点のある開近傍で微分可能を意味するもんだろ
129: 07/21(月)13:01 ID:+XuY0woP(4/5) AAS
x^2sin(1/x)みたいなのもあるしなあ
130(1): 07/21(月)14:53 ID:EG4WjVZR(1/8) AAS
>>128
関数 f がある点 a で、 C^k 級というとき、 f は点 a の近傍で C^k 級という意味ですが、
ある点で微分可能というのは単にその点で微分可能というだけのことですよね。
131(1): 07/21(月)14:58 ID:EG4WjVZR(2/8) AAS
f が点 a で任意階の微分係数をもつとしても、 f は点 a の近傍で C^∞ でないことがある。
この例を挙げてください。
132: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 07/21(月)14:58 ID:G4mILYCT(1/2) AAS
生物科に行って医者になるなら微分もいいかもな。しかし積分にはひと気が無い。たまたま違う過程になって積分から被害出さなかったのは運。
133: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 07/21(月)14:59 ID:G4mILYCT(2/2) AAS
誰か継いでくれるかも淡き希望か。
134: 07/21(月)15:02 ID:+XuY0woP(5/5) AAS
>>131
>>104は？
いずれにしよ
存在するなら例
存在しないなら証明が必要だよ
135: 07/21(月)16:10 ID:fw99j+XX(2/2) AAS
>>130
馬鹿アスペは気にするな
136(1): 07/21(月)17:24 ID:EG4WjVZR(3/8) AAS
>>104
具体的に書いてください。
137(1): 07/21(月)17:29 ID:S8ic7p3i(1/3) AAS
>>136
わいが104だが、Σ1/k! |x-1/k|^kでいけるんじゃないの
細かい確認は何もしてないけど
138(1): 07/21(月)20:16 ID:EG4WjVZR(4/8) AAS
>>137
その関数を f とする。
f : R → R は、 x = 1 で微分できない。
f' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
f'' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
以下同様
139: 07/21(月)20:26 ID:S8ic7p3i(2/3) AAS
>>138
証明して
>f'' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
140: 07/21(月)20:35 ID:EG4WjVZR(5/8) AAS
k が奇数のときに、 |x - 1/k|^k を k - 1 回微分すると 1/k で微分できないですね。
141: 07/21(月)20:37 ID:EG4WjVZR(6/8) AAS
k が奇数のときに、 |x - 1/k|^k の第 k - 1 次導関数は、 x = 1/k で微分できないですね。
142: 07/21(月)20:38 ID:S8ic7p3i(3/3) AAS
そうだよ
143(1): 07/21(月)20:46 ID:EG4WjVZR(7/8) AAS
f は (-∞, 1) で微分できる。
f^(2) は (-∞, 1/3) で微分できる。
f^(4) は (-∞, 1/5) で微分できる。
f^(6) は (-∞, 1/7) で微分できる。
…
f は原点でいくらでも微分できるが、原点の近傍で C^∞ ではない。
そういうアイディアですか。
144: 07/21(月)20:49 ID:l1OzVRQ7(2/3) AAS
>>143
やっと気づいたの？
145: 07/21(月)20:52 ID:EG4WjVZR(8/8) AAS
微分積分の本に、多変数実関数のテイラー展開ってなんで書かれていないんですか？
小平邦彦さんの本には少し書いてありますが分かりにくいです。
146: 07/21(月)21:01 ID:l1OzVRQ7(3/3) AAS
ただ
微分可能を言うには項別微分可能つまり一様収束してる必要があると思うけど
べき乗に符号付けたぐらいのものだからすぐ言えるのかな
147(1): 07/21(月)21:18 ID:lprS0dfP(1/2) AAS
上野代数幾何入門p194に
xとyの２変数多項式
(y-a_1 x)…(y-a_n x)-x^(n-2) (a_1,,,a_n は 複素数)
の根が
y=x (x^(-2/n)-b/n+ c_1 x^(2/n) +c_2 x^(4/n)+c_3 x^(6/n)+…)
(ここでb=-(a_1+…+a_n) ，c_1,,,c_n は複素数)
という形になると書いてあるのですが、
省1
148: 07/21(月)21:24 ID:FNiifGED(10/15) AAS
n 回導関数の属が一様可積分なんだからいけるでしょ。
f[N](x) := Σ[n≦N]1/n! |x-1/n|^(n) として f[N](x) は |x|<1/n において n 回微分可能。 f⁽ⁿ⁾[N](x) は一様有界関数族である gₙ(x) に各点収束する。すなわち
f⁽ⁿ⁾[N](x) → gₙ(x)、f⁽ⁿ⁻¹⁾[N](x) → gₙ₋₁(x)、関数族は一様可積分
だから gₙ₋₁(x)' = gₙ(x)。∴ f(x) = g₀(x) は |x|<1/n において n 回微分可能。
149: 07/21(月)22:27 ID:FNiifGED(11/15) AAS
こんなかんじかな？
t := x^(2/n)、z := ty/x とおいて与式は
(z-ta_1)...(z-ta_n) = 1...①
となる。z が t のべき級数としてえられるべき級数解をかんがえる。
150: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(12/15) AAS
まずℂ[[t]] での解を考える。z(0) = 1 である。z⁽ⁿ⁾(0) まで決まってそれが a の多項式でかけているとする。 ①の対数微分より
(z’-a_1)/(z-ta_1)+...+(z’-a_n)/(z-ta_n) = 0
であるからn階微分して
151: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(13/15) AAS
ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ + ... + ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ = 0
ここに t = 0 を代入すると (1/( z-ta_i ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ の分母にでてくる式は ( z-ta_i )) のべきであり t=0 のとき 1 である。よって結果は nz⁽ⁿ⁺¹⁾(0) + (z⁽ᵏ⁾(0) と a の多項式) = 0 の形である。
152: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(14/15) AAS
よって帰納的に z⁽ⁿ⁾(0) は a の多項式でかける。さらに展開にあらわれる項の数は n の指数オーダーより小さいから得られる z⁽ⁿ⁾(0) の大きさは高々 n の指数オーダーでおさえられるから得られる級数は 0 でない収束半径をもつ。
153: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(15/15) AAS
細かいとこあってないかも
154: 07/21(月)22:46 ID:lprS0dfP(2/2) AAS
凄い
素早いレスありがとうございます！
ちょっとたどってみます
155: 07/22(火)07:54 ID:CbEnPq4B(1) AAS
後半の収束半径の話はだめかもしれない。
t に関して正則になる証明は普通に Newton Raphson のほうがいいみたい。
----
fₜ (z) = ( z - taₙ )...( z - taₙ) - 1
Pₜ(z) = z - fₜ (z)/(∂fₜ/∂z)(z)
z₁(t) = 1, zₖ₊₁(t) = Pₜ(zₖ(t))
とおく。P₀(z) = z - ( zⁿ - 1 )/nzⁿ⁻¹、P₀’(1) = 0 だから十分小さい R,T を任意の |z-1|<R, |t|<T に対して |Pₜ’(z)| < 1/2 が満たされるようにとれる。よって |t|<T のとき列 (zₖ(t)) は |z-1|<R において一様に収束し lim zₖ(t)) は t について正則である。
156(1): 07/22(火)16:33 ID:bi/mtvKn(1) AAS
何を議論してのかわからん、爺の蘊蓄か
157: 07/22(火)17:54 ID:XdxqJpaH(1) AAS
>>156
>>147
158: 07/22(火)18:17 ID:3z8X5+3w(1) AAS
分からない議論がそうだったことが多い？
159: 07/25(金)22:54 ID:3T0T5wgB(1) AAS
「AならばB」は、if A then B より B if A とするほうが自然ですか？
160: 07/25(金)23:13 ID:XzsPzp2P(1) AAS
not A or Bかな
161: 07/26(土)16:56 ID:5Tx1q8wa(1) AAS
例えば、いきなりTuさんの多様体論の本や松本さんの多様体論の本を読むのと、SpivakさんやMunkresさんの多様体上の微分積分の本を読むのではどちらがおすすめですか？
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 2 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.019s