大学数学の質問スレ Part1 (171ﾚｽ)
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108(4): 07/21(月)07:20 ID:FNiifGED(1/15) AAS
それだと全ての点でC^∞
話題に上がってるのは x=0 で無限回微分可能だけど x=0 が { a | f は x=a で無限回微分可能ではない } の閉包に入る例。>>104 で行ける
110: 07/21(月)07:57 ID:FNiifGED(2/15) AAS
じゃあ全然だめ
113: 07/21(月)09:11 ID:FNiifGED(3/15) AAS
だから話の流れで求められてるものじゃない
>>108で書いてるやつがもとめられててすでに答えが>>104ででてる。
なのに求められてる条件満たさない例あげてなにがしたいん？
114(2): 07/21(月)09:12 ID:FNiifGED(4/15) AAS
>>112
exp(-1/x^2) は原点以外のとこでは明らかに無限回微分できるやろ？
116(1): 07/21(月)09:47 ID:FNiifGED(5/15) AAS
>>115
だから>>107の例は原点以外全部無限回微分できるやん？どっか無限回微分できないとこあるん？
119(1): 07/21(月)09:48 ID:FNiifGED(6/15) AAS
exp(x)はすべてのxで無限回微分できるよな？
-1/x^2は原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
じゃあ合成しても原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
120(1): 07/21(月)09:49 ID:FNiifGED(7/15) AAS
ああ、Qか、すまん。
123: 07/21(月)09:56 ID:FNiifGED(8/15) AAS
>>122
ああ、すまん
127: 07/21(月)12:05 ID:FNiifGED(9/15) AAS
結局>>107は不連続な点が稠密に発生するから原点回りで f'(x) が定義できない点が無限に発生して原点での 2 回目の微分すら存在しない。ので求められてる条件みたしてない。補正すれば >>108 の条件満たすように直せるかもしれんけどこのままじゃだめですな。
148: 07/21(月)21:24 ID:FNiifGED(10/15) AAS
n 回導関数の属が一様可積分なんだからいけるでしょ。
f[N](x) := Σ[n≦N]1/n! |x-1/n|^(n) として f[N](x) は |x|<1/n において n 回微分可能。 f⁽ⁿ⁾[N](x) は一様有界関数族である gₙ(x) に各点収束する。すなわち
f⁽ⁿ⁾[N](x) → gₙ(x)、f⁽ⁿ⁻¹⁾[N](x) → gₙ₋₁(x)、関数族は一様可積分
だから gₙ₋₁(x)' = gₙ(x)。∴ f(x) = g₀(x) は |x|<1/n において n 回微分可能。
149: 07/21(月)22:27 ID:FNiifGED(11/15) AAS
こんなかんじかな？
t := x^(2/n)、z := ty/x とおいて与式は
(z-ta_1)...(z-ta_n) = 1...①
となる。z が t のべき級数としてえられるべき級数解をかんがえる。
150: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(12/15) AAS
まずℂ[[t]] での解を考える。z(0) = 1 である。z⁽ⁿ⁾(0) まで決まってそれが a の多項式でかけているとする。 ①の対数微分より
(z’-a_1)/(z-ta_1)+...+(z’-a_n)/(z-ta_n) = 0
であるからn階微分して
151: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(13/15) AAS
ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ + ... + ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ = 0
ここに t = 0 を代入すると (1/( z-ta_i ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ の分母にでてくる式は ( z-ta_i )) のべきであり t=0 のとき 1 である。よって結果は nz⁽ⁿ⁺¹⁾(0) + (z⁽ᵏ⁾(0) と a の多項式) = 0 の形である。
152: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(14/15) AAS
よって帰納的に z⁽ⁿ⁾(0) は a の多項式でかける。さらに展開にあらわれる項の数は n の指数オーダーより小さいから得られる z⁽ⁿ⁾(0) の大きさは高々 n の指数オーダーでおさえられるから得られる級数は 0 でない収束半径をもつ。
153: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(15/15) AAS
細かいとこあってないかも
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