面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (368ﾚｽ)
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287(1): 09/02(火)13:47 ID:y/H4brb4(1/2) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値と、cosAcosBcosCの最大値は一致するか。
288: 09/02(火)15:07 ID:jTpZzzZq(1) AAS
>>286-287
高校数学で解けるのな
二次関数に帰着させるか、相加・相乗平均を使うか
3つの角のsinとcosの和と積の最大
外部ﾘﾝｸ:examist.jp
289: 09/02(火)17:48 ID:fZOAs2Xe(1/11) AAS
以下有限グラフ G = (V,E) とは 有限集合 V と V の2元集合の組とする。よって G はループや多重辺を含まない。以下 「G から辺 {v,w} を取り除いたグラフ(G＼{{v,w}} と表す)」、「頂点 v と w を同一視して得られるグラフ(G/<v = w> と表す)」などの記述をもちいるが細かく規定せず多少の不正確な記述を適宜みとめ読者のエスパー力に期待するものとする。
グラフ G の頂点 x に対して x を端点とする辺の数を x の分岐数とよび μ(x) とかく。G の k 次ベッチ数を βₖ(G) と表す。Euler の定理より #V - #E = β₀(G) - β₁(G) である。
290: 09/02(火)17:49 ID:fZOAs2Xe(2/11) AAS
補題 任意の有限木 G について以下のいずれかが成立する。
(1) #G ≦ 2
(2) ある部分グラフの対 H,K で H∩K が一点、H が A₃ と同型であるものが存在する。
(∵) 容易。□
291: 09/02(火)17:49 ID:fZOAs2Xe(3/11) AAS
AA省
292: 09/02(火)17:50 ID:fZOAs2Xe(4/11) AAS
以下頂点の集合 A ⊂ V に対して S(A) := { e∈E ; e∩A ≠ ∅ } と定める。
補題 G = (V,E) が頂点数 n = #V ≧ 2 の連結有限グラフとする。⌈(n + β₁(G))/2⌉ ≧ n であるか、または相異なる頂点の集合 A,B で #A = #B = ⌈(n + β₁(G))/2⌉, S(A) = S(B) = V となるものがとれる。
(∵) 最小反例で前補題の条件を満たすものが存在しないことを示せばよい。
(i) #V = 2,3 のとき。V = {u,v} のときは A = {u}, B = {v}、V = {u,v,w} のときは A = {u,w}, B = {v,w} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(ii) 部分グラフ H と {x,y,z} ⊂ G で {x,y},{y,z} ∈ E、{x,z} ∉E、H ∩ {x,y,z} = {x} のとき。G が最小反例だから ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ H で #A’ = #B’ = ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉、S(A’) = S(B’) = H が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’∪{x}、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’∪{z}、そうでなければ B = B’∪{z} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(iii) G が (2) を満たすとき。V = {x₁, x₂, ... ,xₙ}, E = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃},...,{xₙ, x₁}} としてよい。n が偶数のときは A = {xₖ ; k odd}∪{xₙ}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たし、n が奇数のときは A = {xₖ ; k odd}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たすから反例となりえない。
293: 09/02(火)17:51 ID:fZOAs2Xe(5/11) AAS
AA省
294: 09/02(火)17:51 ID:fZOAs2Xe(6/11) AAS
以下記号の定義を再掲する。W, S は有限集合、f : S → 2^W は写像で A ⊂ W に対して S(A) = { s ; f(s)∩A ≠ ∅ } とする。さらに
(※) 任意の A≠∅ に対して S(A)≠∅
とする。
(W : ワインの集合、S : 奴隷の集合、f(s) : 奴隷 s が飲むワインの集合、S(A) : A に毒をいれたときの犠牲者の集合であり、(※) は「すべてのワインはいずれかの奴隷が必ず試飲する。に相当する。)
295: 09/02(火)17:51 ID:fZOAs2Xe(7/11) AAS
補題 (※) n = #W > #S であるとき W の相異なる部分集合 A,B が存在して次を満たす。
(1) #A = #B = ⌈ #W/2 ⌉
(2) S(A) = S(B)
(∵) S₁ = { s∈S | #f(s) = 1 } とおく。W を最小反例とする。
#S₁ = 0 とする。すべての s について #f(s) ≧ 2 である。各 s について f(s) から２元集合 e(s) = {p(s), q(s)} ⊂ f(s) を選んでグラフ (W,E) = (W, {e(s) ; s∈S} ) を考える。グラフはe(s) の選び方で任意性があるが、この中でその一つの連結成分 G₀ = (W₀, E₀) の点の数が最大となるものをとる。このとき任意の s に対して e(s) が G₀ の辺でないなら #E₀ の最大性から f(s) は G₀ と共通元をもたない。すなわち任意の s に対して e(s) が G₀ の辺であるか、もしくは f(s) と W₀ は互いに素となる。 n₀ = #W₀ とする。
296: 09/02(火)17:52 ID:fZOAs2Xe(8/11) AAS
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≧ n₀ のとき。容易に n₀ + β₁(G₀) ≦ 1 + #S ≦ n だから n₀ ≦ ⌈n/2⌉ である。よって A₀,B₀ ⊂ W、C ⊂ W ＼ W₀、 #A₀ = #B₀ = n₀ - 1、#C = ⌈n/2⌉ - n₀ + 1 となる相異なる A₀, B₀, C をえらぶ。A = A₀∪C、B = B₀∪C とすれば S(A) = S(A₀)∪S(C) = W₀∪S(C)、 S(B) = S(B₀)∪S(C) = W₀∪S(C) だから条件が成立する。
297: 09/02(火)17:53 ID:fZOAs2Xe(9/11) AAS
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ < n₀ のとき。補題から #A₀ = #B₀ = ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉、S(A₀) = S(B₀) = W₀ となる相異なる A₀, B₀ がとれる。このときさらに C⊂W ＼ W₀ を #C = ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ となるようにとれる。
298: 09/02(火)17:53 ID:fZOAs2Xe(10/11) AAS
(∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。
以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。
299(1): 09/02(火)17:53 ID:fZOAs2Xe(11/11) AAS
#S₁ > 0 とする。s₀ ∈ S₁ をえらんで f(s₀) = {w₀} とおく。S’ = S＼{s₀}、W’ = W＼{w₀} とし f’(s) = f(s)＼{w₀} とする。W が最小反例だから W’ の相異なる部分集合 A’,B’ で
(1) #A’ = #B’ = ⌈ #W’/2 ⌉
(2) S(A’) = S(B’)
となるものがとれる。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ なら A = A’、B = B’ とすれば S(A) = S(A’)、S(B) = S(B’) となり矛盾する。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ - 1 なら A = A’∪{w₀}、B = B’∪{w₀} とすればS(A) = S(A’)’∪{s₀}、S(B) = S(B’)’∪{s₀} となり矛盾する。 □
300: 09/02(火)19:28 ID:y/H4brb4(2/2) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、2sinA+sinB+sinC+sinAsinBsinCの最大値を求めよ。
301: 09/02(火)22:27 ID:Mll4sRUZ(1) AAS
>>299
うお…すごい大作だ 本当にお疲れ様
まじでごめんなんだけど、正しさを確かめる気力が無いから想定解だけ書かせてもらうね
>>282 の続き
Wの部分集合A,Bが A⊂B かつ |A|+2≦|B|≦500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
Bの元のうちAに属さないものが２つ存在するのでそれらを w_1,w_2 とおく。
省14
302: 09/03(水)08:38 ID:wC3sbrDB(1) AAS
をーなんかすごいな
素人の疑問なんだけど、ワインの数とか毒の数によっては
>>268みたいな自明解以外の解が存在するのだろうか
303: 09/03(水)08:52 ID:AK+unjCX(1/2) AAS
ようするにワインが n 本のとき奴隷がn-2だと不可能、n-1だと可能、すなわち毒入りワインを確実に判定するのに必要な奴隷の数はn-1人である、が答え
304: 09/03(水)09:06 ID:AK+unjCX(2/2) AAS
正確には “ワインが n 本、毒をいれる本数が ⌈(n-1)/2⌉ 本の場合の必要な奴隷の人数の最小数は n-1 人” の証明が >>289-299。n = 1000 のときは ⌈(n-1)/2⌉ = 500 となるので問題の設定をカバーしてる。>>268 の “解は 995人以上、999人以下” の中で 999 人が答えでしたとさというお話。ワインが1000本、毒が500を拡張する方法は他にも色々あるだろうけど。
305: 09/03(水)09:07 ID:iMvGoXCo(1) AAS
あ、毒入りの数が少なければ奴隷も少なくていいケースがあるのか
306: 09/03(水)14:47 ID:J935Wiym(1) AAS
そりゃ毒入りが1本ならワイン１０００本でも奴隷は１０人で済むわな
307: 09/03(水)17:03 ID:YbtNoe+g(1) AAS
上の方でも出てる通り、1000本中1本なら10人、2本なら65人だな
308(1): 09/07(日)02:59 ID:XDW6vQFz(1) AAS
鋭角三角形である△ABCは、A≠B、B≠C、C≠Aを満たす。
△ABCに内接する正方形で、相異なるものの個数を求めよ。
309: 09/07(日)03:46 ID:OW0TX0Rs(1) AAS
>>308
内接の定義を
310: 09/07(日)04:56 ID:LcZn/s2S(1/5) AAS
3個
311: 09/07(日)05:21 ID:LcZn/s2S(2/5) AAS
鋭角三角形で３個、そうでないとき１個
312: 09/07(日)05:24 ID:LcZn/s2S(3/5) AAS
鋭角三角形で３個、直角三角形で２個、鋭角三角形で１個
313: 09/07(日)10:42 ID:2u7jYGtD(1/2) AAS
異なる実数x, y, zに対して
x+y+z=0
xy+yz+zx=-3
x＜y＜z
のとき、x, y, zのとりうる値の範囲は
□＜x＜□＜y＜□＜z＜□
である。空欄を求めよ
314: 09/07(日)11:08 ID:LcZn/s2S(4/5) AAS
-2<x<-1<y<1<z<2
315: 09/07(日)11:26 ID:2u7jYGtD(2/2) AAS
お見事です
316: 09/07(日)12:27 ID:LcZn/s2S(5/5) AAS
直方体 K が直方体 L に含まれているとする。K の 3 辺の長さを a,b,c、L の 3 辺の長さを p,q,r とする。 a+b+c ≦ p+q+r を示せ。
317: 09/08(月)22:55 ID:NrRzTK6Z(1) AAS
a,b,cを整数とする。
方程式
x^3+ax^2+bx+c=0
が3つの実数解α、β、γを持ち、α=1+√2であるとき、
|a+b+c|を最小にするようなβ、γをすべて求めよ。
318(1): 09/09(火)00:16 ID:5QJSkWGE(1/4) AAS
(β,γ) = (1-√2,1)
319: 09/09(火)15:23 ID:SSqKd6ty(1) AAS
>>318
γ=1以外にないことの証明は？
320: 09/09(火)21:51 ID:5QJSkWGE(2/4) AAS
(β,γ) = (1-√2,1) → | a+b+c | = | f(1) | = 0
∴ min{ | a+b+c | } = 0
| a+b+c | = | f(1) | = 0 ⇒ 0 ∈ { 1+√2,1-√2,γ }
321: 09/09(火)22:07 ID:YBobyKJG(1/2) AAS
f(1)=1+a+b+c
になってしまう
先頭の1を除いて考えて
γ=3/2
一意性を示すには
a+b+c は γ の一次関数である
ことをいえばよい
322: 09/09(火)22:10 ID:YBobyKJG(2/2) AAS
あ、整数の縛りがあったか
323: 09/09(火)23:22 ID:5QJSkWGE(3/4) AAS
a+b+c = f(1)-1 = (1^2 - 2・1-1)(1-γ)-1 = -3+2γ
γ = 2,1
324(1): 09/09(火)23:37 ID:5QJSkWGE(4/4) AAS
f(n) = Σ[k=1,n](k!)^2 が素数となる n は無限にあるか？
325: 09/10(水)20:52 ID:G0ue5EhB(1) AAS
kは正整数の定数、eは自然対数の底とする。
a[n]={1+(1/n)}^n
に対して、以下の極限を求めよ。
lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
326: 09/11(木)00:28 ID:h38MyBig(1) AAS
f(k,t) := exp( (1/t + k) log( 1 + t/(1+kt) ) )
= e - et/2 + 1/24 e(12k+11)t^2 + o(t^2) ( t→0 )
lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
= lim[t→0] (f(n,0) - f(n,k))/(f(n,0) - e )
= lim[t→0] (11/24 et^2 - 1/24 e(12k+11)t^2)/(- et/2 ) + o(t)
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
327(1): 09/11(木)17:47 ID:FBPQUfKr(1) AAS
【整数問題】
何も書かれていない10cmものさしがある。
3箇所にだけ目盛りを振って、1cm〜10cmまでの全整数を測れるようにしたい。
これが不可能なことを示せ。
ヒントとして問題を言い換えると、
a+b+c+d=10としたとき、
{a,b,c,d,a+b,b+c,c+d,a+b+c,b+c+d,a+b+c+d}の10個の値が被ることなく1〜10の整数になるような
省1
328: 09/11(木)18:46 ID:r3ND9RN6(1) AAS
>>327
a+…+a+b+c+d≠55
329: 09/12(金)10:22 ID:Ri1jn8ej(1) AAS
瞬殺ｗ
330: 09/12(金)12:37 ID:k+DCpciA(1) AAS
平面上に半径1の円を、2つ以上の円が重ならないように自由に置いていく。ただし接することは認める。
いま、（1）（2）の場合に、平面上にn個の点を、以下の条件を満たすようにうまく配置できるか。
【条件】
半径1の円をどのように置いても、n個の点のうち少なくとも1つは円の外側に出る。
（1）n=4のとき
（2）n=10のとき
331: 09/12(金)20:50 ID:0bMneArb(1) AAS
x^2+xy+y^2=1
の条件下で、s=x+yおよびt=xyの多項式g(s,t)の最大値を与える(x,y)を(a,b)、最小値を与える(x,y)を(c,d)とおく。
(c,d)=(-a,-b)は成り立つか。
332: 09/12(金)23:52 ID:g4KYvI9F(1) AAS
>>324
これ答えあるんかなあ
素数p<20000くらいまで調べた感じmodで攻めるのは無理そう
常にあるnについての多項式で得られる整数の倍数になる線も考えたけど小さいnで素数になる率が高すぎる
333: 09/13(土)00:01 ID:m3ypxV51(1) AAS
g(s,t) = s+t は
(s,t,x,y) = (2/√3,1/3,1/√3,1/√3) のとき最大値、
(s,t,x,y) = (-1/2,-3/4,-1/4 ± √13/4,-1/4 ∓ √13/4)のとき最小値
334(1): 09/13(土)18:22 ID:15EaKNrN(1) AAS
a,bを実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+xy+y^2=1
を満たしながら動くとき、
f(x,y)=a(x+y)-bxy
は恒等的に定数ではないとする。
f(x,y)の最大値を与える(x,y)を(p,q)、最小値を与える(x,y)を(r,s)とおく。
省1
335: イナ ◆/7jUdUKiSM 09/14(日)19:42 ID:7Ym/yvH3(1) AAS
前>>285
>>334
A,Bのとりうる軌跡は長軸2√2,
短軸2√3/3の楕円.
0≦∠AOB≦π
∴-1≦cos∠AOB≦1
336: 09/16(火)14:20 ID:AqNEsaLH(1) AAS
335は誤りで読む価値もないので再出題します
【問題】
a,bを実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+xy+y^2=1
を満たしながら動くとき、
f(x,y)=a(x+y)-bxy
省3
337: 09/17(水)18:03 ID:J87I+ufR(1) AAS
a,b,nは正の整数とする。
a^2+b^2=2^n
を満たす(a,b,n)の組をすべて求めよ。
338: 09/17(水)18:44 ID:PAYY6DOQ(1/2) AAS
(2^k,2^k,2^(2k+1)) (k : non negetive integer )
339: 09/17(水)23:38 ID:PAYY6DOQ(2/2) AAS
Find ∫_{0}^{∞} log(x+1/x)/(x⁴+1) dx .
340: 09/19(金)12:19 ID:A0BX3yKK(1) AAS
xyz空間において、xy平面上の円(x-2)^2+y^2=1,z=0をy軸の周りに1回転させてできる立体をKとする。
Kの表面上を点P(a,b,c)が動くとき、a+b+cが最大になる(a,b,c)の組は何組あるか。
341: 09/19(金)12:41 ID:MaenDR0i(1) AAS
この問題自体は解が1桁の整数なので
答えると続きの問題を投下するつもりとみた
スルーで
342: 09/19(金)13:21 ID:8HF96wgc(1) AAS
どうみても、ポエムは書けてもまともな出題は無理な人のポエムですね
343: 09/19(金)22:15 ID:aOXAub6Q(1) AAS
実数xに対し、<x>はxの小数部分を表す。
nがすべての正の整数を動くとき、<n√2>には最小値が存在しないことを証明せよ。
344: 09/19(金)22:29 ID:6jJcJDCl(1) AAS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:metaphor.ethz.ch
345: 09/22(月)21:23 ID:R9XN05tS(1) AAS
正三角形の中に、どの2つも重ならないように3つの円板を置く。
3つの円板の面積の合計が最大となる置き方を述べよ。
346: 09/22(月)23:00 ID:MhTV9Wct(1) AAS
^_^7
^_^
^_^
)
(
(
勘でひとつは内接円
347: 09/23(火)15:00 ID:tRpbWwM5(1/5) AAS
2円をC₁ C₂ とする。C₁ と C₂ の共有点は高々 1 個、C₁ と 三角形の周との共有点は高々２個だから併せて共有点は高々３個。共有点の個数の合計が２個以下なら共有点の個数を変えずに面積を増大させられる。よって最大値をとる配置においては共有点の個数の合計はちょうど３でなければならない。 C₂ と C₁、三角形の周との共有点の個数の合計も最大値をとる配置においてはちょうど３である。以上により
３角形の領域
y≧0,、x+y/√3 ≦ 1、-x+y/√3 ≦ 1
円の方程式
C₁ : (x-√3a + 1)² + (y-a)² = a²、C₂ : (x+√3b - 1)² + (y-b)² = b²
束縛条件
(a+b)² = (2-√3a-√3b)² + (a-b)²、0≦a≦1/√3、0≦b≦1/√3
省1
348: 09/23(火)15:00 ID:tRpbWwM5(2/5) AAS
外部ﾘﾝｸ:www.wolframalpha.com
349(1): 09/23(火)16:12 ID:rUJD65ms(1) AAS
方程式
x^2+px+1=0
x^2+px-1=0
がともに整数解を持つような有理数pをすべて求めよ。
350(1): 09/23(火)17:00 ID:tRpbWwM5(3/5) AAS
-p = (m^2+1)/m = (n^2-1)/n ( m,n ∈ℤ ) とおける。v が有限加法付置のとき v(m)>0 ⇒ v(m) = v(n)、v(n)>0 ⇒ v(m) = v(n) だから m = ±n が必要である。m=n のとき m^2+1 = m^2-1 であり解なし。m=-n のとき m^2+1 = -(m^2-1) により m^2 = 0 であり解なし。
..
しょうもな
351: 09/23(火)17:37 ID:oQPZR4zQ(1) AAS
>>350
間違っています
こんな高校数学レベルの問題にも解答できないんですね（笑）
352: 09/23(火)17:50 ID:tRpbWwM5(4/5) AAS
ああ、p=0か
353: 09/23(火)17:51 ID:tRpbWwM5(5/5) AAS
しょうもな
354: 09/23(火)19:52 ID:yC5hEdko(1) AAS
>>349は昔、高校数学スレで適当に考えた問題を連投しまくってた馬鹿。
あっちで相手にされなくなったので、ここで連投し始めた。
作問センスが全くないのに、自覚がないから始末が悪い。
355: 09/23(火)21:06 ID:0UHeqstL(1) AAS
誤植マジェマジェ問題文読んだら負けな糞問作成力はそこそこあると思うよ
356(1): 09/25(木)14:10 ID:o9EoOFyb(1) AAS
a^2+b^3=c^4
を満たす正の整数(a,b,c)は存在するか。
357: 09/25(木)15:56 ID:fKIn6h3A(1/2) AAS
>>356
(a,b,c)=(28,8,6)
358: 09/25(木)15:58 ID:fKIn6h3A(2/2) AAS
nは3以上の整数とする。
xの方程式x^n-3x+1=0とx^2-3x+1=0は共通の解を持たないことを示せ。
359: 09/25(木)16:20 ID:16fQifg1(1/2) AAS
解なし
京都大学の入試問題
x^6+y^4=9z^2
の解を使えば、負の数を含めた範囲では成り立つ
360: 09/25(木)16:22 ID:16fQifg1(2/2) AAS
あれっ、解あるんだ
GoogleAIは
フェルマーの定理により解なし
ソースは数検の公式X
って言ってたのに
361: 09/26(金)17:58 ID:FeHdZpfm(1) AAS
2以上の整数nに対して、
Σ[k=1,n] √k
は無理数であることを証明せよ。
362: 09/26(金)22:51 ID:M7/pjllS(1) AAS
tr(Σ[k: not square]√k = 0
363: 09/27(土)10:13 ID:UsSGsey5(1) AAS
平面z=ax+byの最大勾配を求めたい。
ベクトルでどうなりますか
364: 09/27(土)15:03 ID:5cjP7XC6(1) AAS
2項係数200Ｃ100を割りきる最大の2桁の素数を求めなさい
365: 09/27(土)15:38 ID:5M32mdGL(1) AAS
f(x)=x^2+x+1
とする。自然数nに対して、f(n)の下2桁の整数をa[n]で表す。
たとえばf(1)=3,a[1]=3,f(10)=111,a[10]=11,である。
n=1,2,...について、a[n]に現れない整数をすべて求めよ。
366: 09/29(月)09:33 ID:WQSb38GG(1) AAS
5つの箱が横一列に並んでいる
猫はその箱のひとつに入っていて、夜になると左右いずれかの箱に移動する
あなたは毎朝ひとつだけ箱の中身を調べることができる
猫が隠れている箱を遅くとも何日目の朝に見つけることができるか
367: 09/29(月)11:00 ID:hhzC6P4P(1) AAS
2次方程式
x^2+ax+b=0
が絶対値1の複素数解をもつという。
|a|+|b|の最小値を求めよ。
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