[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/

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442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 23:28:55.87 ID:y2zepp9J >>436 >「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」 >「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」 >前者と後者は雰囲気は似ていても、異なる命題だね。 なるほど 後者をも考えていた >>435 >𝑓(𝑥) と 𝑔(𝑥) は連続関数なので、有理数点 𝑞𝑛 で 𝑓(𝑞𝑛)=𝑔(𝑞

;𝑛) ならば、 >極限を取ることで >lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑞𝑛)=lim⁡ 𝑛→∞ 𝑔(𝑞𝑛). >しかし、連続性より、右辺はそれぞれ うむ そこは、下記 stackexchange に落ちていたが 𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)と 差を作るのが 常用の手スジで エレガントだね （Copilotも たまには 正しいみたい ；ｐ） なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では 一様収束は 不要 「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)

をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要 ってことね (参考) https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed] Asked 12 years ago asked May 3, 2013 Timothy Chang answered May 3, 2013 Gyu Eun Lee Suppose I have two continuous functions f,g:R→R that agree at every rational number. You want to conclude that f(

x)=g(x) for every real number x. Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0 for every real number x. f−g is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0 for every rational number q. Let x be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x. On this sequence f−g is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0. Since x was arbitrary f−g is identic

ally zero on R. So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/442

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