大学数学の質問スレ Part1 (243ﾚｽ)
大学数学の質問スレ Part1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/
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227: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:29:49.55 ID:5t/NXspK あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。 From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. X_p のが単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。 (df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。 これは明らかにおかしなことです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/227
228: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:30:22.33 ID:5t/NXspK 訂正します： あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。 From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. X_p が単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。 (df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。 これは明らかにおかしなことです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/228
229: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:34:31.43 ID:5t/NXspK あ、 X_p はやっぱり p の関数ではないですね。ただし、点 p での derivation であるという情報はもっていますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/229
230: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:46:35.45 ID:5t/NXspK Tuさんの本ですが、言葉での説明が足らないですね。 例えば、 (df)_p は方向ベクトルを入力として、 f の点 p での方向微分の値を返す関数ですが、このような説明が全くありません。 ただ、定義だけを書いています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/230
231: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 16:21:42.66 ID:5t/NXspK (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かれば、 df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 (df)_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 X f は点 p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 色々な関数が登場しますが、それらが何なのかがはっきりと分かります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/231
233: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 17:13:22.09 ID:5t/NXspK Tuさんは (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かっていれば自明な df = Σ ∂f/∂x^i dx^i という等式を長々とした見通しの悪い議論で証明しています。 df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数です。 ですので、 dx^i は点 p には依存しない方向ベクトルにのみ依存する関数です。具体的には、方向ベクトルを入力としてその x^i 成分を返すような関数です。 df_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の方向微分を返す関数です。 合成関数の微分法の公式により、 df_p(X_p) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (X_p の x_i 成分) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (dx^i)_p(X_p) が成り立ちます。 よって、 df = Σ ∂f/∂x^i dx^i が成り立ちます。 自明です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/233
235: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 17:46:36.92 ID:5t/NXspK >>234 ちょっと何を言っているのか分かりませんが、いいたいことは、 Tuさんは、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということさえ分かっていれば自明なことを色々と無駄に証明しているということです。 そして、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということをはっきりと書いていません。 一体何がしたいんだという感じです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/235
239: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 19:32:56.93 ID:5t/NXspK 微分形式について初めて勉強していますが、深い話はなさそうだという印象です。 単なる非常に単純な代数的な話を抽象的でややこしく議論しているという印象です。 行列式の理論に深い話がないのと似ているという印象です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/239
240: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 19:33:59.22 ID:5t/NXspK 訂正します： 微分形式について初めて勉強していますが、深い話はなさそうだという印象です。 非常に単純な代数的な話を抽象的にややこしく議論しているという印象です。 行列式の理論に深い話がないのと似ているという印象です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/240
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