面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (222ﾚｽ)
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142: 07/13(日)12:01 ID:Nau2shlJ(4/5) AAS
あれ
これだとp=3のときを除外しなくてもいいような…
143: 07/13(日)12:18 ID:D0D+FAcF(1) AAS
問題に穴があるのはいつもの事だから
OK
144: 07/13(日)12:38 ID:Nau2shlJ(5/5) AAS
たまには自分も出題してみる
N人のクラスでテストをして平均点を計算したら自然数になった
dをNの任意の約数とする
このとき、うまくクラスをd等分して班分けすれば、どの班内でのテストの平均点も自然数に出来ることを示せ
ただしテストの点は0〜100の自然数とする
145: 07/13(日)22:53 ID:4xQ8jzLG(1) AAS
これは割と有名やな。知ってるので答え書かないけど。
146: 07/14(月)01:52 ID:wX4Go6Eo(1/4) AAS
結構考えてやっとできた気がする
147: 07/14(月)07:02 ID:jDZoCdXZ(1/3) AAS
有名だったか…
じゃあyoutubeで拾ってきたやつ
区間(0,1)からランダムに選んだ実数x,yから分数x/yを作ったとき、
それに1番近い自然数(x/yを小数表示で四捨五入する)が偶数になる確率はいくらか？
148: 07/14(月)08:41 ID:sMJtkUkz(1/2) AAS
まぁ面白いのは間違いないわな。証明感動すると同時によくこんなの思いつくなと思ったし。
149: 07/14(月)08:58 ID:sMJtkUkz(2/2) AAS
P(x/y < 1/2) + P(3/2 < x/y < 5/2) + P(7/2 < x/y < 9/2) + ...
= 1/4 + 1/2( 2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + ... )
= 1/4 + 2Σ1/(4k-1)(4k+1)
= 1/4 + 2(4-π)/8
= 5/4 - π/4
150: 07/14(月)09:08 ID:jDZoCdXZ(2/3) AAS
正解！
素朴には1/2と思うのに違うし、円周率出てくるのも面白いよね
151: 07/14(月)17:00 ID:wX4Go6Eo(2/4) AAS
できたような気がしてたが、2クラスに分ける場合に還元できただけだったわ
聞いたことある問題なんだがなあ
自力ではきつい系か
152(1): 07/14(月)17:34 ID:jDZoCdXZ(3/3) AAS
そう、2つの場合にEGZ使う
153: 07/14(月)17:57 ID:wX4Go6Eo(3/4) AAS
>>152
こんな定理があるのね
最後のステップはほぽ定理そのままやし自力はきついわ
154: 07/14(月)23:25 ID:wX4Go6Eo(4/4) AAS
EGZって定理を教えてもらったついでに、この定理がちゃんと下限を与えているかどうかを今日の宿題にしよ。簡単に作れるかもしれんけど
mを正整数として、a_1,...a_{2m-2}をℤ_mの元とする。このとき、aたちからm個の元を選んで、総和を0にすることは必ずしもできるわけではないことを示せ
155: 07/15(火)00:58 ID:ZVmDyLNq(1/5) AAS
ちょうど n-1 個の +1 と n-1 個の -1 でだめですな
156: 07/15(火)21:44 ID:ZVmDyLNq(2/5) AAS
幾何的証明
まず 超平面 c=0 を抜いてえられるユークリッド平面上で楕円曲線をプロットすると参考図のようになる。
(参考図)
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
この図の a,b>0 の部分に無限に有理点が存在することを示せばよい。参考動画にある有理点を P₀(a₀,b₀) (a₀>b₀>0) とする。
157: 07/15(火)21:44 ID:ZVmDyLNq(3/5) AAS
参考図にあるとおり平面上連結成分が３つあるが、右上から順に C₁, C₂, C₃ とする。{Pₙ(pₙ,qₙ)} を相異なる無限有理点列とする。必要なら Pₙ を 直線 P₀Pₙ と曲線の交点に取り替えることにより lim Pₙ は曲線上の点 U(u,v) に収束するとしてよい。必要なら同じ置き換えをおこなって u≠v としてよい。 このとき有理点列 Qₙ(qₙ, pₙ) は V(v,u) に収束するとしてよい。このとき Pₙ , Qₙ の部分裂 (P’ₙ , Q’ₙ) を直線 P’ₙQ’ₙ の傾きが -1 でなく、よってこの直線と曲線の交点 R’ₙ が C₂ にありかつ n →∞ で C₂ の無限有理点列で非有界であるとしてよい。必要なら a=b で対称な点で取り替えて Sₙ を C₂ の無限有理点列で非有界かつすべて b<a の側にあるとしてよい。このとき十分おおきな n で 直線 P₀Sₙ と曲線の交点からなる有理点は a,b>0 の部分に属する。□
158: 07/15(火)21:45 ID:ZVmDyLNq(4/5) AAS
解析的証明
曲線は適当に座標を選んで C: y² = 4x³ - (44836 x)/3 + 9481256/27 としてよい。 適当な τ,u を選んで(u²𝔭(τ,z),u³𝔭’(τ,z)) が C をパラメトライズできる。
159: 07/15(火)21:45 ID:ZVmDyLNq(5/5) AAS
このときこの写像が群準同型を導くとしてよい。これを π とすれば G = cl(π⁻¹(ℙℚ²)) は ℂ の加法群の実一次元部分群である。開集合 U = π⁻¹(a>0b>0c>0) ∩ G は空でなく、π⁻¹(ℙℚ²)) は G の稠密部分集合だから U ∩ π⁻¹(ℙℚ²) は無限集合である。
160(2): 07/18(金)17:57 ID:VyyMUyKj(1) AAS
Joker１枚がある５３枚のトランプを一列にならべる。
❤Aと Joker の間にあるカードのスートの種類の数の期待値を求めよ。ただし“間”には❤AとJokerはふくめないものとする。
161: 07/21(月)10:23 ID:+XuY0woP(1/2) AAS
実数の濃度がアレフ2らしいけど
それなら非加算で稠密で排反な
2つに分けられるのかな
アレフ2でなくてもできるのかな
162: 07/21(月)10:25 ID:+XuY0woP(2/2) AAS
スレチでしたね
無視して
163: 07/25(金)07:53 ID:/2kjOwp5(1/2) AAS
関数 f:R→R は、任意の実数xについて lim_(t→x+0) f(t) = f(x) を満たす。
この時、少なくとも１つの実数 x について lim_(t→x) f(t) = f(x) が成り立つことを示せ。
164: 07/25(金)15:33 ID:rZ8dIIWn(1/2) AAS
Fix n∈ℕ. 𝒪ₙ := { I ; I is open interval st. diam( f(I) ) < 1/n }. As f is right continuous, we can find q(x)>x such that (x,a(x)) ∈𝒪ₙ q(x)∈ℚ
165(1): 07/25(金)15:33 ID:rZ8dIIWn(2/2) AAS
Suppose there exists x,y ∈ ℝ such that q(x) = q(y). If x < y, then y∈ (x,q(x)) ⊂ ∪𝒪ₙ. Thus y cannot be in ℝ＼∪𝒪ₙ. Thus at least one of x,y cannot be in ∪𝒪ₙ. Thus the restriction q on ℝ＼∪𝒪ₙ is injective. Thus ℝ＼∪𝒪ₙ is countable. Thus ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ is also countable. On the other hand f is continuous on ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ.
166: 07/25(金)16:51 ID:r7J1qQpv(1/2) AAS
高々可算じゃね？
167: 07/25(金)17:08 ID:r7J1qQpv(2/2) AAS
よく見たら最後の集合が反転してるtypoのせいかな
そこ直せば高々可算でも問題ないな
168: 07/25(金)20:03 ID:/2kjOwp5(2/2) AAS
>>165
なんと！高々可算の点以外で両側連続になることを示したのか
正解お見事です！（最後の on the other hand は in other words ってことかしら）
169: 07/29(火)22:48 ID:KSc+c9bT(1) AAS
Show that n + (n-1)z¹ + (n-2)z² + ... + zⁿ⁻¹ has no roots in { z ; |z| ≦ 1 }.
170: イナ ◆/7jUdUKiSM 07/31(木)20:05 ID:pjVHkYGR(1/2) AAS
前>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
省13
171: イナ ◆/7jUdUKiSM 07/31(木)20:17 ID:pjVHkYGR(2/2) AAS
前>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
省13
172: 07/31(木)20:39 ID:+g6XRK9w(1) AAS
❤AとJoker の間に♣が１枚以上ならぶ確率は♣13個と❤一個、Ｊ一個をならべて❤とＪが並ばない確率であり1-14/₁₅C₂＝13/15。よってCを❤とＪのあいだにクラブがはいらないとき1、入るとき0をとる確率変数とすれば E(C) = 13/15。同様の確率変数をスペード、ダイア、❤A以外のハートについて定めたものを S,D,H とすれば E(S)=E(D)=13/15、E(H)=6/7。よって
E(C+S+D+H) = 13/15+13/15+13/15+6/7 = 121/35
173: 08/02(土)00:58 ID:7Nw+VIWF(1) AAS
Let F be a finite set and Λ be a set of non empty subset of F, and align Λ = {λ₁,λ₂,...}.
Let (Aₘₙ) be a matrix of order 2^#F - 1 defined as :
. Aₘₙ = 1 ( if λₘ∩λₙ ≠ ∅ )
. = 0 ( if λₘ∩λₙ = ∅ ) .
Find det(Aₘₙ).
174: 08/02(土)16:43 ID:U+vtQmLl(1/4) AAS
1元集合じゃないところは、1元集合たちの線型結合で書けそうだから0っぽい気がする
#F=1かどうかが罠だけど
175: 08/02(土)20:02 ID:L7dFYWin(1/2) AAS
例
F={a,b} のとき Λ = {{a},{b},{a,b}} でこの表記の順どおりにならべたなら
Aₘₙ =
{{ 1,0,1 },
{ 0,1,1 },
{ 1,1,1 }}
で det(Aₘₙ) = -1。
176: 08/02(土)20:56 ID:U+vtQmLl(2/4) AAS
あー0と1が逆か
177: 08/02(土)21:50 ID:M2md+IIM(1) AAS
k元集合FのΛに対して(k+1)元集合F∪{c} （cはFに属さない元）のΛ'を
λ'_n = λ_n (n<2^kの時), λ_n∪{c} (2^k≦n<2^(k+1)-1の時), {c} (k=2^(k+1)-1の時)
と定めれば、行列A'は
A A O
A I I
O I 1
（ただし行、列ともに2^k-1, 2^k-1, 1で区切り。I は全ての値が1、Oは全ての値が0とする。）
省6
178: 08/02(土)22:10 ID:L7dFYWin(2/2) AAS
正解！
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
179: 08/02(土)22:22 ID:U+vtQmLl(3/4) AAS
真面目にやろ
要素が1個増えると行列は
B0B
011
B11
の(n+1+n)×(n+1+n)ブロックになる。Bは要素を増やす前の行列
少し掃き出して
省9
180: 08/02(土)22:23 ID:U+vtQmLl(4/4) AAS
よかったあってた
181: 08/03(日)14:59 ID:ji91oaUv(1/2) AAS
Determine the coefficient of the numerator, in the irreducible factor, of the coefficient of the Maclaurin expansion of (x²-x+1)exp(x).
182(1): 08/03(日)18:53 ID:YL1BmXMV(1/2) AAS
(x^2-x+1)e^x=Σa_n x^nとして
a_nを約分したあとの分子を聞いてるんだよな
a0=1
a1=0で、n≧2だと
a_n=1/n!-1/(n-1)!+1/(n-2)!
=(n-1)/n(n-2)!
になるけど、n-1が素数のときはこれ以上約分できないからn-1
省14
183(1): 08/03(日)19:11 ID:mL9auLBV(1) AAS
m, nは互いに素な自然数とする
分数(m+n-1)! / m!n!は自然数であることを証明せよ
184: 08/03(日)19:37 ID:YL1BmXMV(2/2) AAS
m+n個からm個選ぶやり方の数がm+nで割り切れることを示したいから、選び方全体に群構造をいれて、位数がm+nの元を見つけてきたい(願望)
185: 08/03(日)23:08 ID:ji91oaUv(2/2) AAS
>>182
正解！
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
186: 08/04(月)06:31 ID:nGNfnz6K(1) AAS
白玉m個、赤玉n個円形に並べる場合の数ではダメ？
187: 08/04(月)16:12 ID:wklzv92S(1/4) AAS
まあ変な願望は捨てて真面目に互除法の構造に対する帰納法でやると
m=1,n=1のときは自明
m,nについて成り立つと仮定して、m,m+nのときは
(m+m+n-1)!/m!(m+n)!
=(m+n-1)!/m!n! × _{2m+n-1}C_{m+n-1}
なので自然数
188: 08/04(月)18:41 ID:wklzv92S(2/4) AAS
計算間違ってるやん
189(1): 08/04(月)22:17 ID:AGReftOh(1) AAS
その方針でいけるん？
190: 08/04(月)22:43 ID:wklzv92S(3/4) AAS
>>189
だめだっから最初の対称性を使って解き直したとこ
191: 08/04(月)22:51 ID:wklzv92S(4/4) AAS
S=ℤ_{m+n}
X={x⊂S | #x=m}
として、#Xがm+nで割り切れることを示す
G={+rする平行移動 | r∈S}はXに作用する
x∈Xとg∈Gに対して、gx=xとするとg=e
なぜなら、a∈xを1個取ってきて、列g^kaを作るとどこかでaに戻ってくる。この長さをNとすると、これはaに依らないので、この軌道によりxは等分され、Nはmの約数である。gの平行移動量をrとすると、Nr=0であり、Nはm+nの約数である。よってN=1でr=0
というわけで、xの軌道Gxの要素数は#G=m+nになるため、#Xはm+nで割り切れる
省1
192: 08/05(火)00:22 ID:HCN69fB4(1) AAS
よさげ
193: 08/05(火)03:08 ID:Srdf2A9W(1) AAS
最後微妙に間違えてた
Nr=0で、Nとm+nも互いに素だから、Nで割れてr=0だった
194: 08/05(火)08:29 ID:H+D/CLH1(1) AAS
例えば、基準を2^3(=8)で考えると、
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15
0-1-0-2-0-1-0-3-0-1 -0 -2 -0 -1 -0 ←素数2の因数の個数
こんな感じで対称性があるでしょ？
これは、基準となる素数の種類やその冪数に限らず成り立つので、
割り切れるのでは？
どうやって、証明するか分からないが。
195: 08/05(火)13:57 ID:MAmUP/aR(1) AAS
(n＋m)_C_n ＝ (n＋m)！/(n！m！)
＝ (n＋m) (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m
＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m
すなわち (n＋m)_C_n ＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m である。左辺は整数なので右辺も整数。
よって、(n＋m) (n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。n,mは互いに素だから、
(n＋m) と m は互いに素。よって、(n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。
特に、(n＋m−1)_C_n / m は整数。
省2
196: 183 08/05(火)14:17 ID:X4eXuEzQ(1) AAS
↑お見事です
197: 08/06(水)19:04 ID:jvXHE856(1) AAS
極限
lim[n→∞] n*{∫[0,1] {e^(-nx)}/(1+x^2) dx}
を求めよ。
198: 08/06(水)20:15 ID:UPpSHNbr(1) AAS
∫[0,1]n exp(-nx)/(1+x^2) dx
=∫[0,n] exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
被積分関数はnに関して単調増加だから、単調収束定理より
→∫[0,∞) lim 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) exp(-y)dy
=1
199: 08/07(木)16:41 ID:v7ISirIJ(1) AAS
下記の東大の問題のような面白い定積分の極限の問題を教えてください！
lim[n→∞] n*[ ∫[1,2] log{(1+x^(1/n))/2} dx ]
200: 08/07(木)20:59 ID:DhukNUyo(1) AAS
ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる
で、どこがどう面白い？
201: 08/11(月)01:28 ID:fRqBIPZy(1) AAS
Find all non-constant functions
f:ℤ → ℤ
such that
f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1
holds for all x,y ∈ℤ.
202: 08/11(月)17:07 ID:LKCAkMsb(1) AAS
宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください
a[1]>1 ,
a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、
( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。
203: 08/11(月)22:48 ID:Pq2BAI/Y(1/2) AAS
普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は？
204: 08/11(月)22:53 ID:Pq2BAI/Y(2/2) AAS
あと付け加えると、面白い問題とは思えない
205: 08/12(火)05:14 ID:08QF4Run(1) AAS
これ懸賞問題だったのか
あっぶ
206(1): 08/12(火)10:06 ID:VI166Ty2(1/2) AAS
自然数nに対して
(1/x)+(1/y)=1/n
を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ
207(1): 08/12(火)13:00 ID:epvPvzIT(1) AAS
>>206
x=yの場合
x=y=2nで成立
x≠yの場合
xとyを入れ替えても成立するので偶数組
よって解の総数は奇数
208: 08/12(火)17:14 ID:VI166Ty2(2/2) AAS
>>207
お見事です
209: 08/12(火)19:22 ID:MToRQVN4(1) AAS
ｎが任意定数なのか、変数なのか？
奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？
日本語は解り難い言語やな。
210: 08/12(火)21:51 ID:9WhM+6C5(1) AAS
何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね
211: 08/13(水)03:48 ID:IPcCDEha(1) AAS
そういうことではないんじゃない？
xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある
1
=1/2+1/2
1/2
=1/(-2)+1/1
=1/3+1/6
省11
212(1): 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(1/5) AAS
a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。
213: 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(2/5) AAS
補題 Sₙ = Pₙ
(∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□
214: 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(3/5) AAS
補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n)
(∵)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + ..
= Sₙ + 1 + 1/n
≦ a + n +1 + log(n) + 1/n
≦ a + n +1 + log(n+1)
省3
215: 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(4/5) AAS
1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 )
216: 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(5/5) AAS
Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²)
217: 08/13(水)15:57 ID:+55xP2/J(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx
を求めよ。
218: 08/13(水)20:45 ID:nQyqYDxf(1) AAS
n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ
219: 08/13(水)21:12 ID:YyYKqHVs(1) AAS
>>212 -216
すばらしい。ありがとうございます。
それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。
220: 08/14(木)01:55 ID:itMo6PT5(1) AAS
上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？
221: 08/14(木)05:29 ID:/DikW1nE(1) AAS
知らんがな
222: 08/14(木)19:50 ID:/CzpVmg3(1) AAS
出題者本人が否定しないならガチなんだろう
まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな
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