ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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894: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 10:16:37.33 ID:1caOziMJ

>>891-893

ふっふ、ほっほ
面白いね　面白いよ、君(>>891)の詭弁は(ワンパターンだが ｗ　；ｐ)

ID:XG7xdh9Lは、御大か
巡回ありがとうございます

さて、下記を追加しておく
アルティン ガロア理論入門の最後が、
作図問題への応用で締めくくられている

”例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること”
”2^2^k+1の形の数”、”素数3,5,17,257,65537”
が、ガロア理論の 単なる一つの系として わずか １ページ半で 終わる
ガウスが DAで 数百ページを費やした ほぼ頂点の定理が、ラグランジュ分解式を使わずにね　；ｐ）

ついでに、角の三等分と デロス島の問題（立方体の倍の量の作図）も 扱っている
アルティンは、ガロア理論の威力を示す好例だと思ったのだろう・・

(参考)
”ガロア理論入門 (1974年) 東京図書(株)　（いまだと ちくま学芸文庫にあるらしい）
アルティン (著), 寺田 文行 (翻訳)”
より

P108
ところが一方，作図とは関係なしに，その幾何学の問題自身から，作図し
たい量ξ1,ξ2,...,ξtの性質をよみとることはできる．そして2つの体Eと
Fの代数的な性貿を調べた結果，もし, (F/K)とか(E/K)が2のベキで
なかったならば，上に述べたことから，コンパスと定規による作図は不可能
となるのである．
定理47．作図問題において，a1,a2,…,arを与えられた量，ξ1,ξ2,...,ξt
を定めたい量とし, K = Q(a1,a2,…,ar)とする，このときξiがす
べてK上代数的で，ξ1,ξ2,...,ξtを含むK の最小の正規拡大体が2
のベキ次の拡大体であることが，この作翻問題がコンパスと定規で解け
るための必要十分な条件である．
証明
この条件が必要であることはすでに述べた。そこで(E/K)を2のベキである
以下略す

P109 （これが最後のページの一つ前）
例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること
Ptとしては2^2^k+1の形の数だけが問題になる．k＝0,1,2,3,4とすると
素数3,5,17,257,65537が得られるk=5のときばこの数は641で割り
きれる．現在のところ2^2^k+1の形の素数はこれ以上はみつかっていない．
とにかく以上から，正多角形がコンパスと定規で作図できるのは，nが
2^2^k+1の形の素数piを用いてn= 2^ν p1p2 ･･･prの形をしているときであ
る．正17角形の実際の作図は，なにがしかの書物でみることができる．

例2．角の三等分
略す

例3．デロス島の問題
アポロの神は，それまでの立方体状の祭壇
を，立方体状のままで倍の量にせよと要求された．
そこにある立方体の一辺
の長さを1としてξ＝2^(1/3)を作図しなければならない．これはK= Q,
F= Q(2^(1/3))の場合である．ところがx^3−2はQで既約であるから
(F/K)=3であり，そのような作図は不可能である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/894

895: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 10:38:53.32 ID:1caOziMJ

>>891 追加

ふっふ、ほっほ
面白いね　面白いよ、君の詭弁は（ワンパターン ；ｐ）

>なぜ、クンマー体に１の原始ｒ乗根を入れるんだい？
>＞アルティン ガロア理論入門 (1974年) を持っているなら 話は早い
>＞ラグランジュ分解式の記述を 探してくれたまえ！！
>群指標のところに書いてある線型連立方程式の式あるじゃん
>あれ、何だと思ってんの？　マジで

？？？
あれれれ・・・？？？
線型連立方程式から、”１の原始ｒ乗根”が出るかね？
初耳なんですが・・ｗ　；ｐ）

さすが、数学科１年で詰んだ・・ というか
「線型連立方程式から、”１の原始ｒ乗根”が出る」と勘違いしているならば
数学科１年の”１日目”で 詰んだのだろうねｗｗ　；ｐ）

なお ”クンマー体に１の原始ｒ乗根”については、下記 クンマー理論 ja.wikipediaを
百回音読して ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論
抽象代数学や数論で、クンマー理論(Kummer theory)は、基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、あるタイプの体の拡大を記述する理論である。クンマー理論は、元々は、1840年代にフェルマーの最終定理をエルンスト・クンマーが開拓しようとして発見した理論である。

クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。

クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる（つまり、より小さな体へと「降下」する）ことである。それはクンマー理論と比べて非常に難しい。

クンマー拡大
クンマー拡大(Kummer extension)とは、ある与えられた整数 n > 1 に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、X^(n−1) の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。
以下略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/895

925: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 16:43:19.51 ID:1caOziMJ

>>888 補足
>（google検索：クンマー体 より）
>§13. クンマー拡大
>学習院大学 数学科
>https://pc1.math.gakushuin.ac.jp › html-files › Alg2

上記の 学習院大学 数学科 §13. クンマー拡大 の由来を調べると
下記の中野伸先生（学習院大学・理学部・数学科）ですね

なお
”§13. クンマー拡大”を含む ”講義ノート 代数? 2024年度版（全体）”pdf があります

(参考)
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/index.html
中野伸（学習院大学・理学部・数学科）
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/lecture.html
担当科目 より
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2024/2024book.pdf
2024年度
代数II
講義ノート
代数? 2024年度版（全体）

<因みに 冒頭のgoogle検索は、下記の 2022年度 の分でしたね>
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/lecture2022.html
2022年度
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2022/2022book.pdf
代数? 2022年度版（全体）中野伸（学習院大学・理学部・数学科）
目次
前略
§10.ガロア拡大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§11.ガロア対応. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§12.ガロア対応の例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§13.クンマー拡大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§14.可解性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§15.補遺. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

追加
https://researchmap.jp/shinbaka4141
中野 伸
ナカノ シン  (Shin Nakano)
基本情報
所属学習院大学 理学部 数学科 教授
学位
理学博士(学習院大学)
Doctor of Science(Gakushuin University)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/925

928: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 17:23:25.61 ID:1caOziMJ

>>920
>>>919　生身の人間のほうがＡＩよりもおかしなことをいう　まあＡＩは病気にはならないか

死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん、ありがとうございます。
スレ主です。

そこね 典型例は （>>495 より）
"自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"

これって、完全に
落ちコボレの
ハルシネーションでしたね（下記）ｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.nri-secure.co.jp/glossary/hallucination
NRIセキュア
セキュリティ用語解説
ハルシネーション
ハルシネーションとは、AI(人工知能)が誤認や論理の矛盾を含む事象や事実とは異なる情報を作り出してしまう現象のことです。精密かつ信ぴょう性のある情報の中に誤った情報が混ざるため、ハルシネーションによる誤った情報をうのみにしてしまうケースもあります。

誤った情報が入力される場合にのみ、不正確な出力が生じると誤解されることもありますが、実際はさまざまな要因からハルシネーションは発生します。AIでは、次に出現する可能性が高い単語を予測することで文章を生成しており、正確性より文脈が重視されるため、自然な回答を目指して情報が生成されることによって、ハルシネーションが引き起こされます。他にも、学習に使用されるデータが古い場合にも、同様の出力が生じることがあります。また、AIでは理解できない質問に対しては、推測から情報を強引に生成され、ハルシネーションが引き起こされることがあります。

ハルシネーションへの対策には、まずは「ハルシネーション」という現象を十分に理解することに加え、利用者がAIからの回答を注意深く調査し、情報の正確さと信ぴょう性を確かめることが必要となります。また、組織的にAIの利用を促進する場合にも注意が必要です。正しくAIを利用してもらうためには、正しい利用方法の積極的な周知だけではなく、注意点や責任範囲などを詳細に定義し、ガイドラインを策定することが効果的です。

さらに、ハルシネーションの発生を抑えるために有効的なアプローチを紹介します。
一つ目は、「精密な学習データの入力」です。より詳細な情報を追加することや、様々なとらえ方を生む曖昧な情報の削除によって、ハルシネーションの発生を抑えることが可能です。
二つ目は、「複数のAIの利用」です。ChatGPTやGoogle Geminiなど複数のAIを利用し、同じ学習データから出力される情報を比較することで、ハルシネーションの発生が確認できます。
三つ目は、「AIの検索機能の利用」です。Bing AIなどの検索機能を持つAIでは、関連した情報をリアルタイムで検索して回答を生成します。検索から引用された情報に誤りを含むケースもあり、利用には注意が必要となりますが、複数の最新の情報から回答が生成されるため、比較的ハルシネーションを抑制できます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/928

938: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 23:57:08.54 ID:mVXlvt9d

>>933
>（引用始）
>Theorem H (Galois).
>A polynomial f ∈ Q[x] is solvable by radicals if and only if its Galois group over Q is soluble.
>The proof, which we omit,…
>（引用終）

おお、君は だいぶ 数学イップスから 回復して
数学文献の ”大人読み”＝まずは どこが重要かを考えながら読むべし！
が出来るようになったね

えーと、もう少し引用すると P92より
(15.3). Recalling the definition of soluble group given in Section 10:
Theorem H (Galois). A polynomial f ∈ Q[x] is solvable by radicals if and only if its Galois group over Q is soluble.
The proof, which we omit, uses the full power of the Galois correspondence, with the sequence of extensions in a radical extension corresponding to the sequence of subgroups
{1} = H0 ⊳H1 ⊳···⊳Hn−1 ⊳Hn =G,
in a soluble group.
(15.4). As a small reality check of Theorem H, we saw in Section 11 that the Galois group over Qof a quadratic polynomial is either the trivial group {id} or the (Abelian) permutation group {id, (α, β)} where α,β ∈ C are the roots. Abelian groups are soluble– see (10.8)– and this syncs with quadratics being solvable by radicals via the quadratic formula.
Similarly, the possible Galois groups of cubic polynomials are shown in Figure 11.3. Apart from S3, these are also Abelian. But S3 is the symmetry group of an equilateral triangle lying in the plane– soluble by (10.9).
(15.5). Somewhat out of chronological order, we have:
Theorem 15.1 (Abels-Fubini). The polynomial f = x5 − 4x + 2 is not solvable by radicals. The roots of x5−4x+2 are algebraic numbers, yet there is no algebraic expression for them.
Proof. We show that the Galois group of f over Q is insoluble. Indeed, we show that the Galois
略
(引用終り)

フルの証明は略しているが、証明の概要は語っているよね
それから、この(15.3)節のTheorem H (Galois)に来るまでに、”solvable by radicals”についての説明はあったぞ
特に、3次と5次については、図解までして詳しくね
だから、君の論難は当たらないと思うよ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/938

972: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/28(水) 08:17:23.55 ID:bsICkNCM

>>939
ID:CTASdXCp は、御大か
巡回ありがとうございます

２と３と５と７の平方根が 有理数体上線形独立であることを 初めて示したのは誰？
　↓英訳
Who first showed that the square roots of 2, 3, 5, and 7 are linearly independent over the field of rational numbers?

Copilotさんに喰わせると
その答え：
The linear independence of square roots of distinct square-free integers over ℚ has been studied extensively in number theory and algebra. One of the earliest rigorous treatments of this topic can be traced back to A.S. Besicovitch (1940), who explored the linear independence of fractional powers of integers. Later, L.J. Mordell (1953) also contributed to the study of the linear independence of algebraic numbers.
The general result states that if n₁, n₂, ..., nₖ are distinct square-free integers, then {√n₁, √n₂, ..., √nₖ} is linearly independent over ℚ. This follows from deeper results in Kummer theory and the Galois theory of radical extensions.
Would you like to explore the proof in more detail? It involves some fascinating applications of field extensions and trace arguments.
でした
果たして、合っているかどうか？　（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/972

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