ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

788: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/25(日) 17:36:26.03 ID:Pt4i9H9G

>>785
>層の勉強、進んでる？
>層のコホモロジー、分かった？

当然進んでいるよ
層、コホモロジーは、21世紀 2025年現在では
数学だけの理論にあらずだ

物理屋だって（下記）
使うよｗ ；ｐ）

おれが、工学屋で高等数学をやる意味はこれ
つまり、大学の学部で習った数学だけでは ダメ時がやってくるんだ（めしくえない！）

それを、予見して 高等数学を やってきた
それが、時代の進歩というやつよｗ ；ｐ）

予想通りの展開だった
なので、数学で困ったことは、全く無かったよ （＾＾

(参考)
https://www.youtube.com/playlist?list=PLULs_xht0MfW_eD0vvfelL3Z8s8B5z-K8
物理で使う数学チャンネル
https://youtu.be/2ZWPS3nPkt0?list=PLULs_xht0MfW_eD0vvfelL3Z8s8B5z-K8&t=30
1,一般コホモロジーとSRE状態,SPT相
物理で使う数学チャンネル 1:07:08
7571 回視聴 • 4 年前
発表者 : 大山修平
内容 : 一般コホモロジーの定義から始めて，一般コホモロジーが物理とどのように関係するかについて述べました．
コメント
@_LiSa0
2 年前（編集済み）
この人物理屋なのに数学お化けすぎる。京理こわいよ。

2,物理屋のためのスペクトル系列入門
物理で使う数学チャンネル 1:12:44
2394 回視聴 • 4 年前

3,物理屋のための旗多様体のコホモロジー群の計算
物理で使う数学チャンネル 29:50
1398 回視聴 • 4 年前

(注：”math and physics”に ご注目)
https://www.youtube.com/@mathandphysics6113
教授になりたい昆布【math and physics】
修士学生（数学）です。プロではないので間違いがあるかもしれません。

https://youtu.be/nZQRUjXsiDA?t=1
【層コホモロジー?】　茎の具体的な構成をします！！
教授になりたい昆布【math and physics】
2022/09/25

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/788

796: １３２人目の素数さん [] 2025/05/25(日) 18:49:24.69 ID:WEnhjuaS

>>794
定理9.3の証明:
σ を G の生成元（の１つ）とすると
仮定より G = ⟨σ⟩ = {idL, σ, . . . , σ^(n−1)} となる．

1 の原始 n 乗根 ζ を１つ固定して，写像 h : L → L を
h(α) = α + ζσ(α) + · · · + ζ^(n−1)σ^(n−1)(α) (∀α ∈ L)
で定義する（h は体準同型とは限らない）．
h(α) はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent) と呼ばれる．

idL, σ, . . . , σ^(n−1) は相異なる L の自己同型だから，
命題 9.1 により hは 0 写像ではない．
すなわち，ある γ ∈ L が存在して h(γ) ≠ 0 となる．

ζ ∈ K, ζ^n = 1,σ^n = idL を用いて
ζσ(h(γ))
= ζσ(γ) + ζ^2σ^2(γ) + · · · + ζ^nσ^n(γ)
= γ + ζσ(γ) + · · · + ζ^(n−1)σ^n−1(γ)
= h(γ)
すなわち σ(h(γ)) = ζ^(−1)h(γ) を得る．

従って，α = h(γ)^(−1) ∈ L とおけば，
σ(α)
= σ(h(γ)^−1) = σ(h(γ))^−1 = (ζ^−1h(γ))^−1 = ζh(γ)^−1
= ζα
が成立する．

従って a = α^n ∈ L とおけば
σ(a)
= σ(α^n) = σ(α)^n = (ζα)^n = ζ^nα^n
= a
を得る．

よって σ^j(a) = a も成立し G = {idL, σ, · · · , σn−1} であるから，
a は G の任意の元で固定される．
定理 7.1 により L ⊃ K の中間体と G の部分群とのガロア対応において
K と G が対応する (G = Gal(L/K) = Φ(K) より）から，
K = LG = Ψ(G) であり，a ∈ LG = K 従って x^n − a ∈ K[x] となる．

σ(α) = ζα と σ(ζ) = ζ （ζ ∈ K だから）より
j = 0, 1, . . . , n − 1 に対して帰納的に
σ^j(α)
= σ^(j−1)(σ(α)) = σ^(j−1)(ζα) = ζσ^(j−1)(α) = ζζ^( j−1)α
= ζ^jα
が成立することがわかるので，
G は x^n − a の根の集合 A = {α, ζα, . . . , ζn−1α} に推移的に作用している．
従って定理 9.2 により x^n − a は K 上既約である．
よって x^n − a の K上の分解体 F := K(α) は [F : K] = n を満たす．
一方，[L : K] = n かつ L ⊃ F だから，L = F = K(α) である．□

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/796

799: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/25(日) 20:50:14.76 ID:Pt4i9H9G

>>790
>f(x) の K 上の分解体 L のガロア群 Gal(L/K) が可解群となることである．

ふっふ、ほっほ
可解群の定義を確認しようね（下記）
”有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある”
ここの 有限群の場合 すべての商が素数位数の巡回群
って、意味分るかい？ｗ ；ｐ）
（『有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。』）
（多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
可解群
定義
群 G が、すべての因子が可換であるような連正規列（英語版）をもつとき可解群という[2]。つまり部分群の列
G=G0≥G1≥⋯≥Gn=1
が存在して、各 0 ≤ k < n について Gk + 1 は Gk の正規部分群であり、かつ商群 Gk/Gk + 1 が可換であることをいう。
群 G の可解性は導来列
G=G(0)⊵G(1)⊵G(2)⊵⋯
が有限項で自明な部分群 1 に達することと定義もできる[3]。ここで各 k ≥ 0 について G(k + 1) は G(k) の交換子部分群 [G(k), G(k)] である。可解群 G に対して G(n) = 1 となる最小の n ≥ 0 を導来列の長さ (derived length) という。
任意の群 H とその正規部分群 N について、商群 H/N は N が H(1) を含むとき、かつそのときに限りアーベル群であるため、上の定義は同値である。
有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
無限群の場合は必ずしも同値ではない。たとえば、整数の加法群 Z のすべての非自明な部分群はZ自身と同型であるため、Zは組成列を持たないが、正規列{0,Z}を持ちその唯一の商 Z/0 は Zと同型（つまり可換）だから、可解群である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/799

812: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 00:03:05.78 ID:PcNaprFC

つづき

(参考)
https://dictionary.goo.ne.jp/word/%E4%BB%8F%E9%80%A0%E3%81%A3%E3%81%A6%E9%AD%82%E5%85%A5%E3%82%8C%E3%81%9A/
dictionary.goo
国語辞書 慣用句・ことわざ 「仏造って魂入れず」の意味
仏(ほとけ)造(つく)って魂(たましい)入(い)れず の解説
物事をほとんど仕上げながら、肝心な最後の仕上げが抜け落ちていることのたとえ。仏造って眼 (まなこ) を入れず。
出典：デジタル大辞泉（小学館）

https://researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/76981/5d01f209d0c3367c359804fb8d607aa9?frame_id=329253
ガロア理論なんか大っ嫌いだぁ〜
投稿日時 : 2011/06/26   武部 尚志
・二年生 代数：これが一番大変だった…。内容は環論の中級編（整、正規など）、体論、Galois 理論。終結式の計算なんかは Mathematica  で一発でチェックできたし、Zariski 位相の定義とかの基本的な定理・反例の証明は（こちらが説明する必要がなく聞いてりゃ済んだので）楽。有限体上の既約多項式の数の母関数とかは知らなかったので、最初聞いた時は面白かったけれど、さすがに５人目とかになると（声には出さず）「うえぇ、またかい」。
一番困ったのが、拡大体に関する具体的な問題、特に多項式の分解体を具体的に求めよ、とか「６次対称群を分解体の Galois 群とする多項式を求めよ」とか「１の 13 乗根を使って √13 を表す（Gauss 和）」とか。
「四半世紀前に Galois 理論は習ったけれど、以来一度も使ったことが無い！」と愚痴をこぼしながら、ここはどうして、そこは違うんじゃない、とツッコミを入れ、
「どう計算するんですか」という質問には「ゴメン、知らない」と白旗を上げてました。
特に、「整数係数多項式を mod p で考えて p 元体上で n1, ..., nk 次の既約多項式の積に分解するとすると、元の多項式の Q 上の分解体は、根の置換群の中の cycle type が ( n1, ..., nk）の置換を含む」という定理（講義でやったんだそうな）を使う問題があり、
私は知らなかったし、定理を聞いても何を言っているのかしばらく分からず、正直最初は学生さんに言われるままにうなずいてしまいました。
（後で担当の Gorodentsev 氏の講義ノート で証明を確認。
僕が学部三年生の時の体論の講義（加藤和也先生）では聞かなかったような気がするんだけど…。）

やっと昨日でこの嵐から解放された。フゥ (-。-)
という訳で、タイトルの叫びになるわけであります。

（参考 経歴 2009年 - 2023年Higher School of Economics (Russia), Faculty of Mathematics, Professor なので Russiaの話ね）
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/812

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 159 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.018s