面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (335ﾚｽ)
面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/
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41: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/14(水) 06:41:25.34 ID:RyNNGngZ 元サイトの証明 gₙ(x) = x + nf(x) とおく。 Claim 1 ) f(gₙ(x)) = f(x) (∵) n についての帰納法。容易。 Claim 2 ) gₙ(x) は単射 (∵) x = gₙ(x) - f(gₙ(x)) より明らか。 Claim 3 ) f(x) は広義単調増加か広義単調減少 (∵) そうでないとすると a<b, c<d で f(a) < f(b), f(c)>f(d) となる a,b,c,d がとれる。n を gₙ(a) < gₙ(b), gₙ(c) > gₙ(d) であるようにとれる。gₙ(x) は単射連続、gₙ(a) < gₙ(b)だから gₙ(x) は狭義単調増加。一方でgₙ(x) は単射連続、gₙ(c) > gₙ(d)だから gₙ(x) は狭義単調減少。矛盾。 Claim 4 ) f(x) は定数 (∵) 定数でないなら a＜b を f(a)≠f(b)、f(a),f(b) が同符号となる a,b が選べる。0 < f(a) とすると十分大きな n で a < b < a + nf(a) となる n を選べる。このとき Claim 3 より f(a) ≦ f(a) ≦ f(a+nf(a)) = f(a) または f(a) ≧ f(b) ≧ f(a+nf(a)) = f(a) であるがいずれも f(a)≠f(b) に矛盾。0 > f(b) の場合も同様に矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/41
125: １３２人目の素数さん [] 2025/07/11(金) 07:34:09.34 ID:+yaCXXSQ これ有名なやつだよな バナナとリンゴとパイナップルの画像覚えてるわ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/125
135: １３２人目の素数さん [] 2025/07/12(土) 08:45:57.34 ID:vo/7tYa9 なるほどなぁ やっぱり因数分解した2式を組み合わせて考えると頑張れば解けるのか そこで3と4という2種類の因子とmod8の制約が上手く効いてる感じだね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/135
157: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/15(火) 21:44:40.34 ID:ZVmDyLNq 参考図にあるとおり平面上連結成分が３つあるが、右上から順に C₁, C₂, C₃ とする。{Pₙ(pₙ,qₙ)} を相異なる無限有理点列とする。必要なら Pₙ を 直線 P₀Pₙ と曲線の交点に取り替えることにより lim Pₙ は曲線上の点 U(u,v) に収束するとしてよい。必要なら同じ置き換えをおこなって u≠v としてよい。 このとき有理点列 Qₙ(qₙ, pₙ) は V(v,u) に収束するとしてよい。このとき Pₙ , Qₙ の部分裂 (P’ₙ , Q’ₙ) を直線 P’ₙQ’ₙ の傾きが -1 でなく、よってこの直線と曲線の交点 R’ₙ が C₂ にありかつ n →∞ で C₂ の無限有理点列で非有界であるとしてよい。必要なら a=b で対称な点で取り替えて Sₙ を C₂ の無限有理点列で非有界かつすべて b<a の側にあるとしてよい。このとき十分おおきな n で 直線 P₀Sₙ と曲線の交点からなる有理点は a,b>0 の部分に属する。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/157
167: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/25(金) 17:08:22.34 ID:r7J1qQpv よく見たら最後の集合が反転してるtypoのせいかな そこ直せば高々可算でも問題ないな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/167
231: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/18(月) 17:52:44.34 ID:dxGqGsbL q = nPs / rPs とおく。q は 1 より大きい有理数だから有限付値 v を v(q)>0 となるようにとれる。このとき nCs = q ⋅ rPs/s! = q ⋅ rCs nCr = q ⋅ (n-s)P(r-s)/(r-s)! = q ⋅ (n-s)C(r-s) により v( nCs ) = v(q) + v( rCs ) > 0 v( nCr ) = v(q) + v( (n-s)C(r-s) ) > 0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/231
313: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 10:42:51.34 ID:2u7jYGtD 異なる実数x, y, zに対して x+y+z=0 xy+yz+zx=-3 x＜y＜z のとき、x, y, zのとりうる値の範囲は □＜x＜□＜y＜□＜z＜□ である。空欄を求めよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/313
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