大学数学の質問スレ Part1 (655ﾚｽ)
上下前次1-新
41(6): 07/15(火)18:11 ID:6tbhKVp+(2/13) AAS
訂正します：
松本幸夫著『多様体の基礎』
C^r級極大座標近傍系について質問です。
M 上の C^r 級座標近傍系で S に同値なもの全ての和集合 M = M(S) を、 S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系という。
これが定義ですが、これって結局、
省5
42: 07/15(火)18:15 ID:6tbhKVp+(3/13) AAS
松本さんの定義では、M 上の C^r 級座標近傍系の和集合を極大座標近傍系と定義していて少しわかりにくいです。
個々の座標近傍系を付け加えたものという定義のほうがわかりやすいと思います。
43: 07/15(火)18:23 ID:dN5b/1aD(1) AAS
おまえがバカなだけだよ
著者のせいではない
44: 07/15(火)18:38 ID:6tbhKVp+(4/13) AAS
>>41
の V が M(S) の要素かどうかという問いに対しては、 T := S ∪ {V} が S と同値であるから、 V は M(S) の要素であるという答えになります。
ですが、なんか回りくどいですよね。
45: 07/15(火)18:51 ID:6tbhKVp+(5/13) AAS
松本さんはなぜ
>>41
のような妙な定義を採用したのでしょうか？
46: 07/15(火)18:58 ID:6tbhKVp+(6/13) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
ライトノベルなどと言われることがあるそうです。
すぐに証明が思いつくような簡単な命題に非常にくどい証明を書いています。
証明を実際に読んでみるとかえって分かりにくくて、結局、思いついた証明と同じであることを確認しただけということになります。
47(1): 07/15(火)19:23 ID:v73qHnAA(1/4) AAS
>>41
前者と後者で全然違うじゃん
ていうか後者のSどこいった？
48(1): 07/15(火)20:28 ID:6tbhKVp+(7/13) AAS
>>47
演習問題を見てみたら、
>>41
の同値性を証明させる問題がありました。
49: 07/15(火)20:32 ID:6tbhKVp+(8/13) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
S, T, U を M の C^r 級座標近傍系とする。
S と T が同値かつ T と U が同値であるとき、 S と U は同値である。
このことの証明が書いてありません。
S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系が実際に M の C^r 級極大座標近傍系になることを証明するには、上の推移律を使う必要があります。
50: 07/15(火)20:33 ID:6tbhKVp+(9/13) AAS
訂正します：
松本幸夫著『多様体の基礎』
S, T, U を M の C^r 級座標近傍系とする。
S と T が同値かつ T と U が同値であるとき、 S と U は同値である。
このことの証明が書いてありません。
S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系が実際に M の一つの C^r 級座標近傍系になることを証明するには、上の推移律を使う必要があります。
51(1): 07/15(火)20:35 ID:6tbhKVp+(10/13) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
不必要なところでは異常にくどく書くくせに、重要なことは証明しないことがある。
最悪です。
52(1): 07/15(火)21:19 ID:v73qHnAA(2/4) AAS
>>48
2章§6の練習問題にそんなものはない
そもそもSが噛んでないのに同値になるわけない
53(1): 07/15(火)21:29 ID:6tbhKVp+(11/13) AAS
>>52
演習問題6.3です。
54(1): 07/15(火)21:39 ID:v73qHnAA(3/4) AAS
>>53
その問題はちゃんとSを使ってるから無関係
55: 07/15(火)21:46 ID:0qNvtPng(1) AAS
馬鹿アスペの相手ご苦労
56: 07/15(火)21:49 ID:ZVmDyLNq(1) AAS
こいつにこの名著が理解できるハズもない。
57: 07/15(火)22:18 ID:svJwm5Qu(1) AAS
くどくど書いてあるなら飛ばせばいいだけ。
全て都合が良いように本に与えてもらおうとか赤ちゃんかよ
58: 07/15(火)22:20 ID:rAK0Q16D(1) AAS
前は学部レベルだったけど
ここは教養数学レベルスレ？
59(1): 07/15(火)23:15 ID:6tbhKVp+(12/13) AAS
>>54
>>41
と
演習問題6.3
は同じ問題です。
>>41
をよく読んでください。
60: 07/15(火)23:28 ID:v73qHnAA(4/4) AAS
>>59
どう読んでも違う
というかSは一体どこにいったんだよ
61(2): 07/15(火)23:34 ID:6tbhKVp+(13/13) AAS
>>41
S = {(U_α, φ_α)} です。
そして、
V は R^m の開集合 V' と同相。
φ : V → V' をその同相写像とする。
φ_α・φ^{-1} : φ(V ∩ U_α) → φ_α(V ∩ U_α) が C^r 級。
φ・(φ_α)^{-1} : φ_α(V ∩ U_α) → φ(V ∩ U_α) が C^r 級。
省1
62(2): 07/16(水)00:03 ID:narIqqDV(1/2) AAS
>>61
だからSは一体どこに行ったのよ
行方不明だろ
63(1): 07/16(水)05:39 ID:UDjtENh4(1/3) AAS
>>62
SにSのUに対するその4行の中のVとφの組を全部付け加えたものがSを含む極大ではないかという疑問だから行方不明では無いのでは？
んで
なぜそのような書き方をしたのかって
自明だからでは？
64: 07/16(水)05:40 ID:UDjtENh4(2/3) AAS
>>62
SにSのUに対するその4行の中のVとφの組を全部付け加えたものがSを含む極大ではないかという疑問だから行方不明では無いのでは？
んで
>>61
なぜそのような書き方をしたのかって
自明だからでは？
65(1): 07/16(水)05:46 ID:vJ8A76HI(1/7) AAS
Loring W. Tuさんの本を見たら↓の命題が補題として証明されていました。
松本幸夫著『多様体の基礎』
S, T, U を M の C^r 級座標近傍系とする。
S と T が同値かつ T と U が同値であるとき、 S と U は同値である。
このことの証明が書いてありません。
S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系が実際に M の一つの C^r 級座標近傍系になることを証明するには、上の推移律を使う必要があります。
66(2): 07/16(水)06:00 ID:UDjtENh4(3/3) AAS
自明じゃないか
SとTが同値ってS∪TがCr級の座標近傍系であることなんでしょ？
推移律を示すにはS-T-UのVとU-T-SのWで同様のことが言えなくてはね
でもやっぱ自明か
Tが近傍系だからV∩WはTの開集合で覆われてるから
Tの開集合で分けてそこ経由で考えたらいいだけ
67: 07/16(水)08:27 ID:xyPtKy2v(1/2) AAS
>>51,65
最悪はおまえ
低知能に数学は無理
物理もあきらめろ
68: 07/16(水)09:07 ID:vJ8A76HI(2/7) AAS
>>66
確かに自明ではありますが、もっと自明な同様の命題に非常に長くくどい証明をつけています。（命題7.1の証明）
69: 07/16(水)09:14 ID:vJ8A76HI(3/7) AAS
>>66
松本さんは、本文中ではなく、節末に
S と T は同値な M の C^r 座標近傍系 ⇔ S から決まる M の C^r 級極大座標近傍系 = T から決まる M の C^r 級極大座標近傍系
という命題をわざわざ証明しています。
この命題の証明でキーとなるのは推移律ですが、その推移律は証明せずに自明のこととしています。
そして、残りの本当に自明でしかない部分を推移律を使って証明しています。
省1
70: 07/16(水)11:08 ID:vJ8A76HI(4/7) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』をパラパラ見てみました。
『多様体の基礎』と比べて、内容が難しいわけではなく、説明が明晰なだけです。
『多様体の基礎』を読む理由って何かありますか？
71: 07/16(水)11:29 ID:xyPtKy2v(2/2) AAS
自分の誤りを認めず
謝りもせず
礼も言わず
掲示板を荒らすこと20年の馬鹿に
進歩なし
72: 07/16(水)11:37 ID:narIqqDV(2/2) AAS
>>63
いや、定義を下の記述で書き換えるべきってのが彼の主張だよ
こんな∀がどっかに消し飛んでる定義を書くこと自体がおかしい
73: 07/16(水)12:00 ID:vJ8A76HI(5/7) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
p.63 命題7.1の別証明
というのがありますが、既に証明した命題7.1の証明と全く同じです。
こういう無意味なことはやめてほしいです。
74: 07/16(水)12:10 ID:vJ8A76HI(6/7) AAS
松本さんは、 (f・φ^{-1})(x_1, …, x_m) を f(x_1, …, x_m) と書いたほうが分かりやすいなどと書いています。
わざわざ混乱するようなことをやっているとしか思えません。
75: 07/16(水)12:26 ID:cQ5f6qxX(1) AAS
松坂くんの書評もどきは全部このパターン
これに加えて著者への罵詈雑言でレスが完結
【自分ですぐ証明できる部分】
短い文章なら「簡潔で良いですね」
長い文章なら「説明がくどすぎます」
【自分では証明できない部分】
本を読んで理解できれば「良い本だと思います」
省1
76(1): 07/16(水)14:21 ID:vJ8A76HI(7/7) AAS
多様体 M というのは抽象的な位相空間で捕らえ所がありません。
結局最終的には、例えば、 M が R^3 の部分集合である2次元多様体の場合などに応用したいと考えているのでしょうか？
77(1): 07/16(水)19:53 ID:p8E4zOsa(1/2) AAS
>>76
イメージ的には開球を適切（問題意識や程度に従って）貼り合わせたものだよ
逆に開球に分けていけるようなものと考えても良い
78(1): 07/16(水)20:02 ID:p8E4zOsa(2/2) AAS
多様体の中にいるところを想像したら分かると思うけど
まわりがR^nっぽい状況ってことね
ああそうか開球はR^nそのものと見ていいから
R^nを適切に貼り合わせたものと言えばいいのか
79(1): 07/19(土)12:14 ID:CS5dgjr3(1/6) AAS
>>77-78
その説明も捕らえ所がありません。
80(2): 07/19(土)12:18 ID:CS5dgjr3(2/6) AAS
松本幸夫著『多様体の基礎』
M を n 次元の位相多様体とする。
m ≠ n であるとき、 M は m 次元の位相多様体ではない。
これは非常に重要な事実だと思います。
ところが、松本さんの本にはこのことが書かれていません。
証明なしでも書くべきことだと思います。
多様体の定義のところで既に教科書として問題があります。
81: 07/19(土)12:23 ID:CS5dgjr3(3/6) AAS
n ≠ m であるとき、 R^n の開集合 U と R^m の開集合 V は同相ではない。
この基本的な事実を示すことが既に難しいということです。
そして、位相多様体の定義では、この事実が重要です。
多様体論の最初のところで既にこのような困難があります。
82(2): 07/19(土)12:41 ID:CS5dgjr3(4/6) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
この本に以下のような説明があります。（多変数の実関数の場合に。）
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
省8
83: 07/19(土)17:38 ID:YEzC606F(1/3) AAS
>>79
あ
そ
84: 07/19(土)17:41 ID:YEzC606F(2/3) AAS
>>80
各点のまわりにR^nとR^mと両方置いてみたら
両立しないことは自明に思えるはず
自明でも証明はあっていいけれど
どっちかっていうと不毛な作業
85(1): 07/19(土)17:43 ID:3WbaItSK(1/3) AAS
これ証明して
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
86(1): 07/19(土)18:05 ID:YEzC606F(3/3) AAS
>>82
C^∞とC^ωの違いは？
87: 07/19(土)19:29 ID:3WbaItSK(2/3) AAS
>>80
そもそもこの本は位相多様体の教科書ではない
88(2): 07/19(土)21:05 ID:CS5dgjr3(5/6) AAS
>>85
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
は収束円内でいくらでも微分可能です。よって、 f は点 a の近傍である収束円の内部で C^∞ です。
89: 07/19(土)21:13 ID:CS5dgjr3(6/6) AAS
>>86
それは有名な反例がありますよね。
x = 0 でいくらでも微分可能で、その任意階数の微分係数の値がすべて 0 であるけれども 0 の任意の近傍で恒等的には 0 にならないような関数が存在します。
この関数が x = 0 の近傍でテイラー展開可能であれば、その近傍で恒等的に 0 でなければなりません。
90(2): 07/19(土)21:18 ID:3WbaItSK(3/3) AAS
>>88
これを証明してよ
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
91: 07/20(日)00:45 ID:POdAWOhH(1/3) AAS
この馬鹿こんな簡単な文章も理解できんのか。
92(1): 07/20(日)01:27 ID:QfhTigbA(1/3) AAS
>>90
自明ですよね。
f は点 a で任意階の微分係数をもつとする。
k を任意の自然数とする。
f は点 a で k + 1 階の微分係数をもつので、点 a の近傍で f の第 k 階の導関数が存在する。
したがって、 f は C^∞ である。
93(2): 07/20(日)01:29 ID:QfhTigbA(2/3) AAS
>>90
自明ですよね。
f は点 a で任意階の微分係数をもつとする。
k を任意の自然数とする。
f は点 a で k + 1 階の微分係数をもつので、点 a の近傍で f の第 k 階の導関数が存在する。
したがって、 f は点 a の近傍で C^∞ である。
94: 07/20(日)02:45 ID:ryVuvhht(1) AAS
>>82
ある点で微分可能と近傍で微分可能の違いすら分からないのかよwww
馬鹿すぎるだろwwww
95: 07/20(日)02:47 ID:Q/QxpLXs(1) AAS
>>92
思い込みと証明の区別がついてないwww
96: 07/20(日)03:59 ID:MKMFqF1/(1) AAS
>>93
それらの近傍はkに依存するかもしれない
97(1): 07/20(日)07:06 ID:POdAWOhH(2/3) AAS
収束べき級数は収束円内において項別微分可能であるから、実解析的関数は必然的に C^∞ である。
f がある点で実解析的
→収束円内のすべての点で何回でも項別微分可能
→収束円内のすべての点で C^∞
なんでこんなことわからないのかがわからん
「俺以外の人間はバカだから当たり前のことをしかも変な文章で書いていい気になってる」
とでも考えてるんやろな。
98: 07/20(日)07:13 ID:n3B3EMBb(1) AAS
>>93
その最後のaの近傍はいくつ？
99(1): 07/20(日)11:35 ID:QfhTigbA(3/3) AAS
>>97
それは
>>88
に書いたことです。
100(1): 07/20(日)19:14 ID:cOZ+oUY1(1) AAS
たまにネット見てる引退済みの老人ですよ。
関数fが一点で無限回微分可能でも、近傍でC^{\infty}にはならない例はあったと思う。
易しくはないかな。大昔、大きな大学でも数学の修士院生を数名しか取れなかった時代、
強烈な倍率のあった院試で、例をあげて院試で聞いたことがあった。
関数fが解析的なら、収束半径>0なことを暗黙の内に仮定してて、それなら近傍まで
滑らか(解析的)と考えるくらいでいいかな。
子供の頃から、五月蠅く細かい話を言わない現在となっては、
省3
101: 07/20(日)19:19 ID:22mJ/gC/(1) AAS
年寄りの冷や水
102: 07/20(日)19:24 ID:N157az0Y(1/2) AAS
「オワコン」とは、「終わったコンテンツ」の略で、流行が過ぎ去り、多くの人の興味を引かなくなったコンテンツを指します。主にアニメや漫画、ゲームなどのサブカルチャーに使われますが、ファッションや音楽など、さまざまなジャンルにも適用されることがあります。ネガティブな意味合いを持つこの言葉は、特に人気があったものが飽きられた際に使われることが多いです。
103: 07/20(日)19:26 ID:N157az0Y(2/2) AAS
ヒパチアが殺されてからルネサンスまで
西洋では数学はオワコンだった
104(4): 07/20(日)20:42 ID:n17RkDCH(1) AAS
そんなに難しいか？
|x-1/k|^kを適度な係数で足し合わせればいいんじゃないの？
105: 07/20(日)20:46 ID:POdAWOhH(3/3) AAS
>>99
まだわからんのか能なし。もう消えろゴミ
106: 07/20(日)22:11 ID:01A+kgWh(1) AAS
死ぬほど難しくはないけど、院試の面接で出したら鬼だな
107(2): 07/21(月)05:57 ID:Y5n8TluJ(1) AAS
>>100
exp(-1/x^2) (x not in Q)
0 (x in Q)
とかでよいのでは？
108(4): 07/21(月)07:20 ID:FNiifGED(1/15) AAS
それだと全ての点でC^∞
話題に上がってるのは x=0 で無限回微分可能だけど x=0 が { a | f は x=a で無限回微分可能ではない } の閉包に入る例。>>104 で行ける
109: 07/21(月)07:32 ID:l1OzVRQ7(1/3) AAS
>>108
>それだと全ての点でC^∞
x≠0で不連続よ
110: 07/21(月)07:57 ID:FNiifGED(2/15) AAS
じゃあ全然だめ
111: 07/21(月)09:07 ID:zKS37biS(1/7) AAS
原点で無限回微分できるだろ
112(2): 07/21(月)09:09 ID:zKS37biS(2/7) AAS
>>108
微分可能は原点のみで、原点では無限回微分可能で満たしてるだろ
113: 07/21(月)09:11 ID:FNiifGED(3/15) AAS
だから話の流れで求められてるものじゃない
>>108で書いてるやつがもとめられててすでに答えが>>104ででてる。
なのに求められてる条件満たさない例あげてなにがしたいん？
114(2): 07/21(月)09:12 ID:FNiifGED(4/15) AAS
>>112
exp(-1/x^2) は原点以外のとこでは明らかに無限回微分できるやろ？
115(2): 07/21(月)09:45 ID:zKS37biS(3/7) AAS
>>114
で？
もしかして107読めないのかよ
116(1): 07/21(月)09:47 ID:FNiifGED(5/15) AAS
>>115
だから>>107の例は原点以外全部無限回微分できるやん？どっか無限回微分できないとこあるん？
117: 07/21(月)09:47 ID:zKS37biS(4/7) AAS
>>115
適当な係数で足し合わせ面倒だから微積の初歩みたいな関数の例上げただけなのに意味すら通じないとはwwww
118: 07/21(月)09:48 ID:zKS37biS(5/7) AAS
>>116
原点以外不連続なのに微分できるのかよ
119(1): 07/21(月)09:48 ID:FNiifGED(6/15) AAS
exp(x)はすべてのxで無限回微分できるよな？
-1/x^2は原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
じゃあ合成しても原点以外のすべての点で無限回微分できるよな？
120(1): 07/21(月)09:49 ID:FNiifGED(7/15) AAS
ああ、Qか、すまん。
121: 07/21(月)09:49 ID:zKS37biS(6/7) AAS
>>119
107読めないのかよwww
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