ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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851: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 16:39:56.56 ID:Ca1KD/GB

>>807 戻る
>ガロア原論文にはラグランジュ分解式が複数回表れているが、セタさんは
>れがどれかさえ分からないレベル。
>原論文そのものではなく、それを解説した歴史的な「お話」の部分だけを読み
>うんうんなるほど」と頷いて、分かった気になってるだけ。

話は真逆だよ
・フェリクス クライン「正20面体と5次方程式」関口 次郎訳(下記)がある
・それに関連して 関口次郎氏の2009年の2回の発表原稿が下記にある
・当然だが、ラグランジュ分解式は ここには 全く出てこない！
・クラインは、ガロア理論をもとに 可解を越えて 代数方程式の解法を
　考察したのだから！！ｗ　；ｐ）

＜アマゾン＞
正20面体と5次方程式 (シュプリンガー数学クラシックス) 単行本 – 1997/4/1
フェリクス クライン (著), Felix Klein (原名), 関口 次郎 (翻訳)
シュプリンガー・フェアラーク東京

https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
第51回 正20面体にまつわる数学--その 2 -- 2009年10月2日
https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi1.pdf
正20面体群からの旅たち1 東京農工大学関口次郎
この講演の内容は2003年の「数学史研究会」（津田塾大学）と数学セミナー2009年4月号の記事がもとになっている．
1 序文
クラインのアイデアの根幹をなしているのは正多面体方程式である．その中でも最も注目したのが正20面体方程式である．

3. グールサの研究
ここで，グールサの学位論文[12]
に言及しておく．グールサの学位論文では次の問題を研究している．
略す
グールサの学位論文についてはマッカイに教えていただいた．

4.フックスの問題
シュワルツが解いた問題ガウスの超幾何微分方程式がいつ代数関数解をもつかは大変な反響を呼んだようである．この問題は，超幾何方程式に付随する新しい超越関数のクラス，つまり保型関数の発見につながった．一方では，どのようなときに線型微分方程式のすべての解が代数的になるか，という問題が年代に大問題となった．
このような一般的な問題に初めて取り組んだフックスに因んでフックスの問題と呼ばれたようである．

5.1 クライン

P14
フルヴィッツの論文にはもうつの場合も扱っており，微分方程式が出てくる．それもで表されるのだが，何から導かれてくるものなのか解読できない．これについては後(第2回)で推理を述べる．

藤原松三郎著：「代数学」第二巻，内田老鶴圃刊のページをみると，ジョルダンはもう一つの三元一次変換群として実現できる有限単純群を見落としていた，とある．それは位数のヴァレンティナー群である．

https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi2.pdf
正20面体群からの旅たち2 東京農工大学関口次郎

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/851

856: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 18:03:45.30 ID:Ca1KD/GB

>>851 追加
5次方程式から、6次、7次へ(下記)
全部、ガロア理論が元になっている

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function
Quintic function (5次方程式)
　↓

https://en.wikipedia.org/wiki/Sextic_equation
Sextic function (6次方程式)
Solvable sextics
Some seventh degree equations can be solved by factorizing into radicals, but other septics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
Some sixth degree equations, such as ax6 + dx3 + g = 0, can be solved by factorizing into radicals, but other sextics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
It follows from Galois theory that a sextic equation is solvable in terms of radicals if and only if its Galois group is contained either in the group of order 48 which stabilizes a partition of the set of the roots into three subsets of two roots or in the group of order 72 which stabilizes a partition of the set of the roots into two subsets of three roots.
There are formulas to test either case, and, if the equation is solvable, compute the roots in term of radicals.[1]
References
1. R. Hagedorn, General formulas for solving solvable sextic equations, J. Algebra 233 (2000), 704-757
　↓
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/856

857: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 18:04:03.83 ID:Ca1KD/GB

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Septic_equation
Septic function (7次方程式)
Solvable septics
Some seventh degree equations can be solved by factorizing into radicals, but other septics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
Septics are the lowest order equations for which it is not obvious that their solutions may be obtained by composing continuous functions of two variables. Hilbert's 13th problem was the conjecture this was not possible in the general case for seventh-degree equations. Vladimir Arnold solved this in 1957, demonstrating that this was always possible.[2] However, Arnold himself considered the genuine Hilbert problem to be whether for septics their solutions may be obtained by superimposing algebraic functions of two variables.[3] As of 2023, the problem is still open.
　↓

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_thirteenth_problem
Hilbert's thirteenth problem
google訳
ヒルベルトの第13問題は、1900年にダヴィド・ヒルベルトが編纂した有名なリストに記載されている23のヒルベルト問題のうちの1つである。この問題は、2変数の代数関数（変形：連続）を用いて、すべての7次方程式に解が存在するかどうかを証明することである。この問題は、ノモグラフィー、特に「ノモグラフィック構成」、すなわち2変数の関数を用いて多変数関数を構成する過程の文脈で初めて提示された。連続関数の変形は、1957年にウラジーミル・アーノルドがコルモゴロフ・アーノルドの表現定理を証明した際に肯定的に解決されたが、代数関数の変形は未解決のままである
導入
ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウス（1683年）、エルランド・サミュエル・ブリング（1786年）、ジョージ・ジェラード（1834年）によって開拓された方法を用いて、1836年にすべての7次方程式が根号によって次の形に簡約できることを示した。
×7+a×3+b×2+c×+1＝0
この方程式に関して、ヒルベルトは、その解xを 3 つの変数a、b、c の関数として考えたとき、有限個の 2 変数関数の 合成として表現できるかどうかを問いました
歴史
アーノルドは後に志村五郎と共同で、この問題の代数バージョンに戻りました(Arnold and Shimura 1976)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/857

858: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 18:08:13.21 ID:Ca1KD/GB

>>851 追加
5次方程式から、6次、7次へ(下記)
全部、ガロア理論が元になっている

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function
Quintic function (5次方程式)
　↓

>>855
>ガロア原論文の話をしていて、そこにはラグランジュ分解式が何度もあらわれているのに
>なんでクラインの本がラグランジュ分解式を知らなくていい理由になるんだい？
>言い訳が酷すぎるね。

到達点および視点が、低すぎる
ガロア理論は、ラグランジュ分解式を包含し、それをはるかに超えた広がりを持つ
”ラグランジュ分解式＝ガロア理論”ではない

ガロア理論の中で、ラグランジュ分解式を使うことと
”ガロア理論は、ラグランジュ分解式を包含し、それをはるかに超えた広がりを持つ”こと
とは、矛盾しない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/858

872: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 21:06:48.13 ID:PcNaprFC

>>841
>今、国会図書館デジタルコレクションで、
>倉田令二朗「ガロアを読む : 第1論文研究」
>を読んだけど、やっぱラグランジュの分解式
>がっつり使ってんじゃん（笑）

あのさ 国会図書館デジタルコレクションで 下記の共立
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)”
読めるか？
読めるなら、原論文読んでみて

（アマゾン）
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) – 1975/4/20
N.H.ABEL (著), E.GALOIS (著), 守屋 美賀雄 訳・解説・ 正田 建次郎 監修・ 吉田 洋一 監修‎ 共立出版
(引用終り)

でな
ラグランジュの分解式 が、補助方程式の一つであることは、否定していない
繰り返すが、”補助方程式の一つであることは、否定していない”

そして、下記 三次方程式にしろ 四次方程式にしろ ラグランジュの分解式を使わない解法が いろいろ考えられている
ガロア理論は、このような 個々の補助方程式を使う解法からの 天才的な発想の飛躍と転換があるのです！　（＾＾

つまり、個別具体的な 種々の補助方程式の探求ではなく
抽象的に 方程式の根による体の拡大と、方程式のガロア群との関係と捉える視点
これこそが、ガロアの発想の飛躍なのです

それに対して、ラグランジュの分解式などいう
些末な補助方程式論を
ガロア理論に 縛り付けてはいけないのです！ｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式

代数的解法
カルダノの方法

ビエトの解

ラグランジュの方法（これがラグランジュの分解式法）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
四次方程式

フェラーリの解法

デカルトの方法

オイラーの方法

ラグランジュの方法
ラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/872

888: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 08:15:09.78 ID:mVXlvt9d

>>877
(引用開始)
あのさ、君、群指標って知ってる？
知らない、とはいわせないよ。
アルティンの本に定義が出てるんだから（笑）
で、可解性を示すのに必要なクンマー体のとこで
指標バンバンつかってんだけど理解してる？
例えば
「Gが階数ｒの可換群のとき、指標のとる値は１のｒ乗根」
とか書いてあるけど、その意味わかってる？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
面白いね
面白いよ、君の詭弁はｗ ；ｐ）

アルティン ガロア理論入門 (1974年) を持っているんだ
多分ちくま でないやつをｗ

学生時代に買った？
”群指標”の該当箇所を 引用すると下記だ

”群指標”って、普通のガロア本だと 拡大体と 基礎体との関係についての群を導入するときに
ベクトル空間の理論を使っているだけでしょ？ （＾＾
なお、下記の［概要］の部分は、寺田文行先生が 読者のために 付記してくれている部分だよ

上記『クンマー体のとこで・・ １のｒ乗根 とか書いてあるけど』
ってさ 笑えるｗ

クンマー体の定義知ってる？ｗ
下記 検索で 学習院大学 数学科 のPDFがあるよ　百回音読してねｗｗ
１のｒ乗根は、クンマー体の定義に使われているよ（当然だが）

アルティン ガロア理論入門 (1974年) を持っているなら 話は早い
ラグランジュ分解式の記述を 探してくれたまえ！！　ｗ ；ｐ）

(参考)
”ガロア理論入門 (1974年) 東京図書(株)　（いまだと ちくま学芸文庫にあるらしい）
アルティン (著), 寺田 文行 (翻訳)”
より
P37
6．群指標
［概要］ベクトル空間の理論を用いて定理13を導き，これを以下の理論の埜礎に
するのがアルテインのガロア理論の特色である．定理13とは：
“体Eから体E'の中への相異なるn個の同型写像σ1，σ2,…,σnがあり,E
の部分体Kの要素aに対してはつねにσ1(a) = σ2(a)＝…= σn(a)である
とき，不等式(E/K)≧nがなりたつ”
ということである．この節ではこの定理13を証明し，次にとくに体Eの部分
体をKとするとき,Kのすべての要素を不変にするEの自己同型写像の全体
が群になることを示す．

Gを乗法群,Kを体とする.GからKの中への写像σが,Gの任意
の要素α,βに対して，
σ(αβ）＝σ(α)σ(β）
を満たすとする．ここで
以下略

P39
定理13．体Eから体E'の中への異なる同型写像σ1，σ2,…,σnの不
変体をKとすると(E/K)≧nである。
証明　(E/K)＜nとすると矛盾が導かれることを示そう．ベクトル空間としてのEのKの1組の生成系を
以下略

（google検索：クンマー体 より）
§13. クンマー拡大
学習院大学 数学科
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp › html-files › Alg2
PDF
クンマー拡大. 以下において扱う体はすべて C の部分体とする． また，自然数 n に対して， ζn ∈ C を 1 の原始 n 乗根とする． すなわち，ζn ∈ C. × であって，その位 ...
4 ページ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/888

894: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 10:16:37.33 ID:1caOziMJ

>>891-893

ふっふ、ほっほ
面白いね　面白いよ、君(>>891)の詭弁は(ワンパターンだが ｗ　；ｐ)

ID:XG7xdh9Lは、御大か
巡回ありがとうございます

さて、下記を追加しておく
アルティン ガロア理論入門の最後が、
作図問題への応用で締めくくられている

”例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること”
”2^2^k+1の形の数”、”素数3,5,17,257,65537”
が、ガロア理論の 単なる一つの系として わずか １ページ半で 終わる
ガウスが DAで 数百ページを費やした ほぼ頂点の定理が、ラグランジュ分解式を使わずにね　；ｐ）

ついでに、角の三等分と デロス島の問題（立方体の倍の量の作図）も 扱っている
アルティンは、ガロア理論の威力を示す好例だと思ったのだろう・・

(参考)
”ガロア理論入門 (1974年) 東京図書(株)　（いまだと ちくま学芸文庫にあるらしい）
アルティン (著), 寺田 文行 (翻訳)”
より

P108
ところが一方，作図とは関係なしに，その幾何学の問題自身から，作図し
たい量ξ1,ξ2,...,ξtの性質をよみとることはできる．そして2つの体Eと
Fの代数的な性貿を調べた結果，もし, (F/K)とか(E/K)が2のベキで
なかったならば，上に述べたことから，コンパスと定規による作図は不可能
となるのである．
定理47．作図問題において，a1,a2,…,arを与えられた量，ξ1,ξ2,...,ξt
を定めたい量とし, K = Q(a1,a2,…,ar)とする，このときξiがす
べてK上代数的で，ξ1,ξ2,...,ξtを含むK の最小の正規拡大体が2
のベキ次の拡大体であることが，この作翻問題がコンパスと定規で解け
るための必要十分な条件である．
証明
この条件が必要であることはすでに述べた。そこで(E/K)を2のベキである
以下略す

P109 （これが最後のページの一つ前）
例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること
Ptとしては2^2^k+1の形の数だけが問題になる．k＝0,1,2,3,4とすると
素数3,5,17,257,65537が得られるk=5のときばこの数は641で割り
きれる．現在のところ2^2^k+1の形の素数はこれ以上はみつかっていない．
とにかく以上から，正多角形がコンパスと定規で作図できるのは，nが
2^2^k+1の形の素数piを用いてn= 2^ν p1p2 ･･･prの形をしているときであ
る．正17角形の実際の作図は，なにがしかの書物でみることができる．

例2．角の三等分
略す

例3．デロス島の問題
アポロの神は，それまでの立方体状の祭壇
を，立方体状のままで倍の量にせよと要求された．
そこにある立方体の一辺
の長さを1としてξ＝2^(1/3)を作図しなければならない．これはK= Q,
F= Q(2^(1/3))の場合である．ところがx^3−2はQで既約であるから
(F/K)=3であり，そのような作図は不可能である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/894

895: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 10:38:53.32 ID:1caOziMJ

>>891 追加

ふっふ、ほっほ
面白いね　面白いよ、君の詭弁は（ワンパターン ；ｐ）

>なぜ、クンマー体に１の原始ｒ乗根を入れるんだい？
>＞アルティン ガロア理論入門 (1974年) を持っているなら 話は早い
>＞ラグランジュ分解式の記述を 探してくれたまえ！！
>群指標のところに書いてある線型連立方程式の式あるじゃん
>あれ、何だと思ってんの？　マジで

？？？
あれれれ・・・？？？
線型連立方程式から、”１の原始ｒ乗根”が出るかね？
初耳なんですが・・ｗ　；ｐ）

さすが、数学科１年で詰んだ・・ というか
「線型連立方程式から、”１の原始ｒ乗根”が出る」と勘違いしているならば
数学科１年の”１日目”で 詰んだのだろうねｗｗ　；ｐ）

なお ”クンマー体に１の原始ｒ乗根”については、下記 クンマー理論 ja.wikipediaを
百回音読して ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論
抽象代数学や数論で、クンマー理論(Kummer theory)は、基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、あるタイプの体の拡大を記述する理論である。クンマー理論は、元々は、1840年代にフェルマーの最終定理をエルンスト・クンマーが開拓しようとして発見した理論である。

クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。

クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる（つまり、より小さな体へと「降下」する）ことである。それはクンマー理論と比べて非常に難しい。

クンマー拡大
クンマー拡大(Kummer extension)とは、ある与えられた整数 n > 1 に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、X^(n−1) の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。
以下略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/895

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