大学数学の質問スレ Part1 (243ﾚｽ)
大学数学の質問スレ Part1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 10:57:18.43 ID:MW0NRypB 無くなってたので立て直し http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/1
163: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 17:48:34.88 ID:/Z199esI SQLで数独を解いています 1～9の数字が重複しないようにデータを 作成し用意します(362880行) 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,9,8 1,2,3,4,5,6,8,7,9 ・ ・ 9,8,7,6,5,4,3,2,1 この行を組み合わせて数独を解く際、 タテの列の合計が45 各ボックスの合計が45 であれば解が完成と見なせるでしょうか？ 元ネタ https://note.com/brian0724/n/n4447ad17573a では、各列、各ボックスを厳密に見てます ・各列の値は重複しない ・各ボックス内の値は重複しない が、そこまでしなくていいような？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/163
164: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 18:01:21.41 ID:/Z199esI 例えば、ある列が 1 1 3 4 5 6 7 9 9 の場合でも列合計が45になるのだから ダメに決まってるような気もするし、 その場合ボックス合計が45にならない？ （つまり列とボックスが各計45ならよい） 気もします http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/164
165: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/26(土) 18:10:40.61 ID:kngNR0q7 >>163 よせでやれ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/165
166: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 18:36:24.54 ID:5Tx1q8wa 例えば、いきなりTuさんの多様体論の本や松本さんの多様体論の本を読むのと、SpivakさんやMunkresさんの多様体上の微分積分の本を読むのではどちらがおすすめですか？ なんかSpivakさんの本やMunkresさんの本の多様体の部分よりもより抽象的なTuさんの本のほうが分かりやすいように感じます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/166
167: １３２人目の素数さん [] 2025/07/26(土) 21:30:15.55 ID:UMxclgow 何でもよいと思います http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/167
168: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/26(土) 22:35:39.78 ID:QYGwtTdO １２３４５６７８９ ４５６７８９１２３ ７８９１２３４５６ ３１２６４５９７８ ６４５９７８３１２ ９７８３１２６４５ ２３１５６４８９７ ５６４８９７２３１ ８９７２３１５６４ 桶 １①３４⑥６７８９ ４⑥６７⑦９１２３ ７８９１２３４５６ ３１２６４５９７８ ６４５９７８３１２ ９７８３１２６４５ ２３１５６４８９７ ５６４８９７２３１ ８９７２３１５６４ ダメだけど足して４５のみ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/168
169: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/26(土) 22:52:34.55 ID:QYGwtTdO ②①３４５６７８９ ⑤④６７８９１２３ ７８９１２３４５６ ①③２６４５９７８ ６４５９７８３１２ ９７８３１２６４５ ２３１５６４８９７ ５６４８９７２３１ ８９７２３１５６４ さらに１～９まで全部９個ずつ、縦横全ブロック45だけどダメ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/169
170: 163 [sage] 2025/07/26(土) 23:01:49.54 ID:/Z199esI ありがとうございます あらかじめ、ダブりのない 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,9,8 1,2,3,4,5,6,8,7,9 ・ ・ 9,8,7,6,5,4,3,2,1 の362880行（横方向）のデータを テーブルに用意しておき、 行についてはそこから取ってきます （数独の完成形は、362880行から9行選んだもの） ですから168の １①３４⑥６７８９ ４⑥６７⑦９１２３ という行はありえないんです 169は、解としてはokなのでは http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/170
171: 163 [sage] 2025/07/26(土) 23:36:15.59 ID:/Z199esI よく見たら、169は タテヨコボックスすべて合計45ですが 1列目と2列目、数字のダブりがありますね というわけで、私の仮説は完敗でした （合計45方式だとSQL文をおもいっきり簡単にできるんです） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/171
172: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 11:56:05.93 ID:l07VtkZb V を n 次元ベクトル空間とする。 V* を V の双対空間とする。 a1, …, an を V* の基底とする。 ai(vi) = 1 for i ∈ {1, …, n} ai(vj) = 0 for i, j ∈ {1, …, n} such that i ≠ j となるような V の基底 v1, …, vn が存在することを V と V* の双対性を使わずに証明せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/172
173: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 11:58:13.80 ID:l07VtkZb 双対という考え方が重要であることが分かるいい問題ですかね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/173
174: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 12:49:10.77 ID:1NymgaJg >>172 (ai(vj)(cj)=0 (ai(Σvjcj))=0 Σcjvj=0 cj=0 rank(ai(vj))=n (ai(vj))(bjk)=(eik) (ai(Σvjbjk))=(eik) wk=Σvjbjk http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/174
175: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 17:07:40.09 ID:6gFXRl6Z >>2 それ本当？ 何ページに書いてあるの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/175
176: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 18:16:33.30 ID:l07VtkZb 松本幸夫著『多様体の基礎』 p.62 「以後、 (U, φ) という定式化から来る煩わしさを避けるため、 (U, φ) には上のようにして、局所座標系 (x_1, x_2, …, x_m) が描かれていると考えることにしよう。」 ↑これがこの本の最大の欠点だと思います。 φ をちゃんと陽に使って説明したほうがクリアで分かりやすいはずです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/176
177: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 19:21:52.54 ID:w+91Ip6O >>175 これ成り立たないの？ 普通に成り立ちそうだけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/177
178: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 20:29:56.41 ID:dnfSDs4w ヨコだけど |x| を原点との距離として f(x) = -4exp(-2|x|^4) + 2exp(-|x|^2) + cos(|x|^2) exp(-|x|^2) とかでだめだと思う。f(x) = 0 となるのは |x| = 0.86.. ぐらいだけど f^(-1)((-ε,ε)) となる x は |x| がいくらでも大きいところまで続いてしかも増減を無限にくりかえす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/178
179: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 20:35:30.96 ID:dnfSDs4w まぁ M 本体そのものがコンパクトなら反例はないけど。どうせメインはその仮定はいるから筆が滑っただけだとは思う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/179
180: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 20:39:31.60 ID:6gFXRl6Z f(x)の臨界値が0に集積する場合とか無いのか？ x*sin(1/x)の様に0の近くで激しく振動するばあいとか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/180
181: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 20:45:03.73 ID:6gFXRl6Z >>175 >>179が言うように、Mがコンパクトとか何か良い仮定が無いとダメだと思う http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/181
182: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 21:13:26.81 ID:w+91Ip6O たしかに http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/182
183: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 21:44:43.81 ID:w+91Ip6O Mがコンパクトのときは、背理法使うと臨界点の列p_nでKの点pに収束するものが取れるけど、pの近傍には臨界点ないから矛盾するな もうちっと丁寧にやりたいな… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/183
184: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 22:06:28.28 ID:VBdwsvAc 数列{a[n]}wo、a[1]=a(>1), a[n+1]=S[n]/(S[n]-1) (n=1,2,3,…)_で定めます。ただし S[n]=a[1]+…+a[n] です。 このとき n→∞ のとき a[n]→1に収束すると思うんですがどう示せますか。 また、a[n]-1 はどのくらいのレベルで0に近づきますか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/184
185: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 22:11:07.36 ID:6gFXRl6Z >>181だけど、>>2は「関数fがモース関数」という仮定が抜けていると思われる。 モース理論をするなら、モース関数という仮定が無いとダメだろう。 モース関数なら、臨界点は孤立するから、集積するようなことが起こらない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/185
186: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 22:42:50.58 ID:dnfSDs4w モース関数でもだめでしょ。 いくらでも小さい値の臨界値をもつが、M 本体がコンパクトでもなんでもなければ P_n で臨界値、| f(P_n) | < 1/n、 lim P_n は無限遠点に逃げていくモース関数の例なんていくらでもありそうな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/186
187: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 10:56:03.30 ID:w6CEDhLN Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』 germというのが出てきますが、なぜこれを考える必要があるんですか？ 実際、Tuさん自身も v 方向の方向微分を点 p の近傍で C^∞ であるような関数 f に対しては定義していますが、germの元に対しては定義していません。 ですが、突然、germの元に対して、その v 方向の方向微分を対応させる関数を考えています。 もちろん代表元を使って定義するというのは分かるのですが、正式には定義していません。 これはgermという概念が不要であることを意味しませんか？ 例えば、 Z/(m*Z) という環など知らなくても、modだけで十分な場合が多いですよね。 Z/(m*Z) が体になるのは m が素数のときであるとかいう場合には、 Z/(m*Z) という概念が必要になると思いますが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/187
188: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 12:59:50.99 ID:w6CEDhLN Tuさんは都合の良いときにだけ、同値類として扱います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/188
189: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 13:21:35.24 ID:rsmqEGIP >>184 定義からつねにa[n]>1だからS[n]→∞。 なので a[n+1]=S[n]/(S[n]-1)=1/(1-1/S[n])→1 (n→∞)であきらか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/189
190: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 13:58:38.39 ID:b3lcNN0d >>185-186 つまり、M:コンパクト、f:モース関数と2つ仮定しないと成り立たないんですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/190
191: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/28(月) 15:09:55.79 ID:BO4Bo9lp モース関数はいらなくない？ 本にはコンパクトでモース関数だと臨界点は有限個ってもっと強いこと書いてあるよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/191
192: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/28(月) 15:17:09.50 ID:BO4Bo9lp モース関数の定義にf^-1((-∞,a])がコンパクトが入ってるから、この問題だとモース関数だけでよくないかな f^-1((-∞,1])がコンパクトだから、Mがコンパクトなのとたいして変わらなさそう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/192
193: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 16:21:50.73 ID:b3lcNN0d >>192 通常、モース関数の定義は「臨界点がすべて非退化」だけだと思う。 もし、f^-1((-∞,a])がコンパクトも仮定するなら、Mのコンパクト性ははずせるが、特殊な定義の様に思う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/193
194: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 16:23:50.29 ID:b3lcNN0d 退化した臨界点も許すボット式モース理論もあるが、私はよう知らん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/194
195: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 21:26:34.65 ID:Oyr8TCkw 初歩的な質問ですがお願いします 杉浦さんの解析学入門Ⅰで実数の公理として17個の性質を挙げています その実数から自然数、整数、有理数を構成しています この公理を満たす物が存在するかどうか分からないので、厳密に実数を定義するなら自然数の定義から始めないといけないというのをネットで見かけます 自然数の定義にしろ前述の実数の定義にしろ、公理だからそこに疑問を持つ必要はないのではと思います http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/195
196: １３２人目の素数さん [] 2025/07/28(月) 22:05:33.50 ID:hIzCVexn >>195 よく分からんけど 実数の公理とやらで 我々の知る実数がそのモデルになるんじゃ無いの？ んでその公理を満たす集合が先に出来て そこからその部分集合として自然数とかを定義するのは そうおかしくもないような http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/196
197: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/28(月) 22:43:27.58 ID:YuDI7wQm べつに実数の公理を定めてそこからスタートしてもいいよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/197
198: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 08:42:51.64 ID:i5a4Qo4s 自然数と実数はどちらがprimitiveなものなのかは決めることはできないですよね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/198
199: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 18:57:31.86 ID:i5a4Qo4s f : U → R を C^∞ 関数とする。 1-form df を以下で定義する。 (df)_p(X_p) = X_p f (df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/199
200: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 19:08:15.91 ID:i5a4Qo4s (df)_p への入力は X_p です。 T_p(R^n) の全ての元を得るには、 X を動かす必要があります。 ここで気持ちの悪いことが起こります。 X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/200
201: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 19:22:14.42 ID:fRK0B8AG 何も気持ち悪くないし何を問題にしようとしてるのか全くわからん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/201
202: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 20:16:52.56 ID:i5a4Qo4s T_p(R^n) から R への写像を定義するのに、異質な X など使う必要がありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/202
203: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/29(火) 20:23:20.33 ID:TQJw0m2i 仮引数なんだから変数1個で受け止めるのは普通やろ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/203
204: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 21:46:16.95 ID:fRK0B8AG >>202 なら何だったらいいの？x(小文字)とかaとかならいい？ それともベクトル空間の基底が与えられたら任意の元を表すのに一々その一次結合で書かないと気が済まないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/204
205: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 21:47:59.19 ID:CExXJBAc vで http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/205
206: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 22:16:25.18 ID:gfm8pxP0 >>198 個々の数では比較しようがないが、全体なら実数の方が高級である。 実数全体のなす集合は、極限操作で閉じているから。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/206
207: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 22:21:28.47 ID:CExXJBAc >>206 その意味なら整数でも閉じてるんでは？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/207
208: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 08:34:02.33 ID:5T+RajIt >>199-200 例えば、 g : [-1, 1] ∋ x → x^2 ∈ R を定義することを考えます。 この関数は、 g(sin(x)) という形でのみ使用することを考えています。 このときに、 g を g(sin(x)) = (sin(x))^2 と定義しているようなものですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/208
209: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 09:20:44.93 ID:cBIP43FE >>208 df_pのpがその説明のxに当たるものよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/209
210: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 14:45:41.36 ID:J31VdO3g >>209 pはこの話に関係ないと思ってたけど違うんか？ 引数は変数1個で受けるという基本を無視しようとする松坂君の主張が意味不明な話ではなくって http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/210
211: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 16:24:08.33 ID:Owbf1GR5 >>210 彼の違和感の根源は X_pがpの「関数」だってところから来てるんだと思ったからね なぜそれが根源だと思ったかというと >>200 >X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。 と書いているから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/211
212: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:32:51.68 ID:J31VdO3g >>211 あーその発想はなかったわ 確かに2つ目のレス単独で見るとそうなるな 今度は1つ目の線型結合でなんたらとか言ってたのはなんだったんだろうってなるが… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/212
213: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:38:50.64 ID:J31VdO3g X_pみたいなのが単独の記号なのか、1つ変数かなんて柔軟に読まないと f(x_1,...,x_n)なんて出てきただけで松坂君発狂すんじゃね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/213
214: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:39:37.24 ID:J31VdO3g ❌1つの変数か→関数の値か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/214
215: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:20:55.67 ID:5T+RajIt For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. と書いてあるので、 X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/215
216: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:23:35.18 ID:Owbf1GR5 >>208 >>209に書いたのは pがその説明のxにあたり g(x)を定義しようとしているのではなくて f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを 理解すべきだということ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/216
217: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:24:50.66 ID:5T+RajIt From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/217
218: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:26:01.61 ID:Owbf1GR5 >>215 >X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。 X_pはT_p Uの元だからただのベクトルよ pごとに別々のベクトル空間のベクトルを考えることになるので X_pと書いているけれど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/218
219: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:27:38.81 ID:Owbf1GR5 なんならdf_p(v)=v(f)でもいい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/219
220: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 17:29:07.62 ID:J31VdO3g >>215 どう見ても1つの変数じゃん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/220
221: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:30:33.62 ID:Owbf1GR5 >>218 >ただのベクトルよ ただの接ベクトルよ か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/221
222: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:33:32.99 ID:Owbf1GR5 >>216 >f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを 同じ記号f使ったので混乱させたかも知れんスマン φ(x)に対してg(x,φ)を定義しようとしているようなものよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/222
223: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 17:36:16.27 ID:J31VdO3g nとかkとか書いたら整数と解釈するのと同じように、_pをつけた変数は点pに紐づいたベクトル空間を動く変数ですよって明示するために付けてるんだよ ハンガリアン記法みたいなもんだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/223
224: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:46:04.86 ID:5T+RajIt X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。 確かにそう解釈するのが正しそうですね。 >(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 >T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 >なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて (df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^1 * ∂/∂x^1 |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^1 * ∂f(p)/∂x^n と定義するのは不自然ですね。 みなさん、ありがとうございました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/224
225: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:50:19.04 ID:5T+RajIt 訂正します： X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。 確かにそう解釈するのが正しそうですね。 >(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 >T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 >なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて (df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^n * ∂f(p)/∂x^n と定義するのは不自然ですね。 みなさん、ありがとうございました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/225
226: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 18:01:38.28 ID:UzKE/KGY そもそも標準的な基底(∂/∂x^j)と言ってるけどUの座標系は1つ固定して考えているのだろうか ∂/∂x^jという記号の定義を勘違いしてはないだろうか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/226
227: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:29:49.55 ID:5t/NXspK あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。 From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. X_p のが単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。 (df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。 これは明らかにおかしなことです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/227
228: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:30:22.33 ID:5t/NXspK 訂正します： あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。 From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. X_p が単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。 (df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。 これは明らかにおかしなことです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/228
229: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:34:31.43 ID:5t/NXspK あ、 X_p はやっぱり p の関数ではないですね。ただし、点 p での derivation であるという情報はもっていますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/229
230: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:46:35.45 ID:5t/NXspK Tuさんの本ですが、言葉での説明が足らないですね。 例えば、 (df)_p は方向ベクトルを入力として、 f の点 p での方向微分の値を返す関数ですが、このような説明が全くありません。 ただ、定義だけを書いています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/230
231: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 16:21:42.66 ID:5t/NXspK (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かれば、 df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 (df)_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 X f は点 p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 色々な関数が登場しますが、それらが何なのかがはっきりと分かります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/231
232: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 16:29:40.17 ID:bu4D4TmA >For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. この文章読めば普通に分かるだろ For p ∈ U and X(p) ∈ T_p U で、動くのは関数Xなんて文章は英語としておかしいんだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/232
233: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 17:13:22.09 ID:5t/NXspK Tuさんは (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かっていれば自明な df = Σ ∂f/∂x^i dx^i という等式を長々とした見通しの悪い議論で証明しています。 df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数です。 ですので、 dx^i は点 p には依存しない方向ベクトルにのみ依存する関数です。具体的には、方向ベクトルを入力としてその x^i 成分を返すような関数です。 df_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の方向微分を返す関数です。 合成関数の微分法の公式により、 df_p(X_p) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (X_p の x_i 成分) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (dx^i)_p(X_p) が成り立ちます。 よって、 df = Σ ∂f/∂x^i dx^i が成り立ちます。 自明です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/233
234: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 17:38:25.95 ID:bu4D4TmA d(x_i)を座標で書くのに証明しようとしてる定理が必要だろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/234
235: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 17:46:36.92 ID:5t/NXspK >>234 ちょっと何を言っているのか分かりませんが、いいたいことは、 Tuさんは、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということさえ分かっていれば自明なことを色々と無駄に証明しているということです。 そして、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということをはっきりと書いていません。 一体何がしたいんだという感じです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/235
236: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 18:10:18.74 ID:bu4D4TmA >>235 分かっていればの前に書いてあることを証明しろよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/236
237: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 18:27:22.39 ID:bu4D4TmA 彼が何を証明しようとして、どう証明できたと主張しているのか1ミリも分からない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/237
238: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 19:28:30.74 ID:H1SJ8SaT >>237 同感ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/238
239: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 19:32:56.93 ID:5t/NXspK 微分形式について初めて勉強していますが、深い話はなさそうだという印象です。 単なる非常に単純な代数的な話を抽象的でややこしく議論しているという印象です。 行列式の理論に深い話がないのと似ているという印象です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/239
240: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 19:33:59.22 ID:5t/NXspK 訂正します： 微分形式について初めて勉強していますが、深い話はなさそうだという印象です。 非常に単純な代数的な話を抽象的にややこしく議論しているという印象です。 行列式の理論に深い話がないのと似ているという印象です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/240
241: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 21:13:01.61 ID:sBGfMEXB えぇ……あれだけ本読んでやっと初めて微分形式に辿り着いたの？？？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/241
242: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 21:46:12.97 ID:0xl8lSxV >>239 書いてた話読んでみたけど 定義の意味が分かった程度じゃ無いの？ まあそこまでしか行けなければ 別にそれでもいいのでは？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/242
243: １３２人目の素数さん [] 2025/08/01(金) 11:35:09.95 ID:BgSH8qMi テンソル代数ですが、Tuさんの本でのテンソル代数と佐武一郎さんの本でのテンソル代数って同じものなんですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/243
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